SBT Toán 9 Ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 

a) cos⁡α=513;

b) cos⁡α=1517;

c) cos⁡α=0,6.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức:

1) sin2α+cos2α=1

2) tanα=sin⁡αcos⁡α

Lời giải:

a) cosα=513

* Ta có:

sin2α+cos2α=1

Suy ra: 

sin2α=1−cos2α=1−(513)2=1−25169=144169

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=144169=1213

* tanα=sin⁡αcos⁡α=1213513=1213.135=125

b) cos⁡α=1517

* Ta có: sin2α+cos2α=1

Suy ra: 

sin2α=1−cos2α=1−(1517)2=1−225289=64289

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=64289=817

* tanα=sin⁡αcos⁡α=8171517=817.1715=815

c) cos⁡α=0,6

* Ta có: sin2α+cos2α=1.

Suy ra: sin2α=1−cos2α

=1−(0,6)2=1−0,36=0,64

Vì sin⁡α>0 nên sin⁡α=0,64=0,8

* tanα=sin⁡αcos⁡α=0,80,6=86=43

a) 1−sin2α;

b) (1−cos⁡α)(1+cos⁡α);

c) 1+sin2α+cos2α;

d) sin⁡α−sin⁡α.cos2α;

e) sin4α+cos4α+2.sin2α.cos2α;

g) tan2α−sin2α.tan2α;

h) cos2α+tan2α.cos2α;

i) tan2α(2.cos2α+sin2α−1).

Phương pháp giải:

Áp dụng các kiến thức:

1) sin2α+cos2α=1

2) tan2α=sin2αcos2α

Lời giải:

a)

 1−sin2α=(sin2α+cos2α)−sin2α

=sin2α+cos2α−sin2α=cos2α

b)

(1−cos⁡α)(1+cos⁡α)=1−cos2α=(sin2α+cos2α)−cos2α

=sin2α+cos2α−cos2α=sin2α

c)

1+sin2α+cos2α=1+(sin2α+cos2α)=1+1=2

d)

 sin⁡α−sin⁡α.cos2α=sin⁡α(1−cos2α)

=sin⁡α[(sin2α+cos2α)−cos2α]

=sin⁡α(sin2α+cos2α−cos2α)

=sin⁡α.sin2α=sin3α

e)sin4α+cos4α+2.sin2α.cos2α=(sin2α+cos2α)2=12=1

g) tan2α−sin2α.tan2α=tan2α(1−sin2α)

=tan2α.[(sin2α+cos2α)−sin2α]

=tan2α.cos2α=sin2αcos2α.cos2α=sin2α

h)cos2α+tan2α.cos2α=cos2α+sin2αcos2α.cos2α=cos2α+sin2α=1

i)

tan2α(2.cos2α+sin2α−1) 
=tan2α.[cos2α+(cos2α+sin2α)−1]

=tan2α.(cos2α+1−1)=tan2α.cos2α

=sin2αcos2α.cos2α=sin2α

Lời giải:

Gọi độ dài đường cao là c, hình chiếu của hai cạnh 6 và 7 trên cạnh có độ dài bằng 9 lần lượt là a và b. 

Ta có: a<b ( vì 6<7)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

c2=62−a2=36−a2

c2=72−b2=49−b2

Suy ra: 36−a2=49−b2

⇔b2−a2=49−36

⇔(b+a)(b−a)=13

Mà a+b=9 (*) nên:

9.(b−a)=13⇔b−a=139⇒b=a+139

Thay vào (*), ta có:

a+a+139=9⇔2a+139=9 
⇔a=9−1392=349

Suy ra: b=9−a=9−349=479

c=49−(479)2≈4,7

cạnh bên có độ dài là 6.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất về cạnh và đường cao của tam giác cân.

Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.

Lời giải:

Giả sử ∆ABC cân tại A có AH⊥BC,AH=5,BK⊥AC,BK=6.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra HB=HC=12BC (tính chất tam giác cân)

SABC=12AH.BC=12BK.AC=12.5.BC=12.6.AC

Suy ra: 5BC=6AC⇒BC=65AC(1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH, ta có:

AC2=AH2+HC2=52+(BC2)2=25+BC24(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AC2=25+36AC2254=2500100+36AC2100

Suy ra:

100AC2=2500+36AC2

⇔64AC2=2500⇔8AC=50⇒AC=6,25

Vậy BC=65.6,25=7,5.

a) Chứng minh: DEDB=DBDC

b) Chứng minh ∆BDE  đồng dạng  ∆CDB

c) Tính tổng AEB^+BCD^ bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có: AD=DE=EC=AC3=a

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

BD2=AD2+AB2=a2+a2=2a2

Suy ra: BD=a2

Ta có: 

DEDB=aa2=22;DBDC=a22a=22

Vậy DEDB=DBDC

b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:

DEDB=DBDC        (1)

BDE^=BDC^        (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB (c-g-c).

c) * Cách 1:

Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDB ⇒BED^=CBD^

Mặt khác:

AEB^+BCD^=BED^+BCD^=CBD^+BCD^         (3)

Trong ∆BCD, ta có:

ADB^=CBD^+BCD^ (tính chất góc ngoài) (4)

Lại có: ADB^=45∘ (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: AEB^+BCD^=45∘

*  Cách 2:

Ta có: AE=AD+DE=2a 

Trong tam giác ABE, ta có: 

tanAEB^=ABAE=a2a=12

Suy ra: AEB^=26∘34′

Trong tam giác vuông ABC, ta có: 

tanACB^=ABAC=a3a=13

Suy ra: ACB^=18∘26′

Suy ra AEB^+ACB^=26∘34′+18∘26′=450

Vậy AEB^+ACB^=AEB^+BCD^=45∘

Lời giải:

Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh AB, AC của một tam giác cân ABC (hình vẽ). Chiều cao AH của tam giác ABC cũng là đường phân giác của tam giác. Khi đó ta có: BAH^=BAC^2=α2

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

cosα2=AHAB=0,82,34≈0,3419

Bấm máy tính: SHIFT cos 0,3419 = 

Suy ra: α2≈70∘

Vậy α≈140∘.

Biết:

AD⊥DC,DAC^=74∘

AXB^=123∘,AD=2,8cm; AX=5,5cm,BX=4,1cm.

a) Tính AC.

b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY⁄⁄BX. Hãy tính XY

c) Tính diện tích tam giác BCX.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:

AC=ADcos⁡CAD^=2,8cos⁡74∘≈10,158(cm)

b) Kẻ DN⊥AC

Trong tam giác vuông AND, ta có:

DN=AD.sin⁡DAN^=2,8.sin⁡74∘≈2,692(cm)

AN=AD.cos⁡DAN^=2,8.cos⁡74∘≈0,772(cm)

Vì BX//DY nên DYX^=BXY^=123∘ ( hai góc so le trong)

Mà DYN^+DYX^=180∘ (kề bù)

Suy ra:

DYN^=180∘−DYX^=180∘−123∘=57∘

Trong tam giác vuông DYN, ta có:

NY=DN.cot⁡DYN^≈2,692.cot⁡57∘≈1,748(cm)

Ta có: 

XY=AX−(AN+NY)=5,5−(0,772+1,748)=2,98cm

c) Ta có:

CX=AC−AX≈10,158−5,5=4,658(cm)

Kẻ BM⊥CX

Ta có:

BXC^=180∘−BXA^=180∘−123∘=57∘

Trong tam giác vuông BMX, ta có:

BM=BX.sin⁡BXC^=4,1.sin⁡57∘≈3,439(cm)

SBCX=12BM.CX=12.3,439.4,658≈8,009(cm2).

Hãy tìm:

a) AP, BP;

b) CP.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

cot α = cạnh kề : cạnh đối.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ACP, ta  có:

AP=CP.cot⁡PAC^(1)

Trong tam giác vuông BCP, ta có:

BP=CP.cot⁡PBC^(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(AP+BP)=CP.cot⁡PAC^+CP.cot⁡PBC^

Hay AB=CP(cot⁡PAC^+cot⁡PBC^)

Suy ra: 

CP=ABcot⁡PAC^+cot⁡PBC^=ABcot⁡20∘+cot⁡30∘≈13,394(cm)

b) Thay CP=13,394 vào  (1) ta có:

AP=13,394.cot⁡20∘≈36,801(cm)

Thay CP=13,394 vào  (2) ta có:

BP=13,394.cot⁡30∘≈23,199(cm)

Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối trong tam giác vuông. 

Lời giải:

Gọi C là vị trí của máy bay.

Kẻ CH⊥AB

Trong tam giác vuông ACH, ta có: 

AH=CH.cot⁡A^(1)

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

BH=CH.cot⁡B^(2)

Từ (1) và (2) suy  ra: 

AH+BH=CH.cot⁡A^+CH.cot⁡B^

Hay AB=CH.(cot⁡A^+cot⁡B^)

Suy ra: 

CH=ABcot⁡A^+cot⁡B^=ABcot⁡40∘+cot⁡30∘≈102,61(m)

– Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

– Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh bao quanh của hình đó.

– Diện tích hình thang bằng đáy lớn cộng đáy bé (cùng đơn vị đo) chia 2 rồi nhân với chiều cao.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có đáy nhỏ AB=15cm, cạnh bên AD=BC=25cm, ABC^=BAD^=120∘.

Kẻ AH⊥CD,BK⊥CD

Ta có: AB//HK và AH//BK (cùng vuông với CD) nên ABKH là hình bình hành.

Suy ra: HK=AB=15(cm) và AH=BK 

Vì AB//CD nên ADC^+DAB^=180∘ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra:

ADC^=180∘−DAB^=180∘−120∘=60∘

Trong tam giác vuông ADH, ta có:

DH=AD.cos⁡ADC^=25.cos⁡60∘=12,5(cm)

AH=AD.sin⁡ADC^=25.sin⁡60∘=2532(cm)

Ta có: AH=BK (cmt) và AD=BC (gt) nên hai tam giác vuông ∆ADH=∆BCK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: CK=DH=12,5(cm)

Ta có: CD=CK+KH+HD=12,5+15+12,5=40cm

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+DA

=15+25+40+25

=105(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

SABCD=AB+CD2.AH=15+402.2522≈595,392(cm2)

a) Tính BC,B^,C^;

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD,CD.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì?  Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Vận dụng tính chất đường phân giác tìm độ dài cạnh BD.

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình tứ giác đã học.

   Tính chu vi và diện tích của tứ giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: 

BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100(cm)

Suy ra: BC=100=10(cm)

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: sin⁡C=ABAC=610=0,6

Suy ra: C^=36∘52′

Ta có: B^+C^=90∘ (vì tam giác ABC vuông tại A)

⇒B^=90∘−C^=90∘−36∘52′=53∘8′

b) Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC, nên: 

BDDC=ABAC (tính chất đường phân giác)

Suy ra: BDBD+DC=ABAB+AC

⇒BDBC=ABAB+AC

Suy ra: BD=BC.ABAB+AC=10.66+8=307(cm)

DC=BC−BD=10−307=407

c) Ta có: A^=AED^=AFD^=900

Suy ra tứ giác AEDF có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.

Mặt khác, D nằm trên tia phân giác của góc A nên DE=DF (tính chất tia phân giác của 1 góc)

Vậy tứ giác AEDF là hình vuông.

 Vì DE⊥AB,AC⊥AB nên DE//AC

Theo định lí Ta-lét trong tam giác BAC, ta có:

CDBC=AEAB⇒AE=CD.ABBC=407.610=247

Chu vi tứ giác AEDF bằng: 4AE=4.247=967(cm)

Diện tích tứ giác AEDF bằng: AE2=(247)2=57649(cm2)

a) Tính sin⁡B+cosBsin⁡B−cosB.

b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Chiều cao hình thang ABCD bằng chiều cao tam giác ABC, áp dụng tỉ số lượng giác, tìm chiều cao của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB2=BC2+AC2=(5a)2+(12a)2=169a2

Suy ra: AB=169a2=13a

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin⁡B^=ACAB=12a13a=1213

cos⁡B^=BCAB=5a13a=513

Suy ra: 

sin⁡B^+cos⁡B^sin⁡B^−cos⁡B^=1213+5131213−513=1713713=1713.137=177

b) Kẻ CH⊥AB

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

CH=CB.sin⁡B^=5a.1213=60a13

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tứ giác ABCD.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A có AH⊥BC nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: HB=HC=BC2=8(cm)

Trong tam giác vuông ABH, ta có: 

cos⁡B^=HBAB=810=0,8

Suy ra: B^≈36∘52′

Vì ∆ABC cân nên B^=C^=36∘52′

Ta có: A^+B^+C^=180∘ (tổng 3 góc trong tam giác ABC)

A^=180∘−(B^+C^)=180∘−(36∘52′+36∘52′)=106∘16′

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2=AH2+BH2⇒AH2=AB2−BH2=102−82=36

Suy ra: AH=6(cm)

Ta có: AI=13.AH=13.6=2(cm)

Suy ra: IH=AH−AI=6−2=4(cm)

Vì IH⊥BC và DC⊥BC nên IH//DC (1)

Mặt khác: BH=HC (cmt)  (2)

Từ (1) và (2) ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra: IH=12CD hay CD=2.IH=2.4=8(cm)

Ta có:  

SABH=12AH.BH=12.6.8=24(cm2)

Vì AH//DC nên AHCD là hình thang và AH⊥HC nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó: 

SAHCD=AH+CD2.HC=6+82.8=56(cm2)

Vậy SABCD=SABH+SAHCD=24+56=80 (cm2)

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính sinB, sinC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Py-ta-go đảo.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Ta có: AB2=212=441

AC2=282=784

BC2=352=1225

Vì AB2+AC2=441+784=1225=BC2  nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí đảo Pi-ta-go).

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 

sin⁡B^=ACBC=2835=45=0,8

sin⁡C^=ABBC=2135=35=0,6

a) Chứng minh tanC^=1. 

b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

– Tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

– Công thức tính diện tích tam giác và hình thang. 

– Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Kẻ BH⊥CD 

Ta có: AB//CD nên A^+ADC^=1800 (hai góc trong cùng phía bù nhau) và A^=90∘ (gt)

Suy ra: ADC^=90∘

Từ đó, tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Mà AB=AD=a nên ABHD là hình vuông.

Suy ra: DH=BH=AB=a

Ta có: CD=DH+HC

Suy ra: HC=CD–DH=2a–a=a

Vậy tanC^=BHCH=aa=1

b) Ta có: SBCD=12BH.CD=12a.2a=a2 (đvdt)

SABCD=AB+CD2.AD=a+2a2.a=32a2 (đvdt)

Vậy SBCDSABCD=a232a2=132=23.

c) Diện tích tam giác ADC vuông tại D là: SADC=12AD.DC=12a.2a=a2 (đvdt)

Mà SABCD=32a2 (theo câu b)

Ta có: SABC=SABCD−SADC=32a2−a2=12a.a=12a2 (đvdt)

Vậy SABCSBCD=12a2a2=12

(với đvdt: đơn vị diện tích)

a) Tính độ dài đường phân giác BD.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM⊥BD.

Phương pháp giải:

– Vận dụng định lí Ta-lét trong tam giác.

– Chứng minh tam giác ABM cân tại B.

Lời giải:

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên: 

ABD^=CBD^=ABC^2=120∘2=60∘

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CB tại E.

Lại có:

BAE^=ABD^=60∘ (so le trong)

 AEB^=CBD^=60∘ (đồng vị)

Suy ra tam giác ABE đều (vì có 2 góc bằng 600)

⇒AB=BE=EA=6(cm)(1)

Khi đó: CE=BC+BE=12+6=18(cm)

Tam giác ACE có AE//BD nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta suy ra:

BCCE=BDAE 
⇒BD=BC.AECE=12.618=4(cm)

b) Vì M là trung điểm cạnh BC nên ta có: 

MB=MC=12.BC=12.12=6(cm)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM=AB⇒ ∆ABM cân tại B.

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy BD⊥AM

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Ta có:

HD⊥AB⇒ADH^=90∘

HE⊥AC⇒AEH^=90∘

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: AH=DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

AH2=HB.HC=4.9=36⇒AH=6(cm)

Vậy DE=6(cm)

b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA=GD=GH=GE (tính chất hình chữ nhật ADHE)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Ta có:

GDH^=GHD^(1)

GDH^+MDH^=90∘(2)

GHD^+MHD^=90∘(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MDH^=MHD^(4)

Suy ra tam giác MDH cân tại M ⇒MD=MH(5)

Lại có: MDH^+MDB^=90∘(6)

MBD^+MHD^=90∘ (∆BDH vuông tại D) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: MDB^=MBD^

Suy ra tam giác MBD cân tại M ⇒MB=MD(8)

 Từ (5) và (8) suy ra: MB=MH hay M là trung điểm của BH.

*Tam giác GHE cân tại G (do GH=GE (cmt))

Ta có: GHE^=GEH^(9)

GHE^+NHE^=90∘ (10)

GEH^+NEH^=90∘ (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: NHE^=NEH^ (12)

Suy ra tam giác NEH cân tại N ⇒NE=NH (13)

Lại có: NEC^+NEH^=90∘ (14)

NHE^+NCE^=90∘ (∆CEH vuông tại E) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: NEC^=NCE^

Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒NC=NE(16)

Từ (13) và (16) suy ra: NC=NH hay N là trung điểm của CH. 

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM=12BH=12.4=2(cm)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

EN=12CH=12.9=4,5(cm)

Mà MD⊥DE và NE⊥DE nên MD//NE

Suy ra tứ giác DENM là hình thang

Vậy 

SDENM=DM+NE2.DE=2+4,52.6=19,5cm2.

a) Tính AB,AC.

b) Từ A kẻ AM,AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Chứng minh: MN//BC và MN=AB.

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

a) Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

b) Dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật.

c) Các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:

AB=BC.sin⁡C^=10.sin⁡30∘=10.12=5(cm)

AC=BC.cos⁡C^=10.cos⁡30∘=10.32=53(cm)

b) Ta có:

BM⊥BN (hai tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau) ⇒MBN^=90∘(1)

AM⊥BM (gt) ⇒AMB^=90∘(2)

AN⊥BN (gt) ⇒ANB^=90∘(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Suy ra AM=BN,BM=AN,AB=MN (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: ∆AMB=∆NBM (c.g.c)

⇒ABM^=NMB^

Mà ABM^=MBC^(gt)

Suy ra: NMB^=MBC^

Suy ra MN//BC (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB=MN.

c) Tam giác ABC vuông tại A nên ABC^+C^=90∘

Suy ra: ABC^=90∘−C^=90∘−30∘=60∘

Suy ra: ABM^=12ABC^=12.60∘=30∘

Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:

BAC^=AMB^=90∘

ACB^=ABM^=30∘

Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)

Tỉ số đồng dạng: k=ABBC=510=12

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B^,C^ và đường cao AH của tam giác.

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho SABC=SBMC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go đảo và tỉ số lượng giác.

b) Dựa vào diện tích của các hình tam giác ABC và MBC để biện luận.

Lời giải:

a) Ta có:

AB2=62=36

AC2=4,52=20,25

BC2=7,52=56,25

Vì AB2+AC2=36+20,25=56,25=BC2 nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí Pi-ta-go đảo).

Kẻ AH⊥BC. Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

AH.BC=AB.AC⇔AH=AB.ACBC=6.4,57,5=3,6(cm)

Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông, ta có: sin⁡C^=ACBC=4,57,5=0,6

Suy ra: C^=53∘8′

Ta có:

B^+C^=90∘ (vì tam giác ABC vuông tại A)

⇒B^=90∘−C^=90∘−53∘8′=36∘52′

b) Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời SABC=SMBC  nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.

a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC;

b) AN.BL.CM =AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

BNA^=CLA^=90∘

A^ chung

Suy ra ∆BNA đồng dạng ∆CLA (g.g)

Suy ra: ALAN=ACAB⇒ALAC=ANAB

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

ALAC=ANAB

A^ chung

Suy ra ∆ABC đồng dạng ∆ANL (c.g.c)

b) ABN vuông tại N nên AN=AB.cos⁡B^(1)

∆BCL vuông tại L nên BL=BC.cos⁡B^(2)

∆ACM vuông tại M nên CM=AC.cos⁡C^(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

AN.BL.CM=AB.BC.CA.cos⁡A^cos⁡B^cos⁡C^.