SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

Đường tròn (O) được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo mỗi cung bằng 

360o:20=18o

Gọi giao điểm của A1A8 và A3A16 là I.

Ta có:  sđA1A3⏜ =2.180=36o

sđA8A16⏜ =8.180=144o

Ta có: A1IA3^=12(sđA1A3⏜+sđA8A16⏜) (góc có đỉnh ở trong đường tròn (O))

⇒ A1IA3^=36∘+144∘2=90∘

⇒A1A8⊥A3A16 

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng 180o.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

Trong đường tròn (O) ta có C^ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn. 

C^=12(sđAmB⏜ – sđ AD⏜) (tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)

 mà sđAmB⏜=sđADB⏜=180o 

C^=12(sđADB⏜ – sđ AD⏜) =12(sđAD⏜ + sđ DB⏜ – sđ AD⏜)=12sđBD⏜     (1)

CDP^=BDx^ (đối đỉnh) (2) 

BDx^=12sđBD⏜ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: C^=CDP^⇒ΔPCD cân tại P.

Vậy PD=PC

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải:

Trong đường tròn (O) ta có E^ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

E^=12(sđAD⏜−sđBC⏜)

Lại có: sđAD⏜=AOD^=144∘

⇒22∘=144∘−sđBC⏜2

⇒sđBC⏜=144∘−2.22∘=100∘ 

Ta có: BAC^=12sđBC⏜ (tính chất góc nội tiếp)

⇒ BAC^=12.100∘=50∘

Trong ∆ABC ta có CBE^ là góc ngoài tại đỉnh B.

⇒ CBE^=BAC^+ACB^ (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒ ACB^=CBE^−BAC^=75∘−50∘=25∘

ACB^=12AOB^ (hệ quả góc nội tiếp)

AOB^=2.ACB^=50∘

Vậy AOB^=BAC^=50∘

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.

Lời giải:

Ta có: BAM^=MAC^ (vì AM là tia phân giác của BAC^)

⇒BM⏜= CM⏜  (1)

Ta có: DAM^=12sđACM⏜ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Hay DAM^=12(sđAC⏜+sđCM⏜ )(2)

Gọi N là giao điểm của AM và BC.

Ta có: ANC^ là góc có đỉnh ở trong đường tròn (O).

⇒ ANC^=12(sđAC⏜+sđBM⏜)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DAM^=ANC^ hay DAN^=AND^

Suy ra: ∆DAN cân tại D có DI là tia phân giác nên suy ra DI là đường cao

⇒ DI⊥AN hay DI⊥AM

a) Chứng minh BIC^=BKD^

b) Chứng minh BC là tia phân giác của KBD^.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

a) AB⏜=BC⏜=CD⏜  (gt) (1)

Trong đường tròn (O) ta có BKD^ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

⇒BKD^=12(sđBAD⏜−sđBCD⏜)

=12(sđAB⏜+sđAmD⏜−sđBC⏜−sđCD⏜) (2)

Từ (1) và (2) ⇒BKD^=12(sđAmD⏜−sđBC⏜)(3)

Trong đường tròn (O) ta có BIC^ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.  

⇒BIC^=12 (sđ AmD⏜ – sđ BC⏜) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: BIC^=BKD^

b) Xét đường tròn (O) ta có:

+) KBC^=12sđ BC⏜ (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)   (5)

+) CBD^=12sđCD⏜ (tính chất góc nội tiếp)        (6)

Từ (1), (5) và (6) suy ra: KBC^=CBD^. Vậy BC là tia phân giác của KBD^.

Bài tập bổ sung (trang 105 SBT Toán 9)

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360o.

Lời giải:

Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ AB⏜

⇒sđMA⏜=sđMB⏜ (1)

Lại có: D^=12sđMAC⏜ (tính chất góc nội tiếp)

⇒ D^=12(sđMA⏜+sđAC⏜)  (2)

Và AEC^=12 (sđ MB⏜ + sđ AC⏜) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: D^=AEC^

AEC^+CEF^=180∘ (kề bù)

⇒D^+CEF^=180o (4)

Trong tứ giác CEFD ta có:

CEF^+D^+ECD^+EFD^=360o (tổng các góc trong tứ giác) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ECD^+EFD^=180o