SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 

Phương pháp giải:

+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R>0), O gọi là tâm và R là bán kính.

+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: 

OA=OB=OC=OD (tính chất hình chữ nhật)

Vậy bốn điểm A,B,C,D  cùng nằm trên một đường tròn bán kính AC2

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2=AB2+BC2=162+122=256+144=400

Suy ra: AC=400=20(cm)

Vậy bán kính đường tròn là: OA=AC2=202=10(cm)

A(1;−1), B(−2;2) và C(1;2) đối với đường tròn (O;2). 

Phương pháp giải:

Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn (O;R) ta so sánh OM với bán kính R.

OM<R thì M nằm bên trong đường tròn.

OM=R thì M nằm bên trên đường tròn.

OM>R thì M nằm bên ngoài đường tròn.

Lời giải:

Gọi R là bán kính của đường tròn (O;2). Ta có R=2

OA2=12+12=2⇒OA=2<2

Vì OA<R nên điểm A nằm trong đường tròn (O;2)

OB2=(2)2+(2)2=2+2=4⇒OB=2

Vì OB=R nên điểm B thuộc đường tròn (O;2)

OC2=12+22=1+4=5⇒OC=5>2

Vì OC>R nên điểm C nằm ngoài đường tròn (O;2).

Phương pháp giải:

+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (), O gọi là tâm và R là bán kính.

Lời giải:

(1)   nối  với (6)

(2)   nối với (5)

(3)    nối với (4).

Phương pháp giải:

Để dựng một đường tròn, ta cần xác định tâm và bán kính. Tâm M phải thỏa mãn hai điều kiện, trong đó có một điều kiện là nằm trên đường trung trực của DE và một điều kiện là M nằm trên tia Ox

Lời giải:

*  Cách dựng

−  Dựng đường trung trực của DE cắt Ax tại M.

−  Dựng đường tròn tâm M bán kính MD.                            

*   Chứng minh

Theo cách dựng ta có:

M∈Ox

MD=ME (tính chất đường  trung trực)

Suy ra: E∈(M;MD)

a) Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung. 

b) Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt.

c) Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Phương pháp giải:

+ Cho hai đường tròn (C) và (C’) có tâm và bán kính khác nhau. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

+ Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

a) Đúng

b) Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau.

c) Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

a) Quan sát hình lọ hoa trên giấy kẻ ô vuông (h.71) rồi vẽ hình đó vào vở.

b)  Quan sát đường xoắn ốc trên hình 72 rồi vẽ lại hình đó vào vở. Tính bán kính của các cung tròn tâm B,C,D,A biết cạnh hình vuông ABCD bằng 1 đơn vị dài.

Phương pháp giải:

+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R>0), O gọi là tâm và R là bán kính.

+ Phải xác định tâm và bán kính các cung tròn có trong hình.

Lời giải:

a) Hình a

b) Hình b

Cung tròn tâm B có bán kính bằng 1.

Cung tròn tâm C có bán kính bằng 2. 

Cung tròn tâm D có bán kính bằng 3.

Cung tròn tâm A có bán kính bằng 4

Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền?

Phương pháp giải:

+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R>0), O gọi là tâm và R là bán kính.

+ Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải:

Lấy ba điểm A,B,C phân biệt trên đường viền.

Dựng đường trung trực của AB và BC. Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Khi đó, OA,OB,OC chính là bán kính của đường viền.

Trong năm điểm A,B,C,D,O, điểm nào nằm trên đường tròn? 

Điểm nào nằm trong đường tròn? Điểm nào nằm ngoài đường tròn? 

Phương pháp giải:

Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn (O;R) ta so sánh OM với bán kính R.

OM<R thì M nằm bên trong đường tròn.

OM=R thì M nằm bên trên đường tròn.

OM>R thì M nằm bên ngoài đường tròn.

Lời giải:

OA=2<2 nên điểm O và A nằm trong (A;2)

AB=2 nên điểm B nằm trên (A;2)

AD=2 nên điểm D nằm trên (A;2)

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có: 

AC2=AB2+BC2=22+22=8⇒AC=22

Vì AC=22>2 nên điểm C nằm ngoài (A;2).

a) Chứng minh rằng CD⊥AB,BE⊥AC.

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC. 

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+) Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, trong đó BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A. 

+) Giao của ba đường cao là trực tâm của tam giác.

Lời giải:

a) Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

 Suy ra: CD⊥AB

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE⊥AC

b) Xét tam giác ABC có K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra: AK⊥BC

(A)23cm; 

(B)2cm;

(C)3cm;

(D)2cm;

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác đều và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Cho tam giác ABC vuông tại A thì AB=BC.sin⁡C^ 

Lời giải:

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ AH⊥BC, ta có: O∈AH.

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

AH=AB.sin⁡B^=3.sin⁡60∘=332

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến và O cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó: 

OA=23AH=23.332=3 cm.

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: AO=3 cm.

Vậy chọn đáp án C.

a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn. Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2dm.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng: 

+) Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R>0), O gọi là tâm và R là bán kính.

+) Tính bán kính dựa vào tính chất hình vuông và định lý Pytago

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: OA=OB=OC=OD (tính chất của hình vuông)

Vậy bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là O và bán kính là OA. 

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

AC2=AB2+BC2=22+22=8

Suy ra: AC=22(dm)

Vậy R=OA=AC2=222=2(dm)

a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O)?  

b) Tính số đo góc ACD.

c) Cho BC=24cm, AC=20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).

Phương pháp giải:

+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R>0), O gọi là tâm và R là bán kính.

+ Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:

– Áp dụng định lí Pytago: BC2=AB2+AC2

– Hệ thức lượng trong tam giác vuông: AC2=AH.BC

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O  thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

b) Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra ACD^=90∘

c) Ta có: 

AH là đường trung trực của BC (cmt) nên H là trung điểm cạnh BC.
⇒HB=HC=BC2=242=12(cm) 

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH ta có:

AC2=AH2+HC2

Suy ra:

AH2=AC2−HC2=202−122=400−144=256

AH=16(cm)

Tam giác ACD vuông tại C, theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2=AH.AD⇒AD=AC2AH=20216=25(cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là : 

R=AD2=252=12,5(cm)

+ Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của tam giác.

+ Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:

– Áp dụng định lí Pytago: BC2=AB2+AC2

– Hệ thức lượng trong tam giác vuông: AH2=BH.HC

Lời giải:

Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực của BC.

Suy ra AD là đường trung trực của BC và H là trung điểm của BC.

Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính suy ra: ACD^=90∘

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: CH2=HA.HD

Suy ra: HD=CH2HA=(BC2)2HA=(122)24=624=364=9

Ta có:

AD=AH+HD=4+9=13 (cm) 

Vậy bán kính của đường tròn (O) là:

R=AD2=132=6,5 (cm) 

Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Các bước dựng hình:

+ Dựng điểm A′ đối xứng với A qua O.

+ Dựng đường trung trực d của A′B, cắt (O) tại D.

+ Dựng đường kính COD.

Lời giải:

*        Cách dựng

−     Dựng A′ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn.

−     Dựng đường thẳng d là đường trung trực của A′B.

−     Gọi giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (O) là D.

−     Dựng đường kính COD. 

*         Chứng minh

Ta có: OA=OA′ (do A và A’ đối xứng nhau qua O) và OD=OC (do C, D cùng thuộc đường tròn (O))

Suy ra tứ giác ACA′D là hình bình hành (vì có hai đường chéo AA’ và CD giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường) 

Suy ra: AC=A′D (tính chất hình bình hành)

Lại có: A′D=DB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AC=BD. 

Bài tập bổ sung (trang 158 SBT Toán 9)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

a)  Nếu BC là đường kính của đường tròn thì BAC^=90∘.

b)  Nếu AB=AC thì AO vuông góc với BC.

c)  Nếu tam giác ABC không vuông góc thì điểm O nằm  bên trong tam giác đó. 

Phương pháp giải:

Nếu tam giác ABC nội tiếp đường trọn tâm O mà có BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

a)  Đúng vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O mà có BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A.

b) Đúng vì AB=AC thì tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên AO cũng là đường cao. Hay AO⊥BC. 

c) Sai. Vì nếu ABC là tam giác tù thì O nằm ngoài tam giác.

Để chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định thì ta chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi.

Lời giải:

* Xét tam giác DEC có  

M là trung điểm DE

N là trung điểm DC

Suy ra, MN là đường trung bình của tam giác DEC, hay MN//EC (*) và MN=12EC  (1)

* Xét tam giác BEC có 

Q là trung điểm BE

P là trung điểm BC

Suy ra, PQ là đường trung bình của tam giác BEC, hay PQ//EC và PQ=12EC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

* Xét tam giác DEB có 

Q là trung điểm BE

M là trung điểm DE

Suy ra, QM là đường trung bình của tam giác BED, hay MQ//DB  (3).

Mà AB⊥AC (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra MN⊥MQ (5)

Tứ giác MNPQ là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và QN

Suy ra IM=IN=IP=IQ (tính chất hình chữ nhật)

Nên các điểm M,N,P,Q đều cách đều I một khoảng cố định, suy ra M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn.

Phương pháp giải:

+ Để chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định thì ta chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi.

+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD. 

* Xét tam giác vuông AOB có OE là đường trung tuyến nên:

OE=12AB

* Xét tam giác vuông COB có OF là đường trung tuyến nên:

OF=12BC

* Xét tam giác vuông COD có OG là đường trung tuyến nên:

OG=12DC

* Xét tam giác vuông AOD có OH là đường trung tuyến nên:

OH=12AD

Do ABCD là hình thoi nên AB=BC=DC=AD

Suy ra OE=OF=OG=OH=12AB (1)

* Ta có A^=60∘ (gt) suy ra OAB^=30∘ (vì AO là phân giác góc A)

Xét tam giác vuông AOB ta có: OB=ABsin⁡OAB^=sin⁡30∘.AB hay OB=12AB

Lại có OB=OD (vì ABCD là hình thoi)

Nên OD=OB=12AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE=OF=OG=OH=OD=OB 

Suy ra sáu điểm E,B,F,G,D,H thuộc cùng một đường tròn tâm O bán kính OB.