tailieuviet.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )
chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )
Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )
Trả lời câu hỏi giữa bài
a) 45
b) 3125
c) 32a3 với a > 0
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
Với các biểu thức A,B mà A.B≥0;B≠0 ta có AB=AB|B|={ABBkhiB>0−ABBkhiB<0
Lời giải:
a) 45=4.55.5=4.552=255
b) 3125=3.125125.125=3.1251252=3.5.251252=515125=1525
c) 32a3=32a3=3a2.2a=3|a|2a=3a2a =3.2aa2a.2a=6a2a2
a) 538;2b với b > 0
b) 55−23;2a1−a với a≥0 và a≠1
c) 47+5;6a2a−b với a > b > 0
a) Phương pháp giải:
Với hai biểu thức A, B mà B>0, ta có
AB=ABB.
Lời giải:
+) 538=5838.8=583.8=5248
+) 2b=2bb.b=2bb
b, c ) Phương pháp giải:
Với các biểu thức A, B, C mà A≥0 và A≠B2, ta có
CA±B=C(A∓B)A−B2.
Lời giải:
b)
55−23=5(5+23)(5−23)(5+23)=5(5+23)25−12=5(5+23)13
2a1−a=2a(1+a)(1−a)(1+a)=2a(1+a)1−a
c)
47+5=4(7−5)(7+5)(7−5)=4(7−5)7−5=2(7−5)
6a2a−b=6a(2a+b)(2a−b)(2a+b)=6a(2a+b)4a−b
Bài tập ( trang 29,30 SGK Toán 9)
1600;11540;350;598;(1−3)227.
Phương pháp giải:
+ ab=ab với a≥0;b>0.
+a.b=a.b, (a, b≥0).
+ Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:
AB=ABB, (B>0).
Lời giải:
+1600=1600=16.100=16.102
=16.102=1106=1.610.6=660
+11540=11540=1136.15
=1136.15=1162.15
=11615=11.156.15
=11.1590=16590.
+ 350=350=325.2=325.2
=352.2=352=3.25.2
=3.210=610
+ 598=598=549.2=5492
=572.2=572=5.27.2
=5.214=1014.
+(1−3)227=(1−3)227=(1−3)29.3
=(1−3)232.3=|1−3|33
Vì 1<3⇔1<3⇔1<3 ⇔1−3<0
⇔|1−3|=−(1−3)=−1+3=3−1.
Do đó: |1−3|33=3−133=3(3−1)9=3−39.
Bài 49 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1 :Khử mẫu của biểu thức lấy căn
abab;abba;1b+1b2; 9a336b;3xy2xy.
(Giả thiết các biểu thức có nghĩa)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức sau:
+ ab=ab, với a≥0, b>0.
+ a2=|a|
+ Nếu a≥0 thì |a|=a
+ Nếu a<0 thì |a|=−a
+ ab=abb, (b>0).
Lời giải:
Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.
+ Ta có
abab=aba.bb.b=ababb2=ababb2=abab|b|.
*) Nếu b>0 thì |b|=b⇒abab|b|=ababb=aab.
*) Nếu b<0 thì |b|=−b⇒abab|b|=−ababb=−aab.
+ Ta có:
abba=abb.aa.a=ababa2
=ab.aba2=ab.ab|a|=aabb|a|
*) Nếu a>0 thì |a|=a⇒aabb|a|=aabab=abb.
*) Nếu a<0 thì |a|=−a⇒aabb|a|=−aabab=−abb.
+ Ta có:
1b+1b2=bb2+1b2=b+1b2
=b+1b2=b+1|b|.
*) Nếu b>0 thì |b|=b⇒b+1|b|=b+1b.
*) Nếu −1≤b<0 thì |b|=−b⇒b+1|b|=−b+1b.
+ Ta có:
9a336b=936.a3b=14.a3.bb.b
=12.a2.abb2=12.a2.abb2
=12.|a|ab|b|=|a|ab2|b|.
*) Nếu a≥0, b>0 thì |a|=a, |b|=b⇒|a|ab2|b|=aab2b.
*) Nếu a<0, b<0 thì |a|=−a, |b|=−b⇒|a|ab2|b|=aab2b.
(Chú ý: Theo đề bài 9a336b có nghĩa nên a, b cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp a, b cùng âm hoặc cùng dương).
+ Ta có:
3xy2xy=3xy.2.xyxy.xy=3xy.2xy(xy)2
=3xy.2xy|xy| =3xy.2xyxy=32xy.
(Vì theo đề bài 2xy có nghĩa nên 2xy>0⇔xy>0⇒|xy|=xy.)
Bài 50 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
510;525;1320;22+252;y+b.yb.y.
Phương pháp giải:
+ (a)2=a, với a≥0.
+ ab=abb, (b>0).
+ A2B=AB, nếu A, B≥0.
+ A2B=−AB, nếu A<0, B≥0.
510=5.1010.10=510(10)2=51010
=5.105.2=102.
+ Ta có:
525=5.525.5=552.(5.5)=552(5)2
=552.5=52.
+ Ta có:
1320=1.20320.20=203.(20.20)=203.(20)2
=203.20=22.560=2560=252.30=530.
+ Ta có:
(22+2)5.2=(22+2).252.2=22.2+2.25.(2)2
=2.2+225.2=2(2+2)5.2=2+25.
+ Ta có:
y+byby=(y+by).yby.y=yy+by.yb.(y)2
=yy+b(y)2by=yy+byby
=y(y+b)b.y=y+bb.
Cách khác:
y+byby=(y)2+byby=y(y+b)by=y+bb
Bài 51 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
33+1;23−1;2+32−3;b3+b;p2p−1.
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:
+ Với các biểu thức A, B, C mà A≥0 và A≠B2, ta có:
CA±B=C(A∓B)A−B2
Lời giải:
+ Ta có:
33+1=3(3−1)(3+1)(3−1)=33−3.1(3)2−12
=33−33−1=33−32.
+ Ta có:
23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)(3)2−12
=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1.
+ Ta có:
2+32−3=(2+3).(2+3)(2−3)(2+3)=(2+3)222−(3)2
=22+2.2.3+(3)24−3
=7+431=7+43.
+ Ta có:
b3+b=b(3−b)(3+b)(3−b)
=b(3−b)32−(b)2=b(3−b)9−b;(b≠9).
+ Ta có:
p2p−1=p(2p+1)(2p−1)(2p+1)
=2pp+p(2p)2−12 =2pp+p4p−1
Bài 52 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:
26−5; 310+7;1x−y;2aba−b
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:
+ Với các biểu thức A, B, C mà A≥0, B≥0 và A≠B, ta có:
CA±B=C(A∓B)A−B
26−5=2(6+5)(6−5)(6+5)
=2(6+5)(6)2−(5)2=2(6+5)6−5
=2(6+5)1=2(6+5).
+ Ta có:
310+7=3(10−7)(10+7)(10−7)
=3(10−7)(10)2−(7)2=3(10−7)10−7
=3(10−7)3=10−7.
+ Ta có:
1x−y=1.(x+y)(x−y)(x+y)
=x+y(x)2−(y)2=x+yx−y
+ Ta có:
2aba−b=2ab(a+b)(a−b)(a+b)
=2ab(a+b)(a)2−(b)2=2ab(a+b)a−b.
Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :
a) 18(2−3)2;
b) ab1+1a2b2
c) ab3+ab4
d) a+aba+b
Phương pháp giải:
+ ab=a.b, với a, b≥0.
+ |a|=a, nếu a≥0
|a|=−a nếu a<0.
+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số a, b không âm, ta có:
a<b⇔a<b
Lời giải:
a) Ta có:
18(2−3)2=18.(2−3)2
=9.2.|2−3|=32.2.|2−3|
=32.|2−3|=32(3−2)
=32.3−3(2)2
=36−3.2=36−6.
(Vì 2<3⇔2<3⇔2−3<0
Do đó: |2−3|=−(2−3)=−2+3=3−2).
b) Ta có:
ab1+1a2b2=aba2b2a2b2+1a2b2=aba2b2+1a2b2
=aba2b2+1a2b2=aba2b2+1(ab)2
=aba2b2+1|ab|
Nếu ab>0 thì |ab|=ab
⇒aba2b2+1|ab|=aba2b2+1ab=a2b2+1.
Nếu ab<0 thì |ab|=−ab
⇒aba2b2+1|ab|=aba2b2+1−ab=−a2b2+1.
c) Ta có:
ab3+ab4=a.bb3.b+ab4=abb4+ab4
=ab+ab4=ab+a(b2)2=ab+a|b2|=ab+ab2.
(Vì b2>0 với mọi b≠0 nên |b2|=b2).
d) Ta có:
a+aba+b=(a)2+a.ba+b=a(a+b)a+b
=a.
Cách khác:
a+aba+b=(a+ab)(a−b)(a+b)(a−b)=aa−ab+ab.a−ab.b(a)2−(b)2=aa−ab+ab−baa−b=aa−baa−b=a(a−b)a−b=a
Bài 54 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):
2+21+2;15−51−3;23−68−2;
a−a1−a;p−2pp−2.
+ a.b=a.b, với a, b≥0.
Lời giải:
* Ta có:
2+21+2=(2)2+21+2=2(2+1)1+2
=2(1+2)2=2.
Cách khác:
2+21+2=(2+2)(1−2)(1+2)(1−2)=2.1−22+2−(2)212−(2)2=2−22+2−21−2=−2−1=2
Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.
* Ta có:
15−51−3=3.5−5.11−3=5.3−5.11−3
=5(3−1)1−3=−5(1−3)1−3=−5.
+ Ta có:
23−68−2=(2)2.3−64.2−2
=2.(2.3)−622−2=2.6−62(2−1)
=6(2−1)2(2−1)=62.
+ Ta có: Điều kiện xác định: 1−a≠0 nên a≠1
a−a1−a=(a)2−a.11−a=a(a−1)1−a
=−a(1−a)1−a=−a.
+ Ta có: Điều kiện xác định: p−2≠0 nên p≠4
p−2pp−2=(p)2−2.pp−2=p(p−2)p−2=p.
Bài 55 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) ab+ba+a+1
b) x3−y3+x2y−xy2
Phương pháp giải:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng:
-Phương pháp đặt nhân tử chung
– Phương pháp nhóm hạng tử.
– Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Sử dụng: a.a=a, với a≥0.
Lời giải:
Ta có:
ab+ba+a+1=(ab+ba)+(a+1)
=(ba+ba)+(a+1)
=(b.a.a+ba)+(a+1)
=[(ba).a+ba.1]+(a+1)
=ba(a+1)+(a+1)
=(a+1)(ba+1).
b)
Phương pháp giải:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng:
-Phương pháp đặt nhân tử chung
– Phương pháp nhóm hạng tử.
– Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Sử dụng hằng đẳng thức:
a2+2ab+b2=(a+b)2
(a−b)(a+b)=a2−b2
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
+ (a)2=a, với a≥0.
Lời giải:
Ta có:
Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức số 7:
x3−y3+x2y−xy2
=[(x)3−(y)3]+(x.xy−y.xy)
=(x−y).[(x)2+x.y+(y)2]
+(x.xy−y.xy)
=(x−y).[(x)2+x.y+(y)2]
+xy.(x−y)
=(x−y).[(x)2+x.y+(y)2+xy]
=(x−y).[(x)2+2x.y+(y)2]
=(x−y).(x+y)2.
Cách 2: Nhóm các hạng tử:
x3−y3+x2y−xy2
=xx−yy+xy−yx (vì x, y>0)
=(xx+xy)−(yx+yy)
=x(x+y)−y(y+x)
=(x+y)(x−y)
=(x+y)(x+y)(x−y)
=(x+y)2(x−y).
Bài 56 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 35;26;29;42
b) 62;38;37;214.
Phương pháp giải:
+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:
Với A≥0, B≥0 ta có: AB=A2B.
Với A<0, B≥0 ta có: AB=−A2B.
+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số a, b không âm, ta có:
a<b⇔a<b.
Lời giải:
Ta có:
a)
{35=32.5=9.5=4526=22.6=4.6=2442=42.2=16.2=32
Vì: 24<29<32<45⇔24<29<32<45
⇔26<29<42<35
b)
{62=62.2=36.2=7237=32.7=9.7=63214=22.14=4.14=56
Vì: 38<56<63<72⇔38<56<63<72
⇔38<214<37<62
Bài 57 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Hãy chọn câu trả lời đúng.
25x−16x=9 khi x bằng
(A) 1;
(B) 3;
(C) 9;
(D) 81.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng:
+ A2B=AB, nếu A, B≥0.
+ x=a⇔(x)2=a2, với x, a≥0.
25x−16x=9
52.x−42.x=9
⇔5x−4x=9
⇔(5−4)x=9
⇔x=9
⇔(x)2=92
⇔x=81
Chọn đáp án D. 81
Lý thuyết Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với hai biểu thức A, B mà AB≥0 và B≠0, ta có:
AB=A⋅B|B|.
Ví dụ: Với x≠0 ta có: 11x=11.x|x|
2. Trục căn thức ở mẫu
Với hai biểu thức A, B mà B>0, ta có
AB=ABB.
Với các biểu thức A, B, C mà A≥0 và A≠B2, ta có
CA±B=C(A∓B)A−B2.
Với các biểu thức A, B, C mà A≥0, B≥0 và A≠B, ta có:
CA±B=C(A∓B)A−B.
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức 3x+2 với x≥0
Ta có:
3x+2=3(x−2)(x+2)(x−2)=3x−6(x)2−4=3x−6x−4
CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn
* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A,B mà B≥0, ta có A2B=|A|B={ABkhiA≥0−ABkhiA<0
* Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) AB=A2B với A≥0 và B≥0
+) AB=−A2B với A<0 và B≥0
Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ
0≤A<B⇔A<B
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức A2=|A|.
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
+) Với các biểu thức A,B mà A.B≥0;B≠0, ta có AB=AB|B|
+) Với các biểu thức A,B mà B>0, ta có AB=ABB
+) Với các biểu thức A,B,C mà A≥0,A≠B2, ta có CA+B=C(A−B)A−B2;CA−B=C(A+B)A−B2
+) Với các biểu thức A,B,C mà A≥0,B≥0,A≠B ta có
CA−B=C(A+B)A−B; CA+B=C(A−B)A−B
Dạng 5: Giải phương trình
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện
+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản
+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
