tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 1 trang 102 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

  SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Phương pháp giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

a) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Xét tam giác ABC có chiều cao AH.

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

BC2=AC2+AB2=52+72

Hay x+y=BC=52+72=74 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2=BH.BC 

⇒52=x.74⇒x=2574

Thay x=2574 vào x+y=74, ta có:

y+2574=74⇒y=74−2574=74−2574=4974

Vậy x=2574;y=4974.

b) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:  

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Xét tam giác ABC có chiều cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2=CH.BC

⇒142=y.16⇒y=14216=19616=12,25 

Mà x+y=16⇒x=16−y=16−12,25=3,75

Vậy x=12,25;y=3,75.

Bài 2 trang 102 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1) 

Phương pháp giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH=HB.HC hay h=c′.b′

Lời giải:

a)  Đặt tên hình như hình dưới đây:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3) 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

AB2=BH.BC hay x2=2.(2+6)=2.8=16⇒x=4

AC2=CH.BC  hay y2=6.(2+6)=6.8=48⇒y=48=43

b) Đặt tên hình như hình dưới đây:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

AH2=HB.HC hay x2=2.8=16⇒x=4 

Bài 3 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5) 

Phương pháp giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

a)   Hình a

Theo định lý Pi-ta-go, ta có: 

y2=72+92⇒y=72+92=130 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y=7.9⇒x=7.9y=63130 

b)  Hình b

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

52=x.x=x2⇒x=5 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y2=x.(x+x)=5.(5+5)=50⇒y=50=52 

Bài 4 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1) 

Phương pháp giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′  

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH.BC=AB.AC

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago) 

Lời giải:

a) Hình a 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

32=2.x⇒x=322=92=4,5 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

y2=x.(x+2)=4,5.(4,5+2)⇒y2=29,25⇒y=29,25

b) Hình b

Ta có:

ABAC=34⇒AB3=AC4⇒AC=4.AB3=4.153=4.5=20

Theo định lý Pi-ta-go, ta có:

y2=BC2=AB2+AC2=152+202=625

Suy ra:

y=625=25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y=15.20⇒x=15.20y=15.2025=12 

Bài 5 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.5).

 SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3) 

Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a) Cho AH=16,BH=25. Tính AB,AC,BC,CH

b) Cho AB=12,BH=6. Tính AH,AC,BC,CH.

Phương pháp giải:

Để giải bài toán ta áp dụng các công thức sau: 

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH2=HB.HC;AB.AC=AH.BC

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

a)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: AH2=BH.CH

⇒CH=AH2BH=16225=10,24

BC=BH+CH=25+10,24=35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

AB2=BH.BC⇒AB=BH.BC=25.35,24=881≈29,68

AC2=HC.BC⇒AC=CH.BC=10,24.35,24=360,9≈18,99 

 b)

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:     

AB2=BH.BC⇒BC=AB2BH=1226=24

CH=BC−BH=24−6=18

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2=HC.BC⇒AC=CH.BC=18.24=432≈20,78 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH2=HB.HC⇒AH=HB.HC=6.18=108=63 

Bài 6 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng và nó chia ra trên cạnh huyền.
Phương pháp giải:
SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH2=HB.HC;AB.AC=AH.BC

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago) 

Lời giải:

Ta vẽ được hình dưới đây: 

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Giả sử tam giác ABC có: BAC^=90∘

AB=5,AC=7 

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

BC2=AB2+AC2

⇒BC=AB2+AC2=52+72=74 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=5.774=3574 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2=BH.BC⇒BH=AB2BC=5274=2574

CH=BC−BH=74−2574=74−2574=4974

Bài 7 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. 

Phương pháp giải:
SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Giả sử tam giác ABC có: BAC^=900,AH⊥BC,BH=3,CH=4

Ta có BC=BH+CH=3+4=7

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

AB2=BH.BC=3.7=21⇒AB=21;

AC2=CH.BC=4.7=28⇒AC=28=27. 

Bài 8 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

6

Phương pháp giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A. 

Để giải bài toán ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thực hiện liên kết các dữ kiện:

BC−AB=1(cm)  

AB+AC−BC=4(cm)

Bước 2: Cộng vế với vế để tìm ra một cạnh trong tam giác.

Bước 3: Sử dụng định lí Pytago để tìm các cạnh còn lại của tam giác. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Giả sử tam giác ABC có BAC^=90∘

Theo đề  bài, ta có: BC−AB=1(cm)  (1) 

AB+AC−BC=4(cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:   

(BC−AB)+(AB+AC−BC)=1+4
⇔BC−AB+AB+AC−BC=5
⇔AC=5

Theo định lý Pytago, ta có: BC2=AB2+AC2    (3)

Từ (1) suy ra: BC=AB+1   (4)

Thay (4) và (3) ta có:

(AB+1)2=AB2+AC2⇔AB2+2AB+1=AB2+52⇔2AB=24⇔AB=12(cm)

Thay AB=12 (cm) vào (1) ta có: BC=12+1=13(cm)

Bài 9 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2.Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này. 

Phương pháp giải:

Xét tam giác ABC có BAC^=900,AH⊥BC,BC=5,AH=2 và BH<CH

Suy luận để có BH+CH=5

Sử dụng hệ thức: BH.CH=AH2

Từ đó tính được BH, suy ra cạnh AB và lập luận để có AB là cạnh nhỏ nhất. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Giả sử tam giác ABC có BAC^=900,AH⊥BC,BC=5,AH=2 và BH<CH

Ta có: BH+CH=BC=5 nên BH=5−CH  (1) 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:  

BH.CH=AH2=22=4    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

BH(5−BH)=4
⇔BH2−5BH+4=0

⇔BH2−4BH−BH+4=0

⇔BH(BH−4)−(BH−4)=0

⇔(BH−1)(BH−4)=0
⇔[BH=1⇒CH=4BH=4⇒CH=1

Do BH<CH nên BH=1 và CH=4 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2=BH.BC=1.5=5 

Suy ra: AB=5.

Vì BH<CH nên AB<AC hay AB=5 là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC.

Bài 10 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3:4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:  

ab=cd=a+cb+d

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 

Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC 

+) AC2=CH.BC

+) AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

Giả sử ΔABC vuông tại A chiều cao AH,BC=125cm và ABAC=34

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Từ ABAC=34 suy ra: AB3=AC4⇒AB29=AC216

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  

AB29=AC216=AB2+AC29+16=AB2+AC225(1) 

Theo định lí Pytago, ta có:

BC2=AB2+AC2⇒AB2+AC2=1252=15625(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB29=AC216=AB2+AC225=1562525=625

Suy ra :

AB2=9.625=5625⇒AB=5625=75(cm)

AC2=16.625=10000⇒AC=10000=100(cm) 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2=BH.BC⇒BH=AB2BC=752125=45(cm)

CH=BC−BH=125−45=80(cm). 

Bài 11 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng ABAC=56, đường cao AH=30cm. Tính HB,HC.
Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC 

+) AC2=CH.BC 

+) AH2=HB.HC;AB.AC=AH.BC

+) AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

AHB^=CHA^=900 

ABH^=CAH^ (hai góc cùng phụ ACB^) 

Vậy ∆AHB∽∆CHA (g.g)

Suy ra: AHHC=ABCA.  (1)

Theo đề bài: ABAC=56 và AH=30(cm)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 30HC=56⇒HC=30.65=36(cm)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

AH2=HB.HC⇒HB=AH2HC=30236=25(cm)

Bài 12 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH>R. 

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tam giác ABC vuông tại A, ta có AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA=R+230

=6370+230=6600(km)  

Trong tam giác cân AOB ta có: OH⊥AB nên H là trung điểm của AB 

Suy ra: HA=HB=AB2=22002=1100(km)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHO ta có: AO2=AH2+OH2

Suy ra: OH2=OA2−AH2

Suy ra:

OH=OA2−AH2=66002−11002=42350000≈6508(km) 

Vì OH>R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Bài 13 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:

a) a2+b2       

b) a2−b2,(a>b) 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OAB vuông tại O, ta có:

AB2=OA2+OB2

Lời giải:

a)

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

* Cách dựng:

−  Dựng góc vuông xOy.

−  Trên tia Ox, dựng đoạn OA=a.

−  Trên tia Oy, dựng đoạn OB=b.

−  Nối AB ta có đoạn AB=a2+b2 cần dựng.

* Chứng minh:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2=OA2+OB2=a2+b2 

Suy ra: AB=a2+b2.

 b)

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

*  Cách dựng :

− Dựng góc vuông xOy.

− Trên tia Oy, dựng đoạn OA=b.

− Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt tia Ox tại B.

Ta có đoạn OB=a2−b2(a>b) cần dựng.

*     Chứng minh;

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2=OA2+OB2⇒OB2=AB2−OA2=a2−b2 

Suy ra: OB=a2−b2

Bài 14 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng ab như thế nào?   

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó ta có hệ thức sau: AH2=BH.CH

Từ đó suy ra cách dựng hình thỏa mãn đề bài.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

*  Cách dựng:

−     Dựng đường thẳng x.

−     Trên đường thẳng x dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB=a, BC=b.

−     Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

−     Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D.

Ta có đoạn BD=ab cần dựng. 

*  Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có tam giác ACD vuông tại D (do OD=OA=OC=AC2) và DB⊥AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

BD2=AB.BC=a.b

Suy ra: BD=ab. 

Bài 15 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Giữa hai tòa nhà ( kho và phân xưởng) của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (h.7). Tìm độ dài AB của băng chuyền.  

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)   

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Kẻ BH⊥AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật (vì C^=D^=H^=900). 

Suy ra DH=BC=4m và BH=CD=10m (tính chất hình chữ nhật)

Và AH=AD−DH=8−4=4(m)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2=BH2+AH2 

Suy ra: AB=BH2+AH2=102+42=116≈10,8(m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 

Bài 16 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5,12,13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.  
Phương pháp giải:

Định lí Pytago đảo: 

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Ta có: 52+122=25+144=169=132

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pytago đảo (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông. 

Bài 17 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B
cắt đường chéo AC thành hai đoạn 427m và 557m. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC: 

Cho tam giác ABC vuông tại A thì ta có:

BC2=AC2+AB2 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

ab=cd=a+cb+d

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc ABC^ với cạnh AC là E.

Theo đề bài ta có:  

AE=427m,EC=557m.

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: AEEC=ABBC

Suy ra:

ABBC=427557=307407=34

Suy ra: AB3=BC4⇒AB29=BC216

Ta có AC=AE+EC=427+557=10 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB2+BC2=AC2=102=100 

Khi đó, ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

AB29=BC216=AB2+BC29+16=AB2+BC225=10025=4

Suy ra: AB2=9.4=36⇒AB=36=6(m)

BC2=16.4=64⇒BC=64=8(m)

Vậy: AB=CD=6m   

BC=AD=8m.

Bài 18 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC:

Cho tam giác ABC vuông tại A thì ta có:

BC2=AC2+AB2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

ab=cd=a+cb+d

ab=cd⇒a2b2=c2d2=a2+c2b2+d2 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Gọi a,b,c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b=30cm,c=40cm. 

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có: 

AHB^=CHA^=90∘

ABH^=CAH^ (hai góc cùng phụ ACB^)

Vậy ΔAHB đồng dạng ΔCHA (g.g)

Suy ra: HBHA=HAHC=BAAC=HB+HA+BAHA+HC+AC=bc

Suy ra: BAAC=bc=3040=34

Suy ra: BA3=AC4⇒BA29=AC216=BA2+AC29+16=BA2+AC225

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2=AB2+AC2 

Suy ra:

BA29=AC216=BC225⇒BA3=AC4=BC5

Xét hai tam giác vuông AHB và CAB, ta có: 

CAB^=CHA^=90∘

C^ chung

Nên ΔCAB đồng dạng ΔCHA (g.g)

Suy ra các tam giác ABH,CAH,CBA đồng dạng với nhau nên:

b:c:a=BA:AC:BC=3:4:5 

Suy ra: b3=c4=a5⇔303=404=a5

Bài 19 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=6cm và AC=8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.   
Phương pháp giải:

+ Tính chất đường phân giác:

– Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. 

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Xét tam giác ABC có AM là phân giác của góc trong BAC^.

Ta có hệ thức: ABAC=AMMC

 – Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Tính chất tỉ lệ thức:

ab=cd⇒aa+b=cc+d. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:  

MAMC=ABBC⇒MAMA+MC=ABAB+BC (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: MA=AB.(MA+MC)AB+BC=AB.ACAB+BC=6.86+10=4816=3(cm)

Vì BM,BN lần lượt là đường phân giác của góc  trong và góc ngoài tại đỉnh B nên ta có: BM⊥BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B. 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB2=AM.AN

 Suy ra: AN=AB2AM=623=363=12(cm)

Bài 20 trang 105 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC,AC,AB. Chứng minh rằng: 

BD2+CE2+AF2=DC2+EA2+FB2. 

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5) 

Phương pháp giải:

– Vẽ hình phụ tạo thành các tam giác vuông (với bài toán này ta nối các điểm tạo thành các cạnh AM,BM,CM).

– Xét các tam giác vuông, sử dụng định lý Pytago tạo thành các đẳng thức phù hợp. 

– Tìm mối liên hệ giữa các đẳng thức vừa được tạo thành và đẳng thức cần được chứng minh của bài toán.

Sử dụng: Định lý Pytago: Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: BC2=AB2+AC2

Lời giải:

Nối AM,CM,BM ta được hình dưới đây:

SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông BDM, ta có: 

BM2=BD2+DM2⇒BD2=BM2−DM2   (1)

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông CEM, ta có:

CM2=CE2+EM2⇒CE2=CM2−EM2   (2)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFM, ta có:

AM2=AF2+FM2⇒AF2=AM2−FM2    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

BD2+CE2+AF2

=BM2−DM2+CM2−EM2+AM2−FM2    (4)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông BFM, ta có:

BM2=BF2+FM2        (5)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông CDM, ta có:

CM2=CD2+DM2          (6)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEM, ta có: 

AM2=AE2+EM2            (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

BD2+CE2+AF2=BF2+FM2−DM2+CD2+DM2−EM2+AE2+EM2−FM2=DC2+EA2+FB2

Vậy BD2+CE2+AF2=DC2+EA2+FB2.