SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế | Giải SBT Toán lớp 9 

a) {4x+5y=3x−3y=5

b) {7x−2y=13x+y=6

c) {1,3x+4,2y=120,5x+2,5y=5,5

d){5x−y=5(3−1)23x+35y=21

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước 1: Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

{4x+5y=3x−3y=5⇔{x=3y+54(3y+5)+5y=3⇔{x=3y+517y=−17⇔{x=3y+5y=−1⇔{x=2y=−1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;−1).

b)

{7x−2y=13x+y=6⇔{y=−3x+67x−2(−3x+6)=1⇔{y=−3x+613x=13⇔{x=1y=−3x+6⇔{x=1y=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(1;3).

 c)

{1,3x+4,2y=120,5x+2,5y=5,5⇔{1,3x+4,2y=12x+5y=11⇔{x=11−5y1,3(11−5y)+4,2y=12⇔{x=11−5y−23y=−23⇔{x=11−5yy=1⇔{x=6y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(6;1).

 d)

{5x−y=5(3−1)23x+35y=21⇔{y=5(x+1−3)23x+15(x+1−3)=21⇔{y=5(x+1−3)(23+15)x=6+153⇔{y=5(x+1−3)x=6+15323+15

⇔{y=5(x+1−3)x=3(23+15)23+15⇔{y=5(x+1−3)x=3⇔{x=3y=5(3+1−3)⇔{x=3y=5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y)=(3;5).

a) {1,7x−2y=3,82,1x+5y=0,4

b) {(5+2)x+y=3−5−x+2y=6−25

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước 1: Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

{1,7x−2y=3,82,1x+5y=0,4⇔{17x−20y=3821x+50y=4⇔{y=17x−382021x+50.17x−3820=4⇔{y=17x−382042x+85x−190=8⇔{y=17x−3820127x=198⇔{y=17x−3820x=198127⇔{y=−73127x=198127

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (x;y)=(198127;−73127).

b)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(0;3−5).

a) Để hệ phương trình

{3ax−(b+1)y=93bx+4ay=−3

có nghiệm là (x;y)=(1;−5);

b) Để hệ phương trình

{(a−2)x+5by=252ax−(b−2)y=5

có nghiệm là (x;y)=(3;−1)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cặp số (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình 

{ax+by=ca′x+b′y=c′⇔{ax0+by0=ca′x0+b′y0=c′

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (coi a,b là ẩn)

+ Bước 1: Rút a hoặc b từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

Để cặp (x;y)=(1;−5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta thay x=1;y=−5 vào hệ phương trình ta được:

{3a.1−(b+1).(−5)=93b.1+4a.(−5)=−3⇔{3a+5b+5=93b−20a=−3

⇔{3a+5b=88b−20a=−3⇔{b=20a−33a+5(20a−3)=88⇔{b=20a−33a+100a−15=88⇔{b=20a−3103a=103⇔{b=20a−3a=1⇔{b=17a=1

Vậy a=1 và b=17.

 b)

Để cặp (x;y)=(3;−1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta thay x=3;y=−1 vào hệ phương trình ta được:

{(a−2).3+5b.(−1)=252a.3−(b−2).(−1)=5⇔{3a−6−5b=256a+b−2=5

⇔{3a−5b=316a+b=7⇔{b=7−6a3a−5(7−6a)=31⇔{b=7−6a33a=66⇔{b=7−6aa=2⇔{b=−5a=2

Vậy  a=2 và  b=−5.

a) Để đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(−5;3), B(32;−1);

b) Để đường thẳng ax−8y=b đi qua điểm M(9;−6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1):  2x+5y=17,

 (d2): 4x−10y=14

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước 1: Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

– Hai đường thẳng (d1):  ax+by=c và (d2):  a′x+b′y=c′ cắt nhau tại điểm M  thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: {ax+by=ca′x+b′y=c′

Lời giải:

a)

Vì  A(−5;3) thuộc đường thẳng y=ax+b nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình này, nghĩa là 3=−5a+b.

Vì B(32;−1) thuộc đường thẳng y=ax+b nên −1=32a+b⇔3a+2b=−2

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{−5a+b=33a+2b=−2⇔{b=3+5a3a+2(3+5a)=−2⇔{b=3+5a3a+6+10a=−2⇔{b=3+5a13a=−8⇔{b=3+5aa=−813⇔{b=−113a=−813

Vậy a=−813;b=−113. 

 b)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x+5y=17, 

(d2):  4x−10y=14 

là nghiệm của hệ phương trình:

{2x+5y=174x−10y=14⇔{2x+5y=172x−5y=7⇔{x=7+5y22(7+5y2)+5y=17⇔{x=7+5y210y=10⇔{x=7+5y2y=1⇔{x=6y=1

Do đó giao điểm của (d1) và(d2) là  C(6;1).

Vì M(9;−6) thuộc đường thẳng ax–8y=b nên 9a+48=b

Vì C(6;1) thuộc đường thẳng ax–8y=b nên 6a–8=b

Khi đó a và b là nghiệm của hệ phương trình:

{9a+48=b6a−8=b⇔{b=6a−89a+48=6a−8⇔{b=6a−83a=−56⇔{b=6a−8a=−563⇔{b=−120a=−563

Vậy a=−563;b=−120.

a) Để hai đường thẳng(d1):5x−2y=3, (d2):  x+y=m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Để hai đường thẳng (d1): mx+3y=10, (d2): x−2y=4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng  một mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm A trên trục Oy thì A(0;y).

– Hai đường thẳng (d1): ax+by=c và (d2): a′x+b′y=c′ cắt nhau tại điểm M(x0;y0)  thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: {ax+by=ca′x+b′y=c′

– Cặp số (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình 

{ax+by=ca′x+b′y=c′

⇔{ax0+by0=ca′x0+b′y0=c′

Lời giải:

a)

Vì đường thẳng (d1): 5x−2y=3, 

(d2): x+y=m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy nên giao điểm A của (d1) và (d2) có hoành độ bằng 0, giả sử A(0;y).

Khi đó A(0;y) là nghiệm của hệ phương trình:{5x−2y=3x+y=m

Thay toạ độ điểm A vào hệ phương trình trên ta được:

{5.0−2y=30+y=m⇔{y=−32m=−32 

Vậy m=−32 thì (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung.

– Với m=−32 ta có (d2): x+y=−32⇔y=−x−32

Cho x=0⇒y=−32 ta được M(0;−32)

Cho y=0⇒x=−32 ta được N(−32;0)

Đường thẳng (d2) là đường thẳng đi qua hai điểm M, N.

– Vẽ (d1): 5x−2y=3⇔y=52x−32

Cho x=0⇒y=−32 ta được M(0;−32)

Cho y=0⇒x=35 ta được P(35;0)

Đường thẳng (d1) là đường thẳng đi qua hai điểm M, P.

b)

Vì đường thẳng (d1): mx+3y=10 và đường thẳng (d2): x–2y=4 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên giao điểm B của (d1) và (d2) có tung độ bằng 0, giả sử B(x;0)

Khi đó B(x;0) là nghiệm của hệ phương trình:{mx+3y=10x–2y=4

Thay toạ độ điểm B vào hệ phương trình trên ta được:

{mx+3.0=10x−2.0=4⇔{mx=10x=4⇔{m=10xx=4⇔{m=52x=4 

Vậy m=52 thì (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành.

– Với m=52  ta có (d1): 52x+3y=10⇔y=−56x+103

Cho  x=0⇒y=103 ta được C(0;103)

Cho y=0⇒x=4 ta được D(4;0)

Đường thẳng (d1) là đường thẳng đi qua hai điểm C, D.

– Vẽ (d2):x−2y=4⇔y=12x−2

Cho x=0⇒y=−2 ta được E(0;−2)

Cho y=0⇒x=4 ta được D(4;0).

Đường thẳng (d2) là đường thẳng đi qua hai điểm E, D.

a) (d1):5x−2y=c và (d2):x+by=2, biết rằng (d1) đi qua điểm A(5;−1) và (d2) đi qua điểm B(−7;3);

b) (d1):ax+2y=−3 và (d2):3x−by=5, biết rằng (d1) đi qua điểm M(3;9) và (d2) đi qua điểm N(−1;2).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Đường thẳng ax+by=c đi qua điểm M(x0;y0) ⇔ax0+by0=c.

– Hai đường thẳng (d1): ax+by=c và (d2): a′x+b′y=c′ cắt nhau tại điểm M  thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: {ax+by=ca′x+b′y=c′

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

+ Bước 1: Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

Vì (d1): 5x−2y=c đi qua điểm A(5;−1) nên 

5.5−2.(−1)=c⇔c=27.

Khi đó phương trình đường thẳng (d1): 5x−2y=27

Vì (d2):x+by=2 đi qua điểm B(−7;3) nên 

−7+3b=2⇔3b=9⇔b=3

Khi đó phương trình đường thẳng (d2):x+3y=2

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

{5x−2y=27x+3y=2⇔{x=2−3y5(2−3y)−2y=27⇔{x=2−3y10−15y−2y=27⇔{x=2−3y−17y=17⇔{x=2−3yy=−1⇔{x=5y=−1

Vậy tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5;−1)

 b)

Vì (d1):ax+2y=−3 đi qua điểm M(3;9) nêna.3+2.9=−3⇔3a=−21⇔a=−7

Khi đó phương trình đường thẳng (d1):−7x+2y=−3

Vì (d2):3x−by=5 đi qua điểm N(−1;2) nên3.(−1)−b.2=5⇔−2b=8⇔b=−4

Khi đó phương trình đường thẳng (d2):3x+4y=5

Tọa độ giao điểm của (d1)và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

{−7x+2y=−33x+4y=5⇔{y=7x−323x+4.7x−32=5⇔{y=7x−3217x=11⇔{y=7x−32x=1117⇔{x=1117y=1317

Vậy tọa độ giao điểm của (d1)và (d2) là (1117;1317).

a) {1x+1y=451x−1y=15

b) {15x−7y=94x+9y=35

c) {1x+y+1x−y=581x+y−1x−y=−38

d) {42x−3y+53x+y=−233x+y−52x−3y=21

e) {7x−y+2−5x+y−1=4,53x−y+2+2x+y−1=4

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải:

a)

Điều kiện: x≠0;y≠0.

Đặt 1x=a;1y=b (a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

{a+b=45a−b=15⇔{a=b+15a+b=45⇔{a=b+15b+15+b=45⇔{a=b+152b=35⇔{a=b+15b=310⇔{a=12b=310(thoả mãn) 

Suy ra: 

{1x=121y=310⇔{x=2y=103(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;103)

b)

Điều kiện: x≠0;y≠0

Đặt 1x=a;1y=b (a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

{15a−7b=94a+9b=35⇔{b=15a−974a+9b=35⇔{b=15a−974a+9.15a−97=35⇔{b=15a−9728a+135a−81=245⇔{b=15a−97163a=326⇔{b=15a−97a=2⇔{b=3a=2(thoả mãn) 

Suy ra: 

{1x=21y=3⇔{x=12y=13(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y) = (12;13)

 c)

Điều kiện: x≠±y. Đặt 1x+y=a;1x−y=b (a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

{a+b=58a−b=−38⇔{a=b−38a+b=58⇔{a=b−38b−38+b=58⇔{a=b−38b=12⇔{a=18b=12(thoả mãn) 

Suy ra:

{1x+y=181x−y=12⇔{x+y=8x−y=2⇔{x=y+2y+2+y=8⇔{x=y+22y=6⇔{x=y+2y=3⇔{x=5y=3(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(5;3).

 d)

Điều kiện: x≠32y;x≠−13y. Đặt 12x−3y=a;13x+y=b 

(a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

{4a+5b=−23b−5a=21⇔{b=5a+2134a+5b=−2⇔{b=5a+2134a+5.5a+213=−2⇔{b=5a+21312a+25a+105=−6⇔{b=5a+21337a=−111⇔{b=5a+213a=−3⇔{b=2a=−3(thoả mãn)

Suy ra:

{12x−3y=−313x+y=2⇔{2x−3y=−133x+y=12⇔{y=12−3x2x−3(12−3x)=−13⇔{y=12−3x2x+9x=−13+32⇔{y=12−3x11x=76⇔{y=12−3xx=766⇔{y=12−722x=766⇔{y=211x=766(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là(x;y)=(766;211)

 e)

Điều kiện:x−y+2≠0;x+y−1≠0.

Đặt 1x−y+2=a;1x+y−1=b. 

(a≠0;b≠0)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

{7a−5b=4,53a+2b=4⇔{b=4−3a27a−5b=4,5⇔{b=4−3a27a−5.4−3a2=4,5⇔{b=4−3a214a−20+15a=9⇔{b=4−3a229a=29⇔{b=4−3a2a=1⇔{b=12a=1(thoả mãn)⇒{1x−y+2=11x+y−1=12⇔{x−y+2=1x+y−1=2⇔{x=y−1y−1+y−1=2⇔{x=y−12y=4⇔{x=y−1y=2⇔{x=1y=2(thoả mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y)=(1;2).