Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 

+) Với a≥0 ta luôn có: a=(a)2

+) Sử dụng các hằng đẳng thức:

     1) (a+b)2=a2+2ab+b2

     2) (a−b)2=a2−2ab+b2

     3) a2−b2=(a−b).(a+b)

Lời giải:

a) Ta có:

x2−3=x2−(3)2

            =(x−3)(x+3)  (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

b) Ta có: 

Phương pháp giải:

+) Với a≥0 ta luôn có: a=(a)2.

+) Nếu a.b=0 thì a=0 hoặc b=0.

+) Sử dụng các hằng đẳng thức:

     (a−b)2=a2−2ab+b2

     a2−b2=(a−b).(a+b)

Lời giải:

a) Ta có:

x2−5=0⇔x2=5⇔x=±5

Vậy S={−5;5}.

Cách khác: 

Ta có: x2−5=0

         ⇔x2−(5)2=0 

         ⇔(x+5).(x−5)=0

        ⇔[x+5=0x−5=0

        ⇔[x=−5x=5 

b) Ta có:

x2−211x+11=0
⇔x2−2.x.11+(11)2=0
⇔(x−11)2=0
⇔x−11=0

⇔x=11

Vậy S={11}

Bài 16 trang 12 SGK Toán 9 Tập 1 :Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây. 

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

                      m2+V2=V2+m2

Cộng hai về với −2mV, ta có

                      m2−2mV+V2=V2−2mV+m2,

hay                 (m−V)2=(V−m)2

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

                       (m−V)2=(V−m)2          (1)

Do đó                m−V=V−m                          (2)

Từ đó ta có 2m=2V, suy ra m=V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Áp dụng hằng đẳng thức A2=|A| thì ta phải có: 

{(m−V)2=|m−V|(V−m)2=|V−m|

Do đó:  (m−V)2=(V−m)2

        ⇔|m−V|=|V−m|.

Vậy bài toán trên sai từ dòng (1) xuống dòng (2) vì khai căn không có dấu giá trị tuyệt đối.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

Lý thuyết Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A. Khi đó, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

A xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

2. Hằng đẳng thức A2=|A|

Với mọi số a, ta có a2=|a|.

* Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có 

A2=|A| nghĩa là 

A2=A nếu A≥0 và A2=−A nếu A<0.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định

Ta có A xác định hay có nghĩa khi A≥0 

Ví dụ: x−1 xác định khi x−1≥0⇔x≥1

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Sử dụng:  Với A là một biểu thức ta có A2=|A|

Vì dụ: Với x>2 ta có: A=x2−4x+4x−2=(x−2)2x−2=|x−2|x−2=x−2x−2=1