SBT Toán 9 Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu | Giải SBT Toán lớp 9 

Bài 27 trang 169 SBT Toán 9 tập 2:

a) Trong hình 102, cho A là giao điểm của đường tròn (0;6) với tia 90o và kí hiệu là A(6;90o). Tương tự B là giao điểm của đường tròn (0;3) với tia 150o và kí hiệu là B(3;150o). Hãy đánh dấu các điểm C(6;210o),D(3;30o) và E(6;330o) trên hình 102.

b) Nối AB,BC,AD,DE và BD em thấy hình gì?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để tìm các giao điểm.

Lời giải:

a) Ta đánh dấu các điểm như sau:

b) 

Nối AB,BC,AD,DE và BD ta thu được hình chữ A.

Bài 28 trang 170 SBT Toán 9 tập 2: Trong nửa hình cầu có OR=x(cm), TOS^=45o. Độ dài đoạn ST nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

(A) x(cm);                 (B) 2x(cm)

(C) x2(cm)             (D) 2x(cm)

Phương pháp giải:

Sử dụng: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Lời giải:

Ta có OS=OR=x (= bán kính)

ΔSTO vuông tại T có TOS^=45o

Ta có ST=OS.sin⁡45o=x.22=x2 (cm).

Chọn (C).

Bài 29 trang 170 SBT Toán 9 tập 2: Trong các hình sau đây, hình nào có diện tích lớn nhất?

(A) Hình tròn có bán kính 2cm.

(B) Hình vuông có độ dài cạnh 3,5cm.

(C) Tam giác với độ dài các cạnh là 3cm,4cm,5cm.

(D) Nửa mặt cầu bán kính 4cm.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Diện tích hình tròn bán kính r là: S=πr2.

– Diện tích hình vuông cạnh a là S=a2.

– Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

– Diện tích mặt cầu bán kính r là: S=4πr2.

Lời giải:

(A) Hình tròn có bán kính 2cm có diện tích là: S=πr2=π.22=4π(cm2)

(B) Hình vuông có cạnh bằng 3,5cm có diện tích là: S=a2=3,52=12,25(cm2)

(C) Ta có: 32+42=52 do đó tam giác có độ dài các cạnh 3cm,4cm,5cm là tam giác vuông.

Diện tích tam giác đó là:

S=12.3.4=6(cm2)

(D) Diện tích nửa mặt cầu bán kính 4cm là:

S=12.4πr2=12.4π.42=32π(cm2).

Vậy trong các hình trên thì nửa mặt cầu bán kính 4cm có diện tích lớn nhất

Chọn D.

Bài 30 trang 170 SBT Toán 9 tập 2: Tam giác đều ABC có độ dài cạnh là a, ngoại tiếp một đường tròn.

Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao AH của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=13πr2h.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Gọi h là đường cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Trong ΔAHC có AHC^=90o;C^=60o.

AH=AC.sin⁡C=a.sin⁡600=a32

ΔABC đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là giao ba đường trung tuyến, giao ba đường trung trực nên ta có O là trọng tâm tam giác ABC

r=OH=13AH=a36

Thể tích hình nón là: 

V1=13π.BH2.AH=13π(a2)2.a32=πa3324 (đơn vị thể tích)

Thể tích hình cầu là:

V2=43πr3=43π.(a36)3=43π.3a33216=πa3354 (đơn vị thể tích).

Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là:

V=V1−V2=πa3324−πa3354=9πa33−4πa33216=5πa33216 (đơn vị thể tích)

Bài 31 trang 171 SBT Toán 9 tập 2: Hai hình cầu A và B có các bán kính tương ứng là x và 2x(cm).

Tỉ số các thể tích của 2 hình cầu này là:

(A) 1:2            (B) 1:4         (C) 1:8

(D) Một kết quả khác.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

Thể tích hình cầu bán kính R : V=43πR3.

Lời giải:

Hình cầu A có bán kính r=x có thể tích là: V1=43πx3(cm3)

Hình cầu B có bán kính r=2x có thể tích là: V2=43π(2x)3=323πx3(cm3)

V1:V2=43:323=43.332=18

Chọn (C).

Bài 32 trang 171 SBT Toán 9 tập 2: Hình 105 minh họa: hình gồm một nửa hình cầu và một hình nón

Thể tích của hình nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

(A) 23πx3(cm3)         (B) πx3(cm3)

(C) 43πx3(cm3)         (D) 2πx3(cm3)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=13πr2h.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Hình gồm một nửa hình cầu có bán kính là x và một hình nón có bán kính đáy bằng x, chiều cao bằng x.

Thể tích nửa hình cầu là: V1=12.43πx3=23πx3(cm3)

Thể tích của hình nón là: V2=13π.x2.x=13πx3(cm3)

Tổng thể tích của hai hình đó là: V=23πx3+13πx3=πx3(cm3)

Chọn (B).

Bài 33 trang 171 SBT Toán 9 tập 2: Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương như hình 106.

a) Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu

b) Nếu diện tích mặt cầu là 7π(cm2) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu?

c) Nếu bán kính hình cầu là 4cm thì thể tích phần trống (trong hình hộp ngoài hình cầu) là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a là: S=6a2.

– Diện tích mặt cầu bán kính r là: S=4πr2.

– Thể tích hình lập phương cạnh a là: V=a3.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Gọi cạnh hình lập phương là a thì bán kính cầu r=a2.

a) Diện tích toàn phần của hình lập phương là: S1=6a2 (đơn vị diện tích)

Diện tích mặt cầu là: S2=4.π.(a2)2=4π.a24=πa2 (đơn vị diện tích)

Tỉ số S1S2=6a2πa2=6π

b) Theo câu a ta có S1S2=6π

Diện tích mặt cầu bằng 7π(cm2) nên ta có S17π=6π

⇒S1=6π.7π=42 (cm2)

Vậy diện tích mặt cầu là 7π(cm2) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là 42 (cm2).

c) Bán kính hình cầu r=4cm thì cạnh hình lập phương a=2r=8cm.

Thể tích của hình lập phương là: V1=a3=83=512(cm3)

Thể tích hình cầu là: V2=43πr3=43π.43=2563π(cm3)

Thể tích hình lập phương nằm ngoài hình cầu là:

V=V1−V2=512−2563π≈243,917(cm3)

Bài 34 trang 171 SBT Toán 9 tập 2: Sử dụng các thông tin và hình 107 để trả lời các câu hỏi sau:

Một đồ chơi “lắc lư” của trẻ em gồm một hình nón gắn với nửa hình cầu (h.107) (chiều cao của hình nón bằng đường kính đường tròn đáy). Có hai loại đồ chơi: loại thứ nhất cao 9cm, loại thứ hai cao 18cm.

a) Tỉ số: thể tích đồ chơi loại thứ haithể tích đồ chơi loại thứ nhất

(A) 2                                   (C) 8

(B) 4                                   (D) 16

Hãy chọn kết quả đúng.

b) Trong các số sau đây:

(A) 2(cm)                          (C) 4(cm)

(B) 3(cm)                         (D) 412(cm)

Số nào là bán kính đường tròn đáy của đồ chơi loại thứ nhất?

c) Trong các số sau đây:

(A) 30π(cm3)           (B) 36π(cm3)

(C) 72π(cm3)           (D) 610(cm3)

Số nào là thể tích của loại đồ chơi thứ nhất?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=13πr2h.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

a) Loại thứ nhất có chiều cao 9cm là bao gồm chiều cao của hình nón và bán kính của hình cầu, mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu.

Gọi r là bán kính của hình cầu ta có:

2r+r=9⇒r=3(cm)

Chiều cao hình nón là: h=2r=6cm

Thể tích hình nón là: V1=13πr2.h=13π.32.6=18π (cm3)

Thể tích nửa hình cầu là: V2=12.43π.33=18π(cm3)

Thể tích loại đồ chơi thứ nhất là: 18π+18π=36π(cm3)

Loại thứ 2 có chiều cao 18cm là bao gồm chiều cao hình nón và bán kính hình cầu mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu.

Gọi R là bán kính của hình cầu ta có:

2R+R=18⇒R=6cm

Chiều cao hình nón là: h′=2R=12cm

Thể tích hình nón là: V1′=13πR2.h′=13π.62.12=144π (cm3)

Thể tích nửa hình cầu là: V2′=12.43πR3=12.43π.63=144π (cm3)

Thể tích loại đồ chơi thứ 2 là: 144π+144π=288π(cm3)

thể tích đồ chơi loại thứ haithể tích đồ chơi loại thứ nhất =288π36π=8

Chọn (C).

b) Bán kính đường tròn đáy đồ chơi thứ nhất là r=3cm.

Chọn (B).

c) Thể tích loại đồ chơi thứ nhất là: 18π+18π=36π(cm3).

Chọn (B).

Bài 35 trang 172 SBT Toán 9 tập 2: Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình tựa như hình 108 (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng 23 thể tích hình trụ.

Nếu đường kính của hình cầu là d(cm) thì thể tích của hình trụ là:

(A) 14πd3(cm3)         (B) 13πd3(cm3)

(C) 23πd3(cm3)         (D) 34πd3(cm3)

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Thể tích hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=πr2h.

Lời giải:

Ta có bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu.

Do đó, khi đường kính hình cầu là d(cm) thì bán kính đáy hình trụ là d2(cm) và chiều cao hình trụ là d (cm).

Thể tích hình trụ là: V=πr2.h=π.(d2)2.d=14πd3 (cm3)

Chọn (A).

Bài 36 trang 172 SBT Toán 9 tập 2: Chọn dưa hấu.

Với hai quả dưa hấu (xem như là 2 hình cầu) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là 5:4, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào lợi hơn? (xem “chất lượng” của chúng là như nhau).

Phương pháp giải:

Sử dụng: Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Gọi bán kính quả nhỏ là r thì bán kính quả lớn là 54r.

Thể tích quả nhỏ là: V=43πr3;

Thể tích quả to là: V=43π(54r)3

Tỉ số 2 thể tích là: 43πr3(54)3:43πr3=(54)3=12564

Mua quả to lợi hơn vì thể tích gần gấp đôi mà giá tiền chỉ gấp rưỡi.

Bài 37 trang 173 SBT Toán 9 tập 2: Đổ đầy nước vào một dụng cụ để đong có dạng hình nón, sau đó đổ hết lượng nước đó vào một hình trụ có bán kính đáy của hình nón và chiều cao bằng chiều cao của hình nón. Việc làm này lặp lại cho đến khi hình trụ đó đầy nước thì số lần múc đầy vào hình nón là:

(A) 1                                  (C) 3

(B) 2                                  (D) 4

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=13πr2h.

– Thể tích hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h  là: V=πr2h.

Lời giải:

Giả sử hình trụ và hình nón có cùng bán kính r và chiều cao h.

Thể tích hình trụ là: V=πr2.h

Thể tích hình nón là: V′=13πr2.h

⇒V=3V′.

Vậy phải múc 3 lần.

Chọn (C).

Bài 38 trang 173 SBT Toán 9 tập 2: Một khối gỗ dạng một hình trụ đứng, bán kính đường tròn đáy là r(cm), chiều cao 2r(cm), người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 109.

Như vậy diện tích toàn bộ của khối gỗ là:

(A) 4πr2(cm2)        (B) 6πr2(cm2)

(C) 8πr2(cm2)        (D) 10πr2(cm2)

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq=2πrh.

(r là bán kính đáy, h là chiều cao).

– Diện tích mặt cầu bán kính r là: S=4πr2.

Lời giải:

Diện tích toàn bộ khối gỗ bằng diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai nửa mặt cầu

Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq=2πr.h=2πr.2r=4πr2(cm2)

Diện tích hai nửa mặt cầu là: S=2.2πr2=4πr2(cm2)

Diện tích toàn bộ khối gỗ là: 4πr2+4πr2=8πr2(cm2).

Chọn (C).

Bài 39 trang 173 SBT Toán 9 tập 2: Với một cái thước dây, liệu có thể xác định được thể tích của một vật thể có dạng hình cầu hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Độ dài đường tròn lớn của hình cầu bán kính r là C=2πr.

– Thể tích hình cầu bán kính r là V=43πr3.

Lời giải:

Dùng thước dây tạo ra đường tròn đặt vừa khít hình cầu, ta có độ dài của đường tròn lớn là C.

Bán kính của hình cầu là: r=C2π.

Thể tích hình cầu là: V=43π.(C2π)3=43π.C38π3=C36π2.

Bài 40 trang 173 SBT Toán 9 tập 2: Chiều cao của một hình trụ gấp ba lần bán kính đáy của nó.

Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là:

(A) 43                                (C) 31

(B) 94                                (D) 49

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=πr2h.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Vì chiều cao của một hình trụ gấp ba lần bán kính đáy của nó nên nếu bán kính đáy hình trụ là r thì chiều cao hình trụ là h=3r

Thể tích của hình trụ là: V1=πr2.h=πr2.3r=3πr3

Thể tích của hình cầu là: V2=43πr3

Ta có V1V2=94

Chọn (B).

Bài 41 trang 173 SBT Toán 9 tập 2: Một hình cầu đường kính d(cm) được đặt vào trong một hình trụ có chiều cao là 1,5d(cm) như hình 110. Xét các phân số sau đây:

(A) 23                                (C) 29

(B) 49                                (D) 13

Đâu là tỉ số VcầuVtrụ?

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Thể tích hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h là: V=πr2h.

– Thể tích hình cầu bán kính r là: V=43πr3.

Lời giải:

Gọi r là bán kính đường tròn đáy hình trụ thì r cũng là bán kính hình cầu. 

Suy ra d=2r

Chiều cao hình trụ là: h=1,5d=32d=32.2r=3r

Thể tích của hình trụ là: V1=πr2.h=πr2.3r=3πr3

Thể tích của hình cầu là: V2=43πr3

Ta có: V2V1=43πr33πr3=49.

Chọn (B).