SBT Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9 

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

a) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:

Xét tam giác ABC có chiều cao AH.

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

BC2=AC2+AB2=52+72

Hay x+y=BC=52+72=74 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2=BH.BC 

⇒52=x.74⇒x=2574

Thay x=2574 vào x+y=74, ta có:

y+2574=74⇒y=74−2574=74−2574=4974

Vậy x=2574;y=4974.

b) Ta đặt tên như hình vẽ dưới đây:  

Xét tam giác ABC có chiều cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2=CH.BC

⇒142=y.16⇒y=14216=19616=12,25 

Mà x+y=16⇒x=16−y=16−12,25=3,75

Vậy x=12,25;y=3,75.

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH=HB.HC hay h=c′.b′

Lời giải:

a)  Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

AB2=BH.BC hay x2=2.(2+6)=2.8=16⇒x=4

AC2=CH.BC  hay y2=6.(2+6)=6.8=48⇒y=48=43

b) Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

AH2=HB.HC hay x2=2.8=16⇒x=4 

Bài 3 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

a)   Hình a

Theo định lý Pi-ta-go, ta có: 

y2=72+92⇒y=72+92=130 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y=7.9⇒x=7.9y=63130 

b)  Hình b

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

52=x.x=x2⇒x=5 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y2=x.(x+x)=5.(5+5)=50⇒y=50=52 

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′  

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH.BC=AB.AC

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago) 

Lời giải:

a) Hình a 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

32=2.x⇒x=322=92=4,5 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

y2=x.(x+2)=4,5.(4,5+2)⇒y2=29,25⇒y=29,25

b) Hình b

Ta có:

ABAC=34⇒AB3=AC4⇒AC=4.AB3=4.153=4.5=20

Theo định lý Pi-ta-go, ta có:

y2=BC2=AB2+AC2=152+202=625

Suy ra:

y=625=25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y=15.20⇒x=15.20y=15.2025=12 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′ 

+) AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AH2=HB.HC;AB.AC=AH.BC

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago) 

Lời giải:

Ta vẽ được hình dưới đây: 

Giả sử tam giác ABC có: BAC^=90∘

AB=5,AC=7 

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

BC2=AB2+AC2

⇒BC=AB2+AC2=52+72=74 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=5.774=3574 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

AB2=BH.BC⇒BH=AB2BC=5274=2574

CH=BC−BH=74−2574=74−2574=4974

Bài 7 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC hay c2=a.c′

+)AC2=CH.BC hay b2=ab′

+) AB2+AC2=BC2 hay c2+b2=a2 (định lý Pytago)

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có: BAC^=900,AH⊥BC,BH=3,CH=4

Ta có BC=BH+CH=3+4=7

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: 

AB2=BH.BC=3.7=21⇒AB=21;

AC2=CH.BC=4.7=28⇒AC=28=27. 

Bài 8 trang 103 SBT Toán 9 tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

6

Phương pháp giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A. 

Để giải bài toán ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Thực hiện liên kết các dữ kiện:

BC−AB=1(cm)  

AB+AC−BC=4(cm)

Bước 2: Cộng vế với vế để tìm ra một cạnh trong tam giác.

Bước 3: Sử dụng định lí Pytago để tìm các cạnh còn lại của tam giác. 

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có BAC^=90∘

Theo đề  bài, ta có: BC−AB=1(cm)  (1) 

AB+AC−BC=4(cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:   

(BC−AB)+(AB+AC−BC)=1+4
⇔BC−AB+AB+AC−BC=5
⇔AC=5

Theo định lý Pytago, ta có: BC2=AB2+AC2    (3)

Từ (1) suy ra: BC=AB+1   (4)

Thay (4) và (3) ta có:

(AB+1)2=AB2+AC2⇔AB2+2AB+1=AB2+52⇔2AB=24⇔AB=12(cm)

Thay AB=12 (cm) vào (1) ta có: BC=12+1=13(cm)

Phương pháp giải:

Xét tam giác ABC có BAC^=900,AH⊥BC,BC=5,AH=2 và BH<CH

Suy luận để có BH+CH=5

Sử dụng hệ thức: BH.CH=AH2

Từ đó tính được BH, suy ra cạnh AB và lập luận để có AB là cạnh nhỏ nhất. 

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có BAC^=900,AH⊥BC,BC=5,AH=2 và BH<CH

Ta có: BH+CH=BC=5 nên BH=5−CH  (1) 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:  

BH.CH=AH2=22=4    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

BH(5−BH)=4
⇔BH2−5BH+4=0

⇔BH2−4BH−BH+4=0

⇔BH(BH−4)−(BH−4)=0

⇔(BH−1)(BH−4)=0
⇔[BH=1⇒CH=4BH=4⇒CH=1

Do BH<CH nên BH=1 và CH=4 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2=BH.BC=1.5=5 

Suy ra: AB=5.

Vì BH<CH nên AB<AC hay AB=5 là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC.

Bài 10 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3:4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:  

ab=cd=a+cb+d

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 

Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) AB2=BH.BC 

+) AC2=CH.BC

+) AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

Giả sử ΔABC vuông tại A chiều cao AH,BC=125cm và ABAC=34

Từ ABAC=34 suy ra: AB3=AC4⇒AB29=AC216

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  

AB29=AC216=AB2+AC29+16=AB2+AC225(1) 

Theo định lí Pytago, ta có:

BC2=AB2+AC2⇒AB2+AC2=1252=15625(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB29=AC216=AB2+AC225=1562525=625

Suy ra :

AB2=9.625=5625⇒AB=5625=75(cm)

AC2=16.625=10000⇒AC=10000=100(cm) 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2=BH.BC⇒BH=AB2BC=752125=45(cm)

CH=BC−BH=125−45=80(cm). 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó ta có các hệ thức sau: 

+) AB2=BH.BC 

+) AC2=CH.BC 

+) AH2=HB.HC;AB.AC=AH.BC

+) AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

AHB^=CHA^=900 

ABH^=CAH^ (hai góc cùng phụ ACB^) 

Vậy ∆AHB∽∆CHA (g.g)

Suy ra: AHHC=ABCA.  (1)

Theo đề bài: ABAC=56 và AH=30(cm)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 30HC=56⇒HC=30.65=36(cm)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

AH2=HB.HC⇒HB=AH2HC=30236=25(cm)

Bài 12 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH>R. 

Phương pháp giải:

Sử dụng: Tam giác ABC vuông tại A, ta có AB2+AC2=BC2 (định lý Pytago).

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA=R+230

=6370+230=6600(km)  

Trong tam giác cân AOB ta có: OH⊥AB nên H là trung điểm của AB 

Suy ra: HA=HB=AB2=22002=1100(km)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHO ta có: AO2=AH2+OH2

Suy ra: OH2=OA2−AH2

Suy ra:

OH=OA2−AH2=66002−11002=42350000≈6508(km) 

Vì OH>R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

Bài 14 trang 104 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng ab như thế nào?   

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Khi đó ta có hệ thức sau: AH2=BH.CH

Từ đó suy ra cách dựng hình thỏa mãn đề bài.

Lời giải:

*  Cách dựng:

−     Dựng đường thẳng x.

−     Trên đường thẳng x dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB=a, BC=b.

−     Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

−     Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D.

Ta có đoạn BD=ab cần dựng. 

*  Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có tam giác ACD vuông tại D (do OD=OA=OC=AC2) và DB⊥AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

BD2=AB.BC=a.b

Suy ra: BD=ab. 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ BH⊥AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật (vì C^=D^=H^=900). 

Suy ra DH=BC=4m và BH=CD=10m (tính chất hình chữ nhật)

Và AH=AD−DH=8−4=4(m)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2=BH2+AH2 

Suy ra: AB=BH2+AH2=102+42=116≈10,8(m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 

Định lí Pytago đảo: 

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Ta có: 52+122=25+144=169=132

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lý Pytago đảo (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông. 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC: 

Cho tam giác ABC vuông tại A thì ta có:

BC2=AC2+AB2 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

ab=cd=a+cb+d

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Lời giải:

Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc ABC^ với cạnh AC là E.

Theo đề bài ta có:  

AE=427m,EC=557m.

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: AEEC=ABBC

Suy ra:

ABBC=427557=307407=34

Suy ra: AB3=BC4⇒AB29=BC216

Ta có AC=AE+EC=427+557=10 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

AB2+BC2=AC2=102=100 

Khi đó, ap dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

AB29=BC216=AB2+BC29+16=AB2+BC225=10025=4

Suy ra: AB2=9.4=36⇒AB=36=6(m)

BC2=16.4=64⇒BC=64=8(m)

Vậy: AB=CD=6m   

BC=AD=8m.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC:

Cho tam giác ABC vuông tại A thì ta có:

BC2=AC2+AB2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

ab=cd=a+cb+d

ab=cd⇒a2b2=c2d2=a2+c2b2+d2 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải:

Gọi a,b,c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b=30cm,c=40cm. 

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có: 

AHB^=CHA^=90∘

ABH^=CAH^ (hai góc cùng phụ ACB^)

Vậy ΔAHB đồng dạng ΔCHA (g.g)

Suy ra: HBHA=HAHC=BAAC=HB+HA+BAHA+HC+AC=bc

Suy ra: BAAC=bc=3040=34

Suy ra: BA3=AC4⇒BA29=AC216=BA2+AC29+16=BA2+AC225

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2=AB2+AC2 

Suy ra:

BA29=AC216=BC225⇒BA3=AC4=BC5

Xét hai tam giác vuông AHB và CAB, ta có: 

CAB^=CHA^=90∘

C^ chung

Nên ΔCAB đồng dạng ΔCHA (g.g)

Suy ra các tam giác ABH,CAH,CBA đồng dạng với nhau nên:

b:c:a=BA:AC:BC=3:4:5 

Suy ra: b3=c4=a5⇔303=404=a5

+ Tính chất đường phân giác:

– Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. 

Xét tam giác ABC có AM là phân giác của góc trong BAC^.

Ta có hệ thức: ABAC=AMMC

 – Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Tính chất tỉ lệ thức:

ab=cd⇒aa+b=cc+d. 

Lời giải: