SBT Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9 

a) 23;

b) x52 với  x≥0;

c) 3x với x>0;

d) x2−x72 với x<0.

Phương pháp giải:

Với A,B mà A.B≥0 và B≠0 ta có:

AB=ABB2=AB|B|.

Lời giải:

a)

23 =  2.332=136

 b)

x52 =x25=x2.552=x55 (với x≥0)

 c)

3x =3xx2=1|x|3x=1x3x (với x>0)

 d)

x2−x72 =7×2−x27

=6×27=42×249=|x|742=−x742 (với x<0)  

a) 5−32;

b) 265−23;

c) 210−54−10;

d) 9−2336−22. 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

AB=ABB với B>0. 

Lời giải:

a)

5−32 =(5−3)2(2)2=10−62 

 b)

265−23 =26(5+23)(5−23)(5+23) =26(5+23)25−12

=26(5+23)13 =2(5+23)=10+43  

 c)

210−54−10 =22.5−52222−2.5

=5(22−5)2(22−5)=52=5.2(2)2 =102

 d)

9−2336−22 =3(3)2−2333.2−22

=3(33−2)2(33−2)=32=3.2(2)2 =62 

a) 23−1−23+1

b) 512(25+32)−512(25−32)

c) 5+55−5+5−55+5

d) 33+1−1−33+1+1 

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức.

Sử dụng hằng đẳng thức: a2−b2=(a+b)(a−b) 

Sử dụng: A.B=A.B với A≥0,B≥0.

Lời giải:

a)

23−1−23+1 =2(3+1)−2(3−1)(3+1)(3−1)

=23+2−23+23−1=42=2

 b)

512(25+32)−512(25−32)

=5(25−32)−5(25+32)12(25+32)(25−32) 

=105−152−105−15212(20−18)=−30212.2=−524

c)

5+55−5+5−55+5 =(5+5)2+(5−5)2(5+5)(5−5)

=25+105+5+25−105+525−5 =6020=3  

d)

33+1−1−33+1+1

=3(3+1+1)−3(3+1−1)(3+1+1)(3+1−1)

=3(3+1)+3−3(3+1)+33+1−1=233=2

a) xx−yyx−y với  x≥0,y≥0 và  x≠y

b) x−3x+3xx+33 với x≥0 

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: 

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

Lời giải:

a)

Với x≥0,y≥0 và x≠y, ta có: 

xx−yyx−y=x3−y3x−y
=(x−y)(x+xy+y)x−y

=x+xy+y 

 b)

Với x≥0, ta có:

x−3x+3xx+33=x−3x+3×3+33=x−3x+3(x+3)(x−3x+3)=1x+3

a) 13+2+1

b) 15−3+2  

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

AB=ABB 

AB±C=A(B∓C)B−C2

(trong điều kiện các biểu thức có nghĩa)

Lời giải:

a)

13+2+1=13+(2+1)=3−(2+1)[3+(2+1)][3−(2+1)]

=3−2−13−(2+1)2=3−2−13−(2+22+1) =3−2−1−22 

=−2(3−2−1)2(2)2 =−6+2+24 

 b)

15−3+2 =15−(3−2)=5+(3−2)[5−(3−2)][5+(3−2)] 

=5+3−25−(3−2)2 =5+3−25−(3−43+4) =5+3−243−2  

=5+3−22(23−1) =(5+3−2)(23+1)2[(23−1)(23+1)] 

=215+5+6+3−43−22(12−1)
=215+5+4−3322

a) 2x+3=1+2

b) 10+3x=2+6

c) 3x−2=2−3

d) x+1=5−3 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

A=m⇔A=m2  (với m≥0) 

Lời giải:

a)

2x+3=1+2

⇔2x+3=(1+2)2⇔2x+3=1+22+2

⇔2x=22⇔x=2

Vậy x=2

 b)

10+3x=2+6

⇔10+3x=(2+6)2

⇔10+3x=4+46+6⇔3x=46

⇔x=463⇔x=42 

Vậy x=42

 c)

3x−2=2−3

⇔3x−2=(2−3)2⇔3x−2=4−43+3

⇔3x=9−43⇔x=9−433

Vậy x=9−433

 d)

x+1=5−3

Ta có:

5<9 ⇔5<3⇔5−3<0

Không có giá trị nào của x để x+1=5−3.

a) x−2≥3

b) 3−2x≤5 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với A≥0;B≥0 ta có: 

A≥B⇔A≥B 

Lời giải:

a)

Điều kiện: x−2≥0⇔x≥2

Ta có: x−2≥3⇔x−2≥3⇔x≥5

Giá trị x≥5 thỏa mãn điều kiện. 

b)

Điều kiện: 3−2x≥0⇔3≥2x⇔x≤1,5

Ta có:  

3−2x≤5⇔3−2x≤5

⇔−2x≤2⇔x≥−1

Kết hợp với điều kiện ta có: −1≤x≤1,5

a)  x+y và x.y cũng có dạng a2+b với a và b là số hữu tỉ.

b) xy với y≠0 cũng có dạng a2+b với a và b là số hữu tỉ.   

Phương pháp giải:

Biến đổi, nhóm các hạng tử để đưa về dạng a2+b với a và b là số hữu tỉ.

Với B>0 ta có: AB=ABB 

Với B≥0,B≠C2 ta có: AB±C=A(B∓C)B−C2

Lời giải:

a)

Ta có: 

x+y=(a12+b1)+(a22+b2)

=(a1+a2)2+(b1+b2)

Vì a1,a2,b1,b2 là các số hữu tỉ nên a1+a2,b1+b2 cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

xy=(a12+b1)(a22+b2)

=2a1a2+a1b22+a2b12+b1b2

=(a1b2+a2b1)2+(2a1a2+b1b2)

Vì a1,a2,b1,b2 là các số hữu tỉ nên a1b2+a2b1, 2a1a2+b1b2 cũng là số hữu tỉ. 

b)

Ta có:

xy=a12+b1a22+b2=(a12+b1)(a22−b2)(a22)2−b22

=2a1a2−a1b22+a2b12−b1b22a22−b22

=a2b12−a1b22+2a1a2−b1b22a22−b22

=2a2b1−a1b22a22−b22+2a1a2−b1b22a22−b22

Vì y≠0 nên a2 và b2 không đồng thời bằng 0 

Suy ra: 2a22−b22 ≠0

(Nếu 2a22−b22=0 thì  2=b2a2  

Điều này mâu thuẫn với 2 là số vô tỉ)

Vậy a2b1−a1b22a22−b22; 2a1a2−b1b22a22−b22 đều là số hữu tỉ.