tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bài 24 trang 103 SBT Toán 9 tập 2: Hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn (C∈(O), D∈(O′)).

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quang điểm A thì CBD^ có số đo không đổi.

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A. 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

 ACB^=12sđAnB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O))

 ADB^=12sđAmB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O′))

Vì điểm A,B cố định nên  sđAnB⏜, sđAmB⏜ không thay đổi

Vì vậy ACB^,ADB^ có số đo không đổi.

Ta có:CBD^=180o−(ACB^+ADB^) không đổi do ACB^,ADB^ có số đo không đổi. 

Vậy số đo CBD^ luôn không đổi khi cát tuyến CAD thay đổi .

b) Trong (O) ta có

ABC^=MCA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)

Trong (O′) ta có: ABD^=MDA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MCA^+MDA^=ABC^+ABD^=CBD^

Hay MCD^+MDC^=CBD^ (không đổi do câu a)

Trong ∆MCD ta có: CMD^=180o−(MCD^+MDC^)

=180o−CBD^

Nên CMD^ không đổi do CBD^ không đổi.

Vậy CMD^ không đổi.

 

Bài 25 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm O ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a) Chứng minh rằng ta luôn có MT2=MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b) Ở hình 2 khi cho MB=20cm,MB=50cm, tính bán kính đường tròn.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải:

a) 

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

 

Xét ∆MTA và ∆MTB, có: 

+) M^ chung

+) MTA^=TBA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây), hay MTA^=TBM^

Suy ra: ∆MAT đồng dạng ∆MTB

⇒MTMA=MBMT

⇒MT2=MA.MB

Vì MA.MB=MT2 mà MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.

b)

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Gọi bán kính (O) là R

MB=MA+AB=MA+2R

⇒MA=MB−2R

MT2=MA.MB (chứng minh trên)

⇒MT2=(MB−2R)MB

⇒R=MB2−MT22MB

=2500−4002.50=21(cm)

Bài 26 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Ngồi trên một đỉnh núi cao 1km thì có thể nhìn thấy một địa điểm T trên mặt đất với khoảng cách tối đa là bao nhiêu?  Biết rằng bán kính trái đất gần bằng 6400km(h.3)

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ) 

Xét ∆MTA và ∆MTB, có:

+) M^ chung

+) MTA^=TBM^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây)

Suy ra: ∆MAT đồng dạng ∆MTB

MTMA=MBMT

⇒MT2=MA.MB

⇒MT2=MA(MA+2R)

MA là chiều cao của đỉnh núi là 1km,R=6400km

Thay số ta có: MT2=1(1+2.6400)=12801

⇒MT≈113,1 (km)

Bài 27 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ tia Bx sao cho tia BC nằm giữa hai tia Bx; BA và CBx^=BAC^. Chứng minh rằng Bx là tiếp tuyến của (O).
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Nếu các tia Oy và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox và xOy^=xOz^ thì tia Oy và Oz trùng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8)

∆ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ba khả năng xảy ra của tam giác

– ∆ABC là tam giác nhọn 

– ∆ABC là tam giác vuông

– ∆ABC là tam giác tù

Xét ∆ABC là tam giác nhọn  (tam giác vuông và tam giác tù chứng minh tương tự)

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC chứa tia Bx ta kẻ tia By là tiếp tuyến của đường tròn (O)

⇒CBy^=BAC^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

 Mà CBx^=BAC^ (gt)

Suy ra: CBy^=CBx^

Lại có By và  Bx nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC tạo với BC một góc bằng nhau.

Do đó, By và Bx trùng nhau.

Vậy Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài tập bổ sung (trang 104 SBT Toán 9)

Bài 4.1 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A,B,C trên đường tròn (O). Điểm E bất kỳ thuôc đoạn thẳng AB (và không trùng với A,B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC tại điểm F. Chứng minh BCF^+BEF^=180o.
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng cùng vuông góc với hai đường thẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau.

+) Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360o.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O) 

Suy ra: At⊥OA (tính chất tiếp tuyến)

Mà EF⊥OA (gt)

Do đó: At//EF

Nên EFA^=CAt^ (so le trong)

Lại có: CBA^=CAt^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: EFA^=CBA^  hay EFA^=CBE^

Mà EFA^+EFC^=180o (hai góc kề bù)

Nên CBE^+EFC^=180o(1)

Trong tứ giác BCFE ta có:

BCF^+BEF^+CBE^+CFE^=360o (tổng các góc trong tứ giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BCF^+BEF^=180o

Bài 4.2 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A,AH và AM tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác đó. Qua điểm A kẻ đường thẳng mn vuông góc với AM. Chứng minh: AB và AC tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bởi AH và hai tia Am,An của đường thẳng mn.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 10)

Vì ∆ABC vuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

⇒AM=MB=MC=12BC (tính chất tam giác vuông)

Nên đường tròn tâm M bán kính MA đi qua A,B,C

Gọi D là giao điểm của AH với đường tròn (M,MA).

Khi đó: BC⊥AD tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn) 

⇒BC là trung trực của AD

⇒AC=CD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒∆ACD cân tại C

⇒ADC^=DAC^ (1)

Ta lại có: ADC^=nAC^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1),(2) suy ra DAC^=nAC^ hay HAC^=nAC^

Vậy AC là tia phân giác của HAn^

Ta có: ACB^=mAB^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (3)

BAH^+ACB^=90o (cùng phụ với góc HAC^)     (4)

Từ (3),(4) suy ra mAB^=BAH^.

Vậy AB là tia phân giác của mAH^.