tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Bài 1 trang 99 SBT Toán 9 tập 2:

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay được 1 góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?

b) Cũng hỏi như thế từ 3 giờ đến 6 giờ?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc ở có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Vì trên đồng hồ có 12 chữ số nên mặt đồng hồ được chia ra thành 12 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn tương ứng với góc ở tâm bằng 3600:12=30o.

a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng 2.300=60o.

b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng 3.300=90o.

Bài 2 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Một đồng hồ chạy chậm 25 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ?
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Một vòng quay của kim phút là 60 phút tương ứng với 360°. Như vậy mỗi phút tương ứng với 3600:60=60. Đồng hồ chạy chậm 25 phút thì phải quay kim phút một góc ở tâm là 60.25=1500.

Bài 3 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau.

Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiều độ?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. 

Lời giải:

Đầu tiên ta gấp đôi tờ giấy, ta chọn điểm làm tâm rồi chia tờ giấy ra thành 5 phần với 5 góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng 180o:5=36o.

Bài 4 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Hai tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (O,R) cắt nhau tại M. Biết OM=2R.

Tính số đo góc ở tâm AOB^?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp điểm của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Xét đường trong (O) có: MA⊥OA (tính chất tiếp tuyến)

Trong ∆MAO có OAM^=900, ta có:

cos⁡AOM^=OAOM=R2R=12

⇒AOM^=600

Lại có OM là tia phân giác của góc AOB (tính chất 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhau nhau tại M)

Suy ra AOM^=12AOB^ 

⇒AOB^=2AOM^=1200

Bài 5 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây cung AB. Vẽ dây CD dài bằng R. Tính góc ở tâm DOB. Có mấy đáp số?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60o.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng 180o.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Điểm D có 2 trường hợp :

∗) Nếu điểm D nằm giữa C và B

Ta có C điểm chính giữa của cung AB nên:

sđBC⏜=sđAC⏜=90o

Ta lại có CD=R (gt)

Suy ra : OC=OD=CD=R

⇒ΔOCD đều ⇒COD^=60o

⇒sđCD⏜=COD^=60o

⇒sđBD⏜=sđBC⏜−sđCD⏜=90o−60o=30o

Suy ra BOD^=sđBD⏜=30o

∗) Nếu D nằm giữa C và A ta có : CD=OC=OD=R

⇒ΔOCD đều ⇒COD^=60o

sđCD⏜=COD^=60o

sđBD⏜=sđBC⏜+sđCD⏜=90o+60o=150o

Suy ra BOD^=sđBD⏜=150o

Bài 6 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đường đường tròn (O;R) và (O′;R′) cắt nhau tại A,B. Hãy so sánh R và R′ trong các trường hợp sau:

a) Số đo cung nhỏ AB của (O;R) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O′;R′).

b) Số đo cung lớn AB của (O;R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O;R′).

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360o và số đo cung nhỏ(có chung hia mút với cung lớn).

+) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.

+) Hai cung được là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

a) Trong (O;R) ta có: AOB^=sđAB⏜ (nhỏ)

Trong (O′;R) ta có: AO′B^=sđAB⏜ (nhỏ)

Vì số đo cung AB nhỏ của (O;R) lớn hơn số đo cung AB nhỏ của (O′;R′)

Suy ra: AOB^>AO′B^                   (1)

Xét hai tam giác ΔAOO′ và ΔBOO′ có:

+) O′A=O′B=R′

+) OA=OB=R

+) OO′ cạnh chung

Nên ΔAOO′=ΔBOO′ (c.c.c)

⇒AOO′^=BOO′^=12AOB^          (2)

AO′O^=BO′O^=12AO′B^          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AOO′^>AO′O^

Trong ΔAOO′ ta có:  AOO′^>AO′O^

Suy ra: O′A>OA (bất đẳng thức tam giác) hay R′>R 

Chú ý: Nếu các em vẽ hình như dưới đây thì ta lấy đối xứng đường tròn (O) qua trục AB để chứng minh như trên.

 SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

b) Trong (O;R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB bằng 360o

Mà số đo cung lớn AB của (O;R) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O′;R′)

Suy ra số đo cung nhỏ AB của (O;R) lớn hơn số đo cung nhỏ của (O′;R′)

Chứng minh tương tự câu a) ta có: R>R′.

c) Số đo hai cung nhỏ của (O;R) và (O′;R′) bằng nhau

⇒AOB^=AO′B^

Suy ra: AOO′^=AO′O^⇒ΔAOO′ cân tại A nên OA=OA′ hay R=R′.

Bài 7 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A,B. Đường phân giác của góc OBO′ cắt các đường tròn (O), (O′) tương ứng tại C,D.

Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO′D.

Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân OBC, O′BD.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Trong (O) ta có:

ΔOBC cân tại O (vì OB=OC= bán kính)

⇒BOC^=1800−2.OBC^(1)

Trong (O′) ta có:

ΔBO′D cân tại O′ (vì O′D=O′D= bán kính)

⇒BO′D^=1800−2.O′BD^(2)

Lại có OBC^=O′BD^ (3) (vì BC là phân giác của OBO′^)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: BOC^=BO′D^.

Bài 8 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Trên một đường tròn, có cung AB bằng 140o, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A là điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  360o và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Vì  cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A là điểm chính giữa nên AB⏜=BD⏜=AC⏜

⇒AOB^=BOD^=AOC^=1400 

Kẻ đường kính AA′,BB′ ta có:

AOB^+AOB′^=1800 (hai góc kề bù)

⇒AOB′^=1800−AOB^=1800−1400=400

Suy ra: BOA′^=AOB′^=400 (hai góc đối đỉnh)

B′OD^+BOD^=1800 (hai góc kề bù)

⇒B′OD^=1800−BOD^=1800−1400=400

AOC^=AOB′^+B′OD^+DOC^

⇒DOC^=AOC^−AOB′^−B′OD^=1400−400−400=600

sđCD⏜(nhỏ)=COD^=600

sđCD⏜(lớn)=360o−sđCD⏜(nhỏ)=360o−60o=300o

Bài 9 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn (O). Điểm C chia cung lớn AB⏜ thành hai cung AC⏜ và CB⏜. Chứng minh rằng cung lớn AB⏜ có sđAB⏜=sđAC⏜=sđCB⏜.

Hướng dẫn: Xét 3 trường hợp:

a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB^.

b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB^.

c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB^.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng 180o.

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  360o và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

a) Trường hợp tia OC nằm trong góc đối đỉnh với AOB^ 

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)

Kẻ đường kính CD

Suy ra: OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ cung AB⏜

⇒sđAD⏜(nhỏ)+sđBD⏜(nhỏ)=sđAB⏜(nhỏ) (1)

Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD.

⇒sđAD⏜(nhỏ)+sđAC⏜(nhỏ)=180o (2)

Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD.

⇒sđBD⏜(nhỏ)+sđBC⏜(nhỏ)=180o (3)

Cộng từng vế (2) và (3):

sđAD⏜(nhỏ)+sđAC⏜(nhỏ)+sđBD⏜(nhỏ)+sđBC⏜(nhỏ)=360o (4)

Từ (1) và (4) suy ra: sđAC⏜(nhỏ)+sđBC⏜(nhỏ)+sđAB⏜(nhỏ)=360o

⇒sđAC⏜(nhỏ)+sđBC⏜(nhỏ)=360o−sđAB⏜(nhỏ)

Mà 360o−sđAB⏜(nhỏ)=sđAD⏜(lớn)

Vậy với cung lớn AB⏜ ta có: sđAB⏜=sđAC⏜+sđBC⏜

b) Trường hợp tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB^

 SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8)

Do tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB^, ta có:

AOB^+BOC^=180o; AOC^=180o

⇒AOB^+BOC^+AOC^=360o

⇒AOC^+BOC^=360o−AOB^

Suy ra: sđAB⏜+sđBC⏜(nhỏ)=360o−sđAB⏜(nhỏ)

 

Vậy với cung lớn AB⏜ ta có: sđAB⏜=sđAC⏜(nhỏ)+sđBC⏜

c) Trong hợp tia OC nằm trong góc kề bù với góc ở tâm AOB^

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

Kẻ đường kính AE.

Theo trường hợp b) ta có:

sđAB⏜(lớn)=sđAE⏜(nhỏ)+sđBE⏜(nhỏ)

Ta xét trường hợp C nằm trên cung nhỏ EB⏜:

sđEB⏜(nhỏ)=sđEC⏜(nhỏ)+sđCB⏜(nhỏ)

⇒ sđAB⏜(lớn)=sđAE⏜+sđEC⏜(nhỏ)+sđCB⏜(nhỏ)

Theo kết quả trường hợp b) ta có:

sđAE⏜+sđEC⏜(nhỏ)=sđAC⏜(lớn)

Vậy với cung AB⏜ lớn ta có: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜

Trong trường hợp OC nằm trên góc đối với góc ở tâm BOE^ chứng minh tương tự.

Trong trường hợp OC nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm AOB^ chứng minh ở trường hợp a).

Bài tập bổ sung (trang 100 SBT Toán 9)

Bài 1.1 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho hình bs.4. Biết DOA^=120o, OA vuông góc với OC, OB vuông góc với OD.

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 180o.

b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180o).

d) So sánh hai cung nhỏ AB và BC. 

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 10)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180o.

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 11)

a) Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn 180o là:

AOB^,AOC^,AOD^,BOC^,BOD^,COD^

b) OA⊥OC⇒AOC^=900

OB⊥OD⇒BOD^=900

AOB^+BOD^=AOD^

⇒AOB^=AOD^−BOD^=1200−900=300

AOC^+COD^=AOD^

⇒COD^=AOD^−AOC^=1200−900=300

AOB^+BOC^=AOC^

⇒BOC^=AOC^−AOB^=900−300=600

c) Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn 180o là:

AB⏜=CD⏜; AC⏜=BD⏜

d) sđAB⏜=AOB^=300

sđBC⏜=BOC^=600

Suy ra: sđBC⏜ gấp đôi sđAB⏜

Bài 1.2 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Các điểm C,D,E cùng thuộc một cung AB sao cho sđBC⏜=16sđBA⏜; sđBD⏜=12sđBA⏜;sđBE⏜=23sđBA⏜.

a) Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn 180o.

b) Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

c) Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn 180o).

d) So sánh hai cung nhỏ AE và BC.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180o.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 12)

a) Các góc ở tâm có số đo không quá 180o là:

AOB^,AOC^,AOD^,AOE^,BOC^,BOD^,BOE^,COD^,COE^,DOE^

b) Ta có: AOB^=1800

⇒sđAB⏜=180o

Ta có: sđBC⏜=16sđAB⏜

=16.1800=30o

⇒BOC^=sđBC⏜=30o

Ta có: sđ BD⏜=12sđAB⏜

=12.1800=900

⇒BOD^=sđBD⏜=900

Ta có: sđBE⏜=23sđBA⏜

=23.1800=1200

⇒BOE^=sđBE⏜=120o

BOC^+COE^=BOE^

⇒COE^=BOE^−BOC^

=1200−300=900

AOE^+BOE^=AOB^

⇒AOE^=AOB^−BOE^

=1800−1200=600

AOD^=BOD^=12AOB^=900

BOC^+COD^=BOD^

⇒COD^=BOD^−BOC^

=900−300=600

COD^+DOE^=COE^

⇒DOE^=COE^−COD^

=900−600=300

COA^+BOC^=1800

⇒AOC^=1800−BOC^

 

=1800−300=1500

c) Các cung có số đo nhỏ hơn 180o bằng nhau.

BC⏜=DE⏜; AE⏜=CD⏜; AD⏜=BD⏜; AD⏜=CE⏜; CE⏜=BD⏜.

d) sđAE⏜=AOE^=600

sđBC⏜=BOC^=300

Ta có số đo của cung AE⏜ gấp đôi số đo của cung BC⏜.