tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Cung chứa góc chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.
(Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình H trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB bằng α (α không đổi ) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB)).
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của ∆ABC
IBC^=B^2; ICB^=C^2
⇒ IBC^+ICB^=B^+C^2 mà trong ∆ABC ta có: B^+C^=180∘−A^=180∘−α
Suy ra: IBC^+ICB^=180∘−α2
Trong ∆BIC ta có: BIC^=180∘−(IBC^+ICB^)
Suy ra: BIC^=180∘−180∘−α2=360∘−180∘+α2=90∘+α2
Do Α^=α không đổi ⇒BIC^=90∘+α2 không đổi.
Vì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn BC cố định một góc bằng 90∘+α2 không đổi
Do đó, I nằm trên cung chứa góc 90∘+α2 vẽ trên BC.
Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc 90∘+α2 lấy điểm I′ bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I′ hai tai Bx và Cy sao cho BI′ là phân giác của CBx^,CI′ là phân giác của BCy^.
Bx cắt Cy tại A′.
Trong ∆BI′C ta có: BI′C^=90∘+α2
⇒I′BC^+I′CB^=180∘−BI′C^=180∘−(90∘+α2)=180∘−α2
CBA′^=2I′BC^;BCA′^=2I′CB^
⇒CBA′^+BCA′^=2.180∘−α2=180∘−α
Trong ∆A′BC ta có:
BA′C^=180∘−(CBA′^+BCA′^)=180∘−(180∘−α)=α
Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm 3 đường phân giác trong ∆ABC khi A^=α không đổi, BC cố định là 2 cung chứa góc 90∘+α2 vẽ trên
Cách vẽ cung chứa góc α:
+) Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
+) Vẽ tia Ax tạo với AB góc α.
+) Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
+) Vẽ cung AmB⏜, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
+) AmB⏜ được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn AB=3cm
− Dựng BAx^=42o
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB
− Dựng tia Ay⊥Ax tại A
Tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O.
− Dựng cung tròn AmB⏜ tâm O bán kính OA
− Dựng điểm O′ đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn Am′B⏜ tâm O′ bán kính O′A.
Ta được cung chứa góc 42o trên đoạn thẳng AB=3cm là AmB⏜ và Am′B⏜.
Ta sử dụng cách vẽ cung chứa góc α:
+) Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
+) Vẽ tia Ax tạo với AB góc α.
+) Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
+) Vẽ cung AmB⏜, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
+) AmB⏜ được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn BC=3cm.
− Dựng CBx^=45∘
− Dựng trung điểm M của BC.
− Dựng trung trực của BC
− Dựng tia vuông góc Bx tại B cắt đường trung trực của BC tại O.
− Dựng cung tròn BmC⏜ bán kính OB là cung chứa góc 45o vẽ trên BC.
− Dựng cung tròn tâm M bán kính 2,5cm cắt cung BmC⏜ tại A và A′.
− Nối AB,AC (hoặc A′B,A′C) ta có ∆ABC (hoặc ∆A′BC) thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Chú ý:
Vì BC=3cm, nên MB=MC=BC:2=32
Ta có: OBM^=900−450=45∘ nên tam giác OBM vuông cân tại M.
Nên MB=OM=32
Theo định lý Pytago ta có OB=MB2+OM2=322 (cm).
Khoảng cách 2 tâm MO=322 (cm)
322−2,5<MO<322+2,5 nên (O) và (M) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được)
Chứng minh:
Ta có ΔABC (hoặc ΔA′BC) có BC=3cm, góc A =45°(hoặc góc A′=45°) và trung tuyến AM=2,5cm (hoặc A′M=2,5cm) thỏa mãn đề bài.
Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE=CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.
(Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình H trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB bằng α (α không đổi ) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB)).
Lời giải:
a) Chứng minh thuận:
Ta có: ACB^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: BCD^=90∘
CD=CB(gt)
Suy ra: ∆BCD vuông cân tại C.
⇒CDB^=45∘ hay ADB^=45∘
AB cố định. Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45∘ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.
Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.
− Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm của quỹ tích.
− Dây AC nhỏ nhất có độ dài bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng với B′ là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc 45∘ vẽ trên AB.
Chứng minh đảo:
Lấy điểm D′ tùy ý trên cung BB′, nối AD′ cắt đường tròn đường kính AB tại C′. Nối BC′,BD′.
Ta có: AD′B^=45∘ (vì D′ nằm trên cung chứa góc 45∘ vẽ trên AB).
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
AC′B^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒BC′D′^=90∘
Suy ra: ∆BC′D′ vuông cân tại C′
⇒C′B=C′D′
Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung BB′⏜ nằm trên cung chứa góc 45∘ vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.
b) Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
ACB^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
CB=CE(gt)
⇒∆CBE vuông tại C
⇒CEB^=45∘
CEB^+AEB^=180∘ (hai góc kề bù)
⇒AEB^=135∘
AB cố định, C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135∘ dựng trên đoạn AB cố định.
− Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì C trùng với B nên E trùng với B ⇒ B là 1 điểm của quỹ tích.
− Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A. Khi đó E trùng A nên A là 1 điểm của quỹ tích.
Vậy E chuyển động trên 1 cung chứa góc 135∘ vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.
Chứng minh đảo:
Lấy E′ bất kỳ trên cung chứa góc 135∘. Kẻ AE′ cắt đường tròn đường kính AB tại C′. Nối BE′,BC′.
Ta có: AE′B^=135∘ (vì E′ nằm trên cung chứa góc 135∘ vẽ trên AB)
Lại có: AE′B^+BE′C^=180∘ (hai góc kề bù)
⇒BE′C′^=180∘−AE′B^=180∘−135∘=45∘
Trong đường tròn đường kính AB ta có:
AC′B^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: ∆E′C′B vuông cân tại C′.
⇒C′E′=C′B
Vậy quỹ tích các điểm E khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB là một cung chứa góc 135∘ vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.
Ta sử dụng kiến thức:
+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.
Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình H trước khi chứng minh:
+)Tập hợp các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB bằng α (α không đổi ) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB).
+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P. O cố định, đường tròn đường kính AB cố định suy ra P cố định.
Nối PD. Ta có: OP//CH (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với AB)
Xét ∆OCH và ∆OPD có:
+) OD=CH(gt)
+) POD^=OCH^ (so le trong)
+) OP=OC (bán kính)
Suy ra: ∆DOP=∆HCO(c.g.c)
⇒ODP^=CHO^ mà CHO^=90∘ nên ODP^=90∘
Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với 2 đầu đoạn thẳng OP cố định một góc OPD^=90∘. Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP.
Chứng minh đảo:
Lấy điểm D′ bất kỳ trên đường tròn đường kính OP. Kẻ OD′ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C′, kẻ C′H′⊥AB ta phải chứng minh OD′=C′H′.
Nối PD′.
Xét ∆C′H′O và ∆PD′O có:
+) C′H′O^=PD′O^=90∘
+) OC′=OP (bán kính đường tròn tâm O)
+) D′OP^=OC′H′^ (so le trong)
Suy ra: ∆C′H′O=∆PD′O (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒C′H′=OD′
Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP.
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử hình vuông ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh C. Đỉnh C thỏa mãn 2 điều kiện:
+) MCN^=90∘ nên C nằm trên cung chứa góc 90∘ dựng trên MN.
+) Ta có ACM^=45∘ (vì hình vuông có đường chéo là phân giác) nên C nằm trên cung chứa góc 45∘ vẽ trên AM.
Cách dựng:
− Dựng cung chứa góc 90∘ trên đoạn MN.
− Dựng cung chứa góc 45∘ trên đoạn AM.
Hai cung cắt nhau tại C, nối CM,CN.
Kẻ AB⊥CN tại B,AD⊥CN tại D.
Ta có tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Thật vậy theo cách dựng ta có: C^=90∘,B^=90∘,D^=90∘
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật, có điểm M thuộc BC, điểm N thuộc CD. AC là phân giác của C^.
Vậy: tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài tập bổ sung (trang 106 SBT Toán 9)
Cách vẽ cung chứa góc α:
+) Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
+) Vẽ tia Ax tạo với AB góc α.
+) Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
+) Vẽ cung AmB⏜, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
+) AmB⏜ được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn thẳng AB.
− Dựng tia Ax sao cho BAx^=60∘.
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.
− Dựng tia Ay⊥Ax tại A.
− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.
− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.
− Dựng O′ đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn tâm O′ bán kính O′A.
Ta có cung chứa góc 60∘ vẽ trên đoạn AB cho trước.
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.
Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình H trước khi chứng minh:
+) Tập hợp các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB bằng α (α không đổi ) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB (gọi là cung chứa góc α vẽ trên đoạn AB).
+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Đường tròn (O) cho trước, điểm Acố định nên OA có độ dài không đổi.
∆OBC cân tại O (vì OB=OC = bán kính)
IB=IC(gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao
⇒OI⊥BC
⇒OIA^=90∘
Đường thẳng d thay đổi nên B,C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc OIA^=90∘. Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.
Chứng minh đảo:
Lấy điểm I′ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI′ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B′ và C′.
Ta chứng minh: I′B=I′C′.
Trong đường tròn đường kính AO ta có OI′A^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒OI′⊥B′C′
⇒I′B′=I′C′ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó)
Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong tam giác đều, mỗi góc đều bằng 60∘.
+) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu ABD^+DBC^=180∘ thì A,B,C thẳng hàng.
Lời giải:
Trong ∆ABC ta lấy điểm M. Nối MA,MB,MC.
Ta cần làm xuất hiện tổng MA+MB+MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM=MN.
Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC.
Ta có:
MCA^+ACN^=MCN^=60∘
ACN^+NCP^=ACP^=60∘
⇒MCA^=NCP^
Xét ∆AMC và ∆PNC:
+) CM=CN (vì ∆MCN đều)
+) MCA^=NCP^ (chứng minh trên)
+) CA=CP (vì ∆APC đều)
Suy ra: ∆AMC=∆PNC(c.g.c)
⇒PN=AM
MA+MB+MC=NP+MB+MN
Ta có ∆ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM+MN+NP ngắn nhất khi 4 điểm B,M,N,P thẳng hàng.
Vì CMN^=60∘ nên 3 điểm B,M,N thẳng hàng khi và chỉ khi BMC^=120∘
Vì CNM^=60∘ nên 3 điểm M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi CNP^=120∘
Mà ∆AMC=∆PNC (chứng minh trên) ⇒AMC^=PNC^=120∘
Vậy MA+MB+MC bé nhất khi và chỉ khi BMC^=120∘ và AMC^=120∘
Vậy M là giao điểm của 2 cung chứa góc 120∘ dựng trên BC và AC.
