tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 80 trang 119 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính sin α và tan α, nếu:

a) cos⁡α=513;

b) cos⁡α=1517;

c) cos⁡α=0,6.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức:

1) sin2α+cos2α=1

2) tanα=sin⁡αcos⁡α

Lời giải:

a) cosα=513

* Ta có:

sin2α+cos2α=1

Suy ra: 

sin2α=1−cos2α=1−(513)2=1−25169=144169

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=144169=1213

* tanα=sin⁡αcos⁡α=1213513=1213.135=125

b) cos⁡α=1517

* Ta có: sin2α+cos2α=1

Suy ra: 

sin2α=1−cos2α=1−(1517)2=1−225289=64289

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=64289=817

* tanα=sin⁡αcos⁡α=8171517=817.1715=815

c) cos⁡α=0,6

* Ta có: sin2α+cos2α=1.

Suy ra: sin2α=1−cos2α

=1−(0,6)2=1−0,36=0,64

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=0,64=0,8

* tanα=sin⁡αcos⁡α=0,80,6=86=43

Bài 81 trang 119 SBT Toán 9 tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức:

a) 1−sin2α;

b) (1−cos⁡α)(1+cos⁡α);

c) 1+sin2α+cos2α;

d) sin⁡α−sin⁡α.cos2α;

e) sin4α+cos4α+2.sin2α.cos2α;

g) tan2α−sin2α.tan2α;

h) cos2α+tan2α.cos2α;

i) tan2α(2.cos2α+sin2α−1).

Phương pháp giải:

Áp dụng các kiến thức:

1) sin2α+cos2α=1

2) tan2α=sin2αcos2α

Lời giải:

a)

 1−sin2α=(sin2α+cos2α)−sin2α

=sin2α+cos2α−sin2α=cos2α

b)

(1−cos⁡α)(1+cos⁡α)=1−cos2α=(sin2α+cos2α)−cos2α

=sin2α+cos2α−cos2α=sin2α

c)

1+sin2α+cos2α=1+(sin2α+cos2α)=1+1=2

d)

 sin⁡α−sin⁡α.cos2α=sin⁡α(1−cos2α)

=sin⁡α[(sin2α+cos2α)−cos2α]

=sin⁡α(sin2α+cos2α−cos2α)

=sin⁡α.sin2α=sin3α

e)sin4α+cos4α+2.sin2α.cos2α=(sin2α+cos2α)2=12=1

g) tan2α−sin2α.tan2α=tan2α(1−sin2α)

=tan2α.[(sin2α+cos2α)−sin2α]

=tan2α.cos2α=sin2αcos2α.cos2α=sin2α

h)cos2α+tan2α.cos2α=cos2α+sin2αcos2α.cos2α=cos2α+sin2α=1

i)

tan2α(2.cos2α+sin2α−1) 
=tan2α.[cos2α+(cos2α+sin2α)−1]

=tan2α.(cos2α+1−1)=tan2α.cos2α

=sin2αcos2α.cos2α=sin2α

Bài 82 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6,7,9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất.
Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó. 
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông:  Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Gọi độ dài đường cao là c, hình chiếu của hai cạnh 6 và 7 trên cạnh có độ dài bằng 9 lần lượt là a và b. 

Ta có: a<b ( vì 6<7)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

c2=62−a2=36−a2

c2=72−b2=49−b2

Suy ra: 36−a2=49−b2

⇔b2−a2=49−36

⇔(b+a)(b−a)=13

Mà a+b=9 (*) nên:

9.(b−a)=13⇔b−a=139⇒b=a+139

Thay vào (*), ta có:

a+a+139=9⇔2a+139=9 
⇔a=9−1392=349

Suy ra: b=9−a=9−349=479

c=49−(479)2≈4,7

Bài 83 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống

cạnh bên có độ dài là 6.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất về cạnh và đường cao của tam giác cân.

Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Giả sử ∆ABC cân tại A có AH⊥BC,AH=5,BK⊥AC,BK=6.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra HB=HC=12BC (tính chất tam giác cân)

SABC=12AH.BC=12BK.AC=12.5.BC=12.6.AC

Suy ra: 5BC=6AC⇒BC=65AC(1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH, ta có:

AC2=AH2+HC2=52+(BC2)2=25+BC24(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC2=25+36AC2254=2500100+36AC2100

Suy ra:

100AC2=2500+36AC2

⇔64AC2=2500⇔8AC=50⇒AC=6,25

Vậy BC=65.6,25=7,5.

Bài 84 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB=a,AC=3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D,E sao cho AD=DE=EC.

a) Chứng minh: DEDB=DBDC

b) Chứng minh ∆BDE  đồng dạng  ∆CDB

c) Tính tổng AEB^+BCD^ bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Phương pháp giải:

– Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

– Các trường hợp bằng nhau của tam giác.

– Sử dụng: Trong tam giác ABC vuông tại A thì tanACB^=ABAC

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

a) Ta có: AD=DE=EC=AC3=a

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

BD2=AD2+AB2=a2+a2=2a2

Suy ra: BD=a2

Ta có: 

DEDB=aa2=22;DBDC=a22a=22

Vậy DEDB=DBDC

b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:

DEDB=DBDC        (1)

BDE^=BDC^        (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB (c-g-c).

c) * Cách 1:

Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDB ⇒BED^=CBD^

Mặt khác:

AEB^+BCD^=BED^+BCD^=CBD^+BCD^         (3)

Trong ∆BCD, ta có:

ADB^=CBD^+BCD^ (tính chất góc ngoài) (4)

Lại có: ADB^=45∘ (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AEB^+BCD^=45∘

*  Cách 2:

Ta có: AE=AD+DE=2a 

Trong tam giác ABE, ta có: 

tanAEB^=ABAE=a2a=12

Suy ra: AEB^=26∘34′

Trong tam giác vuông ABC, ta có: 

tanACB^=ABAC=a3a=13

Suy ra: ACB^=18∘26′

Suy ra AEB^+ACB^=26∘34′+18∘26′=450

Vậy AEB^+ACB^=AEB^+BCD^=45∘

Bài 85 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: (h.31) Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m. 

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)
Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : 

Trong tam giác ABH vuông tại H thì , từ đó tìm độ lớn góc .

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh AB, AC của một tam giác cân ABC (hình vẽ). Chiều cao AH của tam giác ABC cũng là đường phân giác của tam giác. Khi đó ta có: BAH^=BAC^2=α2

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

cosα2=AHAB=0,82,34≈0,3419

Bấm máy tính: SHIFT cos 0,3419 = 

Suy ra: α2≈70∘

Vậy α≈140∘.

Bài 86 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình 32. 

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Biết:

AD⊥DC,DAC^=74∘

AXB^=123∘,AD=2,8cm; AX=5,5cm,BX=4,1cm.

a) Tính AC.

b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY⁄⁄BX. Hãy tính XY

c) Tính diện tích tam giác BCX.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)

a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:

AC=ADcos⁡CAD^=2,8cos⁡74∘≈10,158(cm)

b) Kẻ DN⊥AC

Trong tam giác vuông AND, ta có:

DN=AD.sin⁡DAN^=2,8.sin⁡74∘≈2,692(cm)

AN=AD.cos⁡DAN^=2,8.cos⁡74∘≈0,772(cm)

Vì BX//DY nên DYX^=BXY^=123∘ ( hai góc so le trong)

Mà DYN^+DYX^=180∘ (kề bù)

Suy ra:

DYN^=180∘−DYX^=180∘−123∘=57∘

Trong tam giác vuông DYN, ta có:

NY=DN.cot⁡DYN^≈2,692.cot⁡57∘≈1,748(cm)

Ta có: 

XY=AX−(AN+NY)=5,5−(0,772+1,748)=2,98cm

c) Ta có:

CX=AC−AX≈10,158−5,5=4,658(cm)

Kẻ BM⊥CX

Ta có:

BXC^=180∘−BXA^=180∘−123∘=57∘

Trong tam giác vuông BMX, ta có:

BM=BX.sin⁡BXC^=4,1.sin⁡57∘≈3,439(cm)

SBCX=12BM.CX=12.3,439.4,658≈8,009(cm2).

Bài 87 trang 120 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác ABC có A^=20∘,B^=30∘,AB=60cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. (h.33).

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8) 

Hãy tìm:

a) AP, BP;

b) CP.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

cot α = cạnh kề : cạnh đối.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ACP, ta  có:

AP=CP.cot⁡PAC^(1)

Trong tam giác vuông BCP, ta có:

BP=CP.cot⁡PBC^(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(AP+BP)=CP.cot⁡PAC^+CP.cot⁡PBC^

Hay AB=CP(cot⁡PAC^+cot⁡PBC^)

Suy ra: 

CP=ABcot⁡PAC^+cot⁡PBC^=ABcot⁡20∘+cot⁡30∘≈13,394(cm)

b) Thay CP=13,394 vào  (1) ta có:

AP=13,394.cot⁡20∘≈36,801(cm)

Thay CP=13,394 vào  (2) ta có:

BP=13,394.cot⁡30∘≈23,199(cm)

Bài 88 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc “nâng” để  nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 40∘ và tại vị trí B là 30∘ (h.34). Hãy tìm độ cao của máy bay.

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối trong tam giác vuông. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 10)

Gọi C là vị trí của máy bay.

Kẻ CH⊥AB

Trong tam giác vuông ACH, ta có: 

AH=CH.cot⁡A^(1)

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

BH=CH.cot⁡B^(2)

Từ (1) và (2) suy  ra: 

AH+BH=CH.cot⁡A^+CH.cot⁡B^

Hay AB=CH.(cot⁡A^+cot⁡B^)

Suy ra: 

CH=ABcot⁡A^+cot⁡B^=ABcot⁡40∘+cot⁡30∘≈102,61(m)

Bài 89 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm, hai cạnh bên bằng nhau và bằng 25cm, góc tù bằng 120∘. Tính chu vi và diện tích của hình thang đó.
Phương pháp giải:

– Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

– Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh bao quanh của hình đó.

– Diện tích hình thang bằng đáy lớn cộng đáy bé (cùng đơn vị đo) chia 2 rồi nhân với chiều cao.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 11)

Giả sử hình thang ABCD có đáy nhỏ AB=15cm, cạnh bên AD=BC=25cm, ABC^=BAD^=120∘.

Kẻ AH⊥CD,BK⊥CD

Ta có: AB//HK và AH//BK (cùng vuông với CD) nên ABKH là hình bình hành.

Suy ra: HK=AB=15(cm) và AH=BK 

Vì AB//CD nên ADC^+DAB^=180∘ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra:

ADC^=180∘−DAB^=180∘−120∘=60∘

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

DH=AD.cos⁡ADC^=25.cos⁡60∘=12,5(cm)

AH=AD.sin⁡ADC^=25.sin⁡60∘=2532(cm)

Ta có: AH=BK (cmt) và AD=BC (gt) nên hai tam giác vuông ∆ADH=∆BCK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: CK=DH=12,5(cm)

Ta có: CD=CK+KH+HD=12,5+15+12,5=40cm

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+DA

=15+25+40+25

=105(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

SABCD=AB+CD2.AH=15+402.2522≈595,392(cm2)

Bài 90 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm, AC=8cm.

a) Tính BC,B^,C^;

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD,CD.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?  Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Vận dụng tính chất đường phân giác tìm độ dài cạnh BD.

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình tứ giác đã học.

   Tính chu vi và diện tích của tứ giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 12)

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: 

BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100(cm)

Suy ra: BC=100=10(cm)

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: sin⁡C=ABAC=610=0,6

Suy ra: C^=36∘52′

Ta có: B^+C^=90∘ (vì tam giác ABC vuông tại A)

⇒B^=90∘−C^=90∘−36∘52′=53∘8′

b) Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC, nên: 

BDDC=ABAC (tính chất đường phân giác)

Suy ra: BDBD+DC=ABAB+AC

⇒BDBC=ABAB+AC

Suy ra: BD=BC.ABAB+AC=10.66+8=307(cm)

DC=BC−BD=10−307=407

c) Ta có: A^=AED^=AFD^=900

Suy ra tứ giác AEDF có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.

Mặt khác, D nằm trên tia phân giác của góc A nên DE=DF (tính chất tia phân giác của 1 góc)

Vậy tứ giác AEDF là hình vuông.

 Vì DE⊥AB,AC⊥AB nên DE//AC

Theo định lí Ta-lét trong tam giác BAC, ta có:

CDBC=AEAB⇒AE=CD.ABBC=407.610=247

Chu vi tứ giác AEDF bằng: 4AE=4.247=967(cm)

 

Diện tích tứ giác AEDF bằng: AE2=(247)2=57649(cm2)

Bài 91 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD=5a, AC=12a.

a) Tính sin⁡B+cosBsin⁡B−cosB.

b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Chiều cao hình thang ABCD bằng chiều cao tam giác ABC, áp dụng tỉ số lượng giác, tìm chiều cao của tam giác ABC.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB2=BC2+AC2=(5a)2+(12a)2=169a2

Suy ra: AB=169a2=13a

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin⁡B^=ACAB=12a13a=1213

cos⁡B^=BCAB=5a13a=513

Suy ra: 

sin⁡B^+cos⁡B^sin⁡B^−cos⁡B^=1213+5131213−513=1713713=1713.137=177

b) Kẻ CH⊥AB

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

CH=CB.sin⁡B^=5a.1213=60a13

Bài 92 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác cân ABC, AB=AC=10cm, BC=16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho AI=13AH. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tứ giác ABCD.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go và kiến thức về đường trung bình của tam giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

a) Vì tam giác ABC cân tại A có AH⊥BC nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: HB=HC=BC2=8(cm)

Trong tam giác vuông ABH, ta có: 

cos⁡B^=HBAB=810=0,8

Suy ra: B^≈36∘52′

Vì ∆ABC cân nên B^=C^=36∘52′

Ta có: A^+B^+C^=180∘ (tổng 3 góc trong tam giác ABC)

A^=180∘−(B^+C^)=180∘−(36∘52′+36∘52′)=106∘16′

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2=AH2+BH2⇒AH2=AB2−BH2=102−82=36

Suy ra: AH=6(cm)

Ta có: AI=13.AH=13.6=2(cm)

Suy ra: IH=AH−AI=6−2=4(cm)

Vì IH⊥BC và DC⊥BC nên IH//DC (1)

Mặt khác: BH=HC (cmt)  (2)

Từ (1) và (2) ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra: IH=12CD hay CD=2.IH=2.4=8(cm)

Ta có:  

SABH=12AH.BH=12.6.8=24(cm2)

Vì AH//DC nên AHCD là hình thang và AH⊥HC nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó: 

SAHCD=AH+CD2.HC=6+82.8=56(cm2)

Vậy SABCD=SABH+SAHCD=24+56=80 (cm2)

Bài 93 trang 121 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC. Biết : AB=21cm, AC=28cm,BC=35cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính sinB, sinC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go đảo.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

a) Ta có: AB2=212=441

AC2=282=784

BC2=352=1225

Vì AB2+AC2=441+784=1225=BC2  nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí đảo Pi-ta-go).

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 

sin⁡B^=ACBC=2835=45=0,8

sin⁡C^=ABBC=2135=35=0,6

Bài 94 trang 122 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB=a và CD=2a, cạnh bên AD=a, A^=90∘

a) Chứng minh tanC^=1. 

b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

– Tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

– Công thức tính diện tích tam giác và hình thang. 

– Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

 SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

a) Kẻ BH⊥CD 

Ta có: AB//CD nên A^+ADC^=1800 (hai góc trong cùng phía bù nhau) và A^=90∘ (gt)

Suy ra: ADC^=90∘

Từ đó, tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Mà AB=AD=a nên ABHD là hình vuông.

Suy ra: DH=BH=AB=a

Ta có: CD=DH+HC

Suy ra: HC=CD–DH=2a–a=a

Vậy tanC^=BHCH=aa=1

b) Ta có: SBCD=12BH.CD=12a.2a=a2 (đvdt)

SABCD=AB+CD2.AD=a+2a2.a=32a2 (đvdt)

Vậy SBCDSABCD=a232a2=132=23.

c) Diện tích tam giác ADC vuông tại D là: SADC=12AD.DC=12a.2a=a2 (đvdt)

Mà SABCD=32a2 (theo câu b)

Ta có: SABC=SABCD−SADC=32a2−a2=12a.a=12a2 (đvdt)

Vậy SABCSBCD=12a2a2=12

(với đvdt: đơn vị diện tích)

Bài 95 trang 122 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng 120∘, BC=12cm,AB=6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

a) Tính độ dài đường phân giác BD.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM⊥BD.

Phương pháp giải:

– Vận dụng định lí Ta-lét trong tam giác.

– Chứng minh tam giác ABM cân tại B.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên: 

ABD^=CBD^=ABC^2=120∘2=60∘

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CB tại E.

Lại có:

BAE^=ABD^=60∘ (so le trong)

 AEB^=CBD^=60∘ (đồng vị)

Suy ra tam giác ABE đều (vì có 2 góc bằng 600)

⇒AB=BE=EA=6(cm)(1)

Khi đó: CE=BC+BE=12+6=18(cm)

Tam giác ACE có AE//BD nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta suy ra:

BCCE=BDAE 
⇒BD=BC.AECE=12.618=4(cm)

b) Vì M là trung điểm cạnh BC nên ta có: 

MB=MC=12.BC=12.12=6(cm)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM=AB⇒ ∆ABM cân tại B.

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy BD⊥AM

Bài 96 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH,CH có độ dài lần lượt là 4cm,9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất hình chữ nhật và hệ thức lượng giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông.

b) Áp dụng tính chất của hình chữ nhật và tam giác cân.

c) Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết hình thang và cách tính diện tích của hình đó.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

a) Ta có:

HD⊥AB⇒ADH^=90∘

HE⊥AC⇒AEH^=90∘

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: AH=DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

AH2=HB.HC=4.9=36⇒AH=6(cm)

Vậy DE=6(cm)

b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA=GD=GH=GE (tính chất hình chữ nhật ADHE)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Ta có:

GDH^=GHD^(1)

GDH^+MDH^=90∘(2)

GHD^+MHD^=90∘(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MDH^=MHD^(4)

Suy ra tam giác MDH cân tại M ⇒MD=MH(5)

Lại có: MDH^+MDB^=90∘(6)

MBD^+MHD^=90∘ (∆BDH vuông tại D) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: MDB^=MBD^

Suy ra tam giác MBD cân tại M ⇒MB=MD(8)

 Từ (5) và (8) suy ra: MB=MH hay M là trung điểm của BH.

*Tam giác GHE cân tại G (do GH=GE (cmt))

Ta có: GHE^=GEH^(9)

GHE^+NHE^=90∘ (10)

GEH^+NEH^=90∘ (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: NHE^=NEH^ (12)

Suy ra tam giác NEH cân tại N ⇒NE=NH (13)

Lại có: NEC^+NEH^=90∘ (14)

NHE^+NCE^=90∘ (∆CEH vuông tại E) (15)

 

Từ (12), (14) và (15) suy ra: NEC^=NCE^

Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒NC=NE(16)

Từ (13) và (16) suy ra: NC=NH hay N là trung điểm của CH. 

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM=12BH=12.4=2(cm)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

EN=12CH=12.9=4,5(cm)

Mà MD⊥DE và NE⊥DE nên MD//NE

Suy ra tứ giác DENM là hình thang

Vậy 

SDENM=DM+NE2.DE=2+4,52.6=19,5cm2.

Bài 97 trang 122 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, C^=30∘,BC=10cm.

a) Tính AB,AC.

b) Từ A kẻ AM,AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Chứng minh: MN//BC và MN=AB.

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

a) Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

b) Dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật.

c) Các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:

AB=BC.sin⁡C^=10.sin⁡30∘=10.12=5(cm)

AC=BC.cos⁡C^=10.cos⁡30∘=10.32=53(cm)

b) Ta có:

BM⊥BN (hai tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau) ⇒MBN^=90∘(1)

AM⊥BM (gt) ⇒AMB^=90∘(2)

AN⊥BN (gt) ⇒ANB^=90∘(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Suy ra AM=BN,BM=AN,AB=MN (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: ∆AMB=∆NBM (c.g.c)

⇒ABM^=NMB^

Mà ABM^=MBC^(gt)

Suy ra: NMB^=MBC^

Suy ra MN//BC (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB=MN.

c) Tam giác ABC vuông tại A nên ABC^+C^=90∘

Suy ra: ABC^=90∘−C^=90∘−30∘=60∘

Suy ra: ABM^=12ABC^=12.60∘=30∘

Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:

BAC^=AMB^=90∘

ACB^=ABM^=30∘

Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)

Tỉ số đồng dạng: k=ABBC=510=12

Bài 98 trang 122 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác AB=6cm, AC=4,5cm,BC=7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B^,C^ và đường cao AH của tam giác.

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho SABC=SBMC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go đảo và tỉ số lượng giác.

b) Dựa vào diện tích của các hình tam giác ABC và MBC để biện luận.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8)

a) Ta có:

AB2=62=36

AC2=4,52=20,25

BC2=7,52=56,25

Vì AB2+AC2=36+20,25=56,25=BC2 nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí Pi-ta-go đảo).

Kẻ AH⊥BC. Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

AH.BC=AB.AC⇔AH=AB.ACBC=6.4,57,5=3,6(cm)

Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông, ta có: sin⁡C^=ACBC=4,57,5=0,6

Suy ra: C^=53∘8′

Ta có:

B^+C^=90∘ (vì tam giác ABC vuông tại A)

⇒B^=90∘−C^=90∘−53∘8′=36∘52′

b) Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời SABC=SMBC  nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.

Bài 99 trang 122 SBT Toán 9 tập 1: Gọi AM,BN,CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC;

b) AN.BL.CM =AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

a) Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

BNA^=CLA^=90∘

A^ chung

Suy ra ∆BNA đồng dạng ∆CLA (g.g)

Suy ra: ALAN=ACAB⇒ALAC=ANAB

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

ALAC=ANAB

A^ chung

Suy ra ∆ABC đồng dạng ∆ANL (c.g.c)

b) ABN vuông tại N nên AN=AB.cos⁡B^(1)

∆BCL vuông tại L nên BL=BC.cos⁡B^(2)

∆ACM vuông tại M nên CM=AC.cos⁡C^(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

AN.BL.CM=AB.BC.CA.cos⁡A^cos⁡B^cos⁡C^.