SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác cân và tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Cho tam giác ABC vuông tại A thì sin⁡B=ACBC 

Lời giải:

Vì các cạnh của tam giác lần lượt là 4cm,6cm và 6cm nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh 4cm. 

Giả sử tam giác ABC cân tại A có cạnh bên AB=AC=6cm và cạnh đáy BC=4cm. Ta tính góc BAC

Kẻ đường cao AH⊥BC tại H

Vì tam giác ABC cân nên đường cao AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác.

Suy ra H là trung điểm của BC  nên BH=HC=BC:2=2cm

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin⁡A2^=HCAC=26=13

Suy ra A2^≈19028′

Mà AH là phân giác góc A (cmt) nên BAC^=2.A2^=2.19028′=38056′

Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng 38∘56′. 

a) AC ;                  b) BC ;

c) Phân giác BD.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: 

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Suy ra cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia sin góc đồi hoặc chia cos góc kề.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABC ta có: AC=AB.cot⁡gC^=21.cot⁡g40∘≈25,0268(cm)

b) Trong tam giác vuông ABC ta có: BC=ABsin⁡C^=21sin⁡40∘≈32,6702(cm) 

c) Vì ΔABC vuông tại A nên B^+C^=90∘

Suy ra: B^=90∘−C^=90∘−40∘=50∘

Vì BD là phân giác của góc B nên: 

ABD^=12B^=12.50∘=25∘ 

Trong tam giác vuông ABD, ta có:

BD=ABcosABD^=21cos⁡25∘≈23,1709(cm) 

Biết:

AB=AC=8cm,CD=6cm, BAC^=34∘ và CAD^=42∘. Tính

a) Độ dài cạnh BC; 

b) ADC^;

c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD.

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 Ta có: AB=BC.sin⁡α

Lời giải:

a)  Kẻ AI⊥BC

Vì ΔABC cân tại A nên AI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, đường phân giác nên: 

BI=CI=12BC 

và BAI^=12BAC^=12.34∘=17∘  

Trong tam giác vuông AIB, ta có:

BI=AB.sin⁡BAI^=8.sin⁡17∘≈2,339(cm)

BC=2.BI=2.2,339=4,678(cm)

b) Kẻ CE⊥AD (E∈AD)

Trong tam giác vuông CEA, ta có:

CE=AC.sin⁡CAE^=8.sin⁡42∘≈5,353(cm)

Trong tam giác vuông CED, ta có:

sin⁡ACD^=CECD=5,3536≈0,8922⇒ADC^≈63∘9′

c) Kẻ BK⊥AD (K∈AD)

BAK^=BAC^+CAK^=340+420=760

Trong tam giác vuông ABK, ta có:

BK=AB.sin⁡BAK^=8.sin⁡76∘≈7,762(cm)

sin⁡20∘≈0,3420, cos20∘≈0,9397, tg20∘≈0,3640.

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 Ta có: AB=BC.sin⁡α 

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng. 

Lời giải:

Kẻ BH⊥AC tại H

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

BH=AB.sin⁡A^=5.sin⁡20∘≈1,7101(cm)

Ta có: SΔABC=12BH.AC=12.8.1,7101=6,8404(cm2)

Phương pháp giải:

Lời giải:

Đặt tên như hình vẽ. 

Khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là cạnh kề với góc 30°, chiều cao của cột đèn biển là cạnh đối diện với góc 30°. Ta có C^=300. Ta tính AC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AC=AB.cot⁡C =38.cot⁡30∘≈65,818(m)

Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn là: ≈65,818(m)

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ:  

 Ta có: sin⁡α=ABBC nên AB=BC.sin⁡α và BC=ABsin⁡α

Lời giải:

Trong tam giác vuông ABN, ta có: 

AN=AB.sin⁡B^=11.sin⁡38∘≈6,772(cm)

Trong tam giác vuông ACN, ta có:

AC=ANsin⁡C^≈6,772sin⁡30∘=13,544(cm)

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

Ta có: AB=AC.tan⁡α  

Lời giải:

Chiều cao vách đá là cạnh góc vuông đối diện với góc 25° . Khi đó chiều cao của vách đá là:

45.tan25∘≈20,984(m) 

a) 

b) 

c) 

Phương pháp giải:

+) Cho hình vẽ:

Ta có AB=BC.sin⁡α, AC=AB.cot⁡α, BC=ACcos⁡α

+) Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A:

AB2+AC2=BC2. 

Lời giải:

a) Hình a

Trong tam giác vuông ACP, ta có:

x=CP=AC.sin⁡A^

=8.sin⁡30∘=8.12=4

Trong tam giác vuông BCP, ta có:

y=BC=xcos⁡BCP^=4cos50∘≈6,223

b) Hình b

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

x=AC=BC.sin⁡B^

=7.sin⁡40∘≈4,5

Trong tam giác vuông ACD, ta có:

y=AD=AC.cot⁡D^

≈4,5cot⁡60∘≈2,598

c) Hình c

Vì tứ giác CDPQ có DC//PQ, DP//CQ (vì cùng vuông với AB) nên CDPQ là hình bình hành có DPQ^=900 nên là hình chữ nhật. Mà CD=DP=4 nên  CDPQ là hình vuông.

Suy ra: CD=DP=PQ=QC=4 

Trong tam giác vuông BCQ, ta có:

x=BC=CQcosBCQ^=4cos50∘≈6,223

BQ=BC.sin⁡BCQ^≈6,223.sin⁡50∘≈4,767

Trong tam giác vuông ADP, ta có:

AP=DP.cot⁡A=4.cot⁡70∘≈1,456

Ta có:

y=AB=AP+PQ+QB

=1,456+4+4,767=10,223.

Bài 60 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình:

Biết:

QPT^=18∘,

PTQ^=150∘,

     QT=8cm,

     TR=5cm.

Hãy tính:

a)   PT;

b)   Diện tích tam giác PQR. 

Phương pháp giải:

+) Cho hình vẽ:  

Ta có: AB=BC.sin⁡α,AC=BC.cos⁡α,AC=AB.cot⁡α 

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

a) Kẻ QS⊥PR

Ta có: QTS^=180∘−QTP^=180∘−150∘=30∘

Trong tam giác vuông QST, ta có:   

QS=QT.sin⁡QTS^=8.sin⁡30∘=4(cm)

TS=QT.cosQTS^=8.cos30∘≈6,928(cm)

Trong tam giác vuông QSP, ta có:

SP=QS.cot⁡gQPS^=4.cot⁡g18∘≈12,311(cm)

PT=SP−TS≈12,311−6,928=5,383(cm)

b) Ta có:  

SΔQPR=12.QS.PR=12.QS.(PT+TR)

≈12.4.(5,383+5)=2.10,383=20,766(cm2)

Hãy tính:

a) AD;

b) AB. 

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 Ta có: sin⁡α=ABBC nên AB=BC.sin⁡α, BC=ABsin⁡α và cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

a) Kẻ DE⊥BC 

Suy ra: BE=EC=12BC=2,5(cm)

Trong tam giác vuông BDE, ta có:

DE=BD.sin⁡DBE^=5.sin⁡60∘=532(cm)

Trong tam giác vuông ADE, ta có:

AD=DEsin⁡A^=532sin⁡40∘≈6,736(cm)

b) Trong tam giác vuông ADE, ta có:

AE=AD.cot⁡g A≈6,736.cot⁡40∘=5,16(cm)

Ta có: AB=AE−BE=5,16−2,5=2,66(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC có đường cao AH, ta có:

AH2=BH.CH

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn:

tan⁡α=ABAC. 

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có chiều cao AH, theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:  

AH2=HB.HC

Suy ra: 

AH=HB.HC=25.64=1600=40 (cm)

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

tanB=AHHB=4025=1,6

Suy ra: 

B^≈57∘59′

Vì tam giác ABC vuông nên B^+C^=90∘

Suy ra: 

C^=90∘−B^=90∘−57∘59′=32∘1′

a)  Đường cao CH và cạnh AC;

b)  Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Suy ra cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia sin góc đồi hoặc chia cosin góc kề.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông BCH, ta có:

CH=BC.sin⁡B^=12.sin⁡60∘≈10,392 (cm)

Trong tam giác ABC, ta có: BAC^+B^+ACB^=1800 (tổng ba góc trong tam giác bằng 1800)

Suy ra BAC^=1800−(B^+ACB^)=180∘−(60∘+40∘)=80∘

Trong tam giác vuông ACH, ta có:

AC=CHsin⁡HAC^≈10,392sin⁡80∘=10,552 (cm)

b) Kẻ AK⊥BC

Trong tam giác vuông ACK, ta có:

AK=AC.sin⁡C^≈10,552.sin⁡40∘=6,783 (cm)

Vậy SABC=12.AK.BC≈12.6,783.12=40,698 (cm2)

Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác ABC vuông tại A có AB=c,AC=b,BC=a thì:   

b=a.sinB=a.cosC

Diện tích hình bình hành bằng tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

Giả sử hình bình hành MNPQ có MN=12cm,MQ=15cm, NMQ^=110∘

Ta có: NMQ^+MNP^=180∘ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: MNP^=180∘−NMQ^

=180∘−110∘=70∘

Kẻ MR⊥NP

Trong tam giác vuông MNR, ta có:

MR=MN.sin⁡MNP^=12.sin⁡70∘≈11,276(cm)

Vậy SMNPQ=MR.MQ≈11,276.15 =169,14 (cm2).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: S=a+b2.h

Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác ABC vuông tại A có AB=c,AC=b,BC=a thì:   

b=a.sinB=a.cosC

b=c.tanB=c.cotC

c=a.sinC=a.cosB

c=b.tanC=b.cotB

Lời giải:

Giả sử hình thang cân ABCD có AB=12cm,CD=18cm, D^=75∘

Kẻ AH⊥CD,BK⊥CD suy ra AH//BK 

Lại có AB//HK nên ABKH là hình bình hành. 

Suy ra: AB=HK=12(cm)

Vì ABCD là hình thang cân nên B^=C^,AD=BC

Nên ΔADH=ΔBCK (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DH=CK

Suy ra: 

CK=DH=CD−HK2=18−122 =3(cm)

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

AH=DH.tgD=3.tg75∘ ≈11,196(cm)

Vậy:

SABCD=AB+CD2.AH≈12+182.11,196=167,94cm2.

Một cột cờ cao 3,5m có bóng trên mặt đất dài 4,8m. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c,AC=b,BC=a thì: tan⁡B^=bc

Lời giải:

Chiều cao cột cờ là cạnh đối diện với góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ, chiều dài bóng là cạnh kề góc nhọn.

Ta có: tanβ=3,54,8=3548

Suy ra: β=36∘6′

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: 

Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Lời giải:

Khoảng cách từ xe ô tô đến tòa nhà là cạnh kề với góc 28∘, chiều cao tòa nhà là cạnh đối với góc nhọn.

Vậy chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà:

60.cot⁡28∘≈112,844(m)

Phương pháp giải: 

Sử dụng: Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối.

Lời giải:

Đặt tên như hình vẽ thì chiều cao của tháp là đoạn BD

Xét tam giác ABC vuông tại A có AC=DE=150m;C^=200 nên

AB=150.tan⁡20∘≈54,596(m)

Chiều cao của cột ăng-ten là: 

BD=AB+AD=54,596+1,5=56,096(m).

Phương pháp giải: 

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối. 

Lời giải:

Đặt tên như hình vẽ. Khi đó chiều cao trại A là AH và chiều cao trại B là BK

Cạnh HC=KC=HK:2=8:2=4m

Xét tam giác AHC vuông tại A có AH=HC.tan⁡ACH^=4.tan⁡35∘≈2,801(m)

Xét tam giác BKC vuông tại B có  BK=KC.tan⁡BCK^=4.tan⁡30∘≈2,309(m)

Suy ra trại A cao hơn trại B là: AH−BK=2,801−2,309=0,492(m) 

a) Tính chiều cao của tòa nhà.

b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35∘ thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà?

Phương pháp giải: 

Lời giải:

Đặt tên như hình vẽ. 

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Chiều cao của tòa nhà là: AB=AC.tan⁡C^=10.tan⁡40∘≈8,391(m)

b) Nếu dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 35∘ thì anh ta đứng tại C′ cách tòa nhà là:

AC′=AB.cot⁡C^=8,391.cot⁡35∘≈11,934(m)

Khi đó anh ta tiến ra xa ngôi nhà. 

ABC^=90∘ (h.25)  

Hãy tính:

a) Chiều dài cạnh AD;

b) Diện tích của chiếc diều.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông 

+ Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A thì AB=BC.sin⁡C^, BC=ABsin⁡C^

+ Diện tích diều S=SABC+SADC

Lời giải:

a) Nối AC và kẻ DH⊥AC

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=AB2+BC2=122+122=144+144=288

Suy ra: AC=122(cm)

Ta có: tam giác ACD cân tại D mà DH⊥AC nên DH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác. 

Suy ra: HA=HC=AC2=62(cm)

Và ADH^=12ADC^=20∘

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

AD=AHsin⁡ADH^=62sin⁡20∘≈24,809(cm)

b) Ta có:

SABC=12.AB.BC=12.12.12=72(cm2)

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

DH=AH.cot⁡ADH^=62.cot⁡20∘≈23,313(cm)

Mặt khác:

SADC=12.DH.AC≈12.23,313.122=197,817cm2 

Vậy diện tích diều là:

S=SABC+SADC=72+197,817=269,817cm2.