tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài tập ôn chương 4: Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài tập ôn chương 4: Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.
c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y=2x–3 và y=−x2
Phương pháp giải:
Xác định các điểm thuộc đồ thị rồi vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải:
a)
Vẽ đồ thị hàm số: y=2x−3
Cho x=0⇒y=−3 ta được điểm (0;−3)
Cho y=0⇒x=1,5 ta được điểm (1,5;0)
Đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0;−3) và (1,5;0) là đồ thị hàm số y=2x−3
Vẽ đồ thị hàm số y=−x2:
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
| y=−x2 |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
Đồ thị:
b)
Từ đồ thị ta thấy tọa độ giao điểm của hai đồ thị: A(1;−1) và B(−3;−9)
c)
Thay tọa độ của A và B vào phương trình: y=2x−3 ta có:
−1=2.1−3⇔−1=−1 (luôn đúng)
−9=2.(−3)−3⇔−9=−9 (luôn đúng)
Thay tọa độ của A và B vào phương trình: y=−x2
−1=−12⇔−1=−1 (luôn đúng)
−9=−(−3)2⇔−9=−9 (luôn đúng)
Vậy tọa độ của A và B là nghiệm của hệ phương trình:
{y=2x−3y=−x2
a) 3×2+4(x−1)=(x−1)2+3
b) x2+x+3=3x+6
c) x+21−x=4×2−11x−2(x+2)(x−1)
d) x2+14xx3+8=xx+2
Phương pháp giải:
– Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
– Nhẩm nghiệm hoặc dùng công thức nghiệm giải phương trình.
Lời giải:
a)
3×2+4(x−1)=(x−1)2+3⇔3×2+4x−4=x2−2x+1+3⇔2×2+6x−8=0⇔x2+3x−4=0
Phương trình trên có: a+b+c=1+3+(−4)=0 nên có hai nghiệm x1=1;x2=ca=−4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1;x=−4
b)
x2+x+3=3x+6⇔x2+(1−3)x+3−6=0Δ=(1−3)2−4.1.(3−6)=1−23+3−43+24=28−63=27−2.33+1=(33)2−2.33+1=(33−1)2>0Δ=(33−1)2=33−1×1=3−1+33−12.1=43−22=23−1×2=3−1−33+12.1=−232=−3
c)
Điều kiện: x≠1;x≠−2
x+21−x=4×2−11x−2(x+2)(x−1)
⇔x+21−x=11x+2−4×2(x+2)(1−x)⇒(x+2)2=11x+2−4×2⇔x2+4x+4=11x+2−4×2⇔5×2−7x+2=0
Phương trình có: a+b+c=5+(−7)+2=0
Nên có hai nghiệm x1=1;x2=ca=25
x1=1 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=25
d)
Điều kiện: x≠−2
x2+14xx3+8=xx+2
⇔x2+14x(x+2)(x2−2x+4)=xx+2⇒x2+14x=x(x2−2x+4)⇔x2+14x=x3−2×2+4x⇔x3−3×2−10x=0⇔x(x2−3x−10)=0⇒[x=0x2−3x−10=0
Giải phương trình: x2−3x−10=0
Ta có:
Δ=(−3)2−4.1.(−10)=49>0Δ=49=7×1=3+72.1=102=5×2=3−72.1=−42=−2
Giá trị x=−2 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x=0;x=5
a) x4+2×2−x+1=15×2−x−35
b) 2×4+x2−3=x4+6×2+3
c) 3×4−6×2=0
d) 5×4−7×2−2=3×4−10×2−3
Phương pháp giải:
– Biển đổi phương trình về dạng trùng phương.
– Đặt t=x2 và giải phương trình bậc hai thu được hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình tích.
Lời giải:
a)
x4+2×2−x+1=15×2−x−35⇔x4+2×2−x+1−15×2+x+35=0⇔x4−13×2+36=0
Đặt x2=t;t≥0.
Ta có phương trình: t2−13t+36=0
Δ=(−13)2−4.1.36=169−144=25>0Δ=25=5t1=13+52.1=182=9(nhận)t2=13−52.1=82=4(nhận)x2=9⇔x=±3×2=4⇔x=±2
Vậy phương trình có 4 nghiệm: x1=3;x2=−3;x3=2;x4=−2
b)
2×4+x2−3=x4+6×2+3⇔2×4+x2−3−x4−6×2−3=0⇔x4−5×2−6=0
Đặt x2=t⇒t≥0, ta có phương trình: t2−5t−6=0
Phương trình có dạng: a−b+c=1−(−5)+(−6)=0
Nên có hai nghiệm: t1=−1;t2=−−61=6
t1=−1<0: loại
t2=6⇒x2=6⇔x=±6
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1=6;x2=−6
c)
3×4−6×2=0⇔3×2(x2−2)=0⇔[3×2=0x2−2=0⇔[x=0x=±2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x1=0;x2=2;x3=−2
d)
5×4−7×2−2=3×4−10×2−3
⇔5×4−7×2−2−3×4+10×2+3=0
⇔2×4+3×2+1=0
Đặt x2=t⇒t≥0, ta có phương trình: 2t2+3t+1=0
Phương trình có dạng: a−b+c=2−3+1=0
Nên có hai nghiệm: t1=−1;t2=−12
Cả hai giá trị t1 và t2 đều nhỏ hơn 0: loại.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
a) (x2−2x)2−2×2+4x−3=0
b) 3×2+x+1−x=x2+3
Phương pháp giải:
– Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)
– Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.
– Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.
Lời giải:
a)
(x2−2x)2−2×2+4x−3=0⇔(x2−2x)2−2(x2−2x)−3=0
Đặt x2−2x=t, ta có phương trình: t2−2t−3=0
Phương trình có:
a−b+c=1−(−2)+(−3)=0
Nên có hai nghiệm: t1=−1;t2=−−31=3
Với t=−1 ta có:
x2−2x=−1⇔x2−2x+1=0Δ′=(−1)2−1.1=1−1=0
Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=1
Với t=3 ta có:
x2−2x=3⇔x2−2x−3=0
Phương trình này có: a−b+c=1−(−2)+(−3)=0
Nên có hai nghiệm: x1=−1;x2=−−31=3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1=1;x2=−1;x3=3
b)
Ta có: x2+x+1=(x+12)2+34≥0 với mọi x
Nên 3×2+x+1−x=x2+3
⇔x2+x+1−3×2+x+1+2=0
Đặt x2+x+1=t⇒t≥0,
Ta có phương trình: t2−3t+2=0
Phương trình này có dạng: a+b+c=1+(−3)+2=0
Nên có hai nghiệm: t1=1;t2=2 (thỏa mãn điều kiện)
Với t=1 ta có:
x2+x+1=1⇒x2+x+1=1⇔x(x+1)=0⇒[x=0x+1=0⇔[x=0x=−1
Với t=2 ta có:
x2+x+1=2⇒x2+x+1=4⇒x2+x−3=0Δ=12−4.1.(−3)=1+12=13>0Δ=13×1=−1+132.1=−1+132×2=−1−132.1=−1−132
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1=0;x2=−1; x3=−1+132;x4=−1−132
x2−2(m+1)x+m2+m−1=0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1,x2 hãy tính theo m:
x1+x2;x1x2;x12+x22
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có nghiệm khi và chỉ khi Δ≥0.
Lời giải:
a)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0
Δ′=[−(m+1)]2−1(m2+m−1)=m2+2m+1−m2−m+1=m+2Δ′≥0⇒m+2≥0⇔m≥−2
Vậy với m≥−2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
b)
Phương trình có 2 nghiệm x1,x2, theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=2(m+1)1=2m+2x1x2=m2+m−11=m2+m−1×12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(2m+2)2−2(m2+m−1)=4m2+8m+4−2m2−2m+2=2m2+6m+6
Sử dụng lý thuyết:
Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì là nghiệm của phương trình x2−Sx+P=0.
Lời giải:
Hai số có tổng bằng 10 và tích bằng −10 là nghiệm của phương trình:
x2−10x−10=0Δ′=(−5)2−1.(−10)=25+10=35>0Δ′=35×1=5+351=5+35×2=5−351=5−35
Vậy hai số đó là: 5+35 và 5−35
Phương pháp giải:
* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.
Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Lời giải:
Gọi lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch là x (tấn)
Điều kiện: x>0
Thời gian dự định khai thác là 216x ngày
Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x tấn
Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là 232−3x (tấn)
Mỗi ngày sau đội khai thác được x+8 tấn
Thời gian đội khai thác 232–3x tấn là 232−3xx+8 ngày.
Vì theo thực tế đội làm xong trước thời hạn một ngày nên ta có phương trình:
216x−1=3+232−3xx+8⇒216(x+8)−x(x+8)=3x(x+8)+(232−3x)x⇔216x+1728−x2−8x=3×2+24x+232x−3×2⇔x2+48x−1728=0Δ′=242−1.(−1728)=576+1728=2304>0Δ′=2304=48×1=−24+481=24×2=−24−481=−72
x2=−72<0 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác 24 tấn than.
* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.
Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Lời giải:
Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x(km/h); điều kiện: x>3
Thì vận tốc lúc đi xuôi dòng là x+3(km/h)
Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x–3(km/h)
Thời gian đi xuôi dòng là 30x+3 giờ
Thời gian đi ngược dòng là 30x−3 giờ
Vì ca nô nghỉ 40 phút=23 giờ nên thời gian ca nô đi thực tế là: 6−23=163 giờ.
Ta có phương trình:
30x+3+30x−3=163⇒90(x−3)+90(x+3)=16(x+3)(x−3)⇔90x−270+90x+270=16×2−144⇔16×2−180x−144=0⇔4×2−45x−36=0Δ=(−45)2−4.4.(−36)=2025+675=2601>0Δ=2601=51×1=45+512.4=968=12×2=45−512.4=−68=−34
x2=−34<0 không thỏa mãn điều kiện: loại.
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12km/h.
Bài tập bổ sung (trang 64 SBT Toán 9)
A) Khi 0<x<15, hàm số đồng biến
B) Khi −1<x<1, hàm số đồng biến
C) Khi −15<x<0, hàm số đồng biến
D) Khi −15<x<1, hàm số đồng biến
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Hàm số y=ax2(a≠0) với a<0 thì đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.
Lời giải:
Hàm số: y=−3×2 đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.
Nên khi −15<x<0 thì hàm số đồng biến.
Chọn C.
A) x2+Sx+P=0
B) x2−Sx+P=0
C) x2−Sx−P=0
D) x2+Sx−P=0
Phương pháp giải:
Sử dụng: Hai số có tổng là S và có tích là P là nghiệm của phương trình x2−Sx+P=0.
Lời giải:
Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình x2−Sx+P=0.
Chọn B.
a) x3+4×2+x−6=0
b) x3−2×2−5x+6=0
c) 2×4+22×3+(1−32)x2−3x−4=0
d) (2×2+7x−8)(2×2+7x−3)−6=0
Phương pháp giải:
Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích
A(x).B(x)=0⇔[A(x)=0B(x)=0
Lời giải:
a) x3+4×2+x−6=0
⇔x3+2×2+2×2+4x−3x−6=0
⇔x2(x+2)+2x(x+2)−3(x+2)=0
⇔(x+2)(x2+2x−3)=0
⇔[x+2=0x2+2x−3=0
+)x+2=0⇔x=−2
+)x2+2x−3=0.
Phương trình có: a+b+c=1+2+(−3)=0 nên có hai nghiệm:
x1=1;x2=−31=−3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1=−2;x2=1;x3=−3
b)
x3−2×2−5x+6=0⇔x3−x2−x2+x−6x+6=0⇔x2(x−1)−x(x−1)−6(x−1)=0⇔(x−1)(x2−x−6)=0⇔[x−1=0x2−x−6=0
+)x−1=0⇔x=1
+)x2−x−6=0(∗)
Ta có: Δ=(−1)2−4.1.(−6)=1+24=25>0
Suy ra Δ=25=5
Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm: x1=1+52.1=3
và x2=1−52.1=−2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1=1;x2=3;x3=−2
c) 2×4+22×3+(1−32)x2−3x−4=0
⇔2×4+22×3+x2−32×2−3x−4=0
⇔(2×2+x)2−3(2×2+x)−4=0
Đặt 2×2+x=t, ta có phương trình: t2−3t−4=0
Phương trình này có: a−b+c=1−(−3)+(−4)=0
Suy ra có hai nghiệm: t1=−1;t2=−−41=4
Với t=−1⇒2×2+x+1=0(1)
Ta có: Δ=1−4.2.1=1−42<0 nên phương trình (1) vô nghiệm
Với t=4⇒2×2+x=4⇔2×2+x−4=0(2)
Ta có: Δ=12−4.2.(−4)=1+162>0
Δ=1+162
Phương trình (2) có hai nghiệm:
x1=−1+1+1622.2=−2+2+3224
x2=−1−1+1622.2=−2−2+3224
Phương trình đã cho có hai nghiệm.
d) (2×2+7x−8)(2×2+7x−3)−6=0
⇔[(2×2+7x−3)−5](2×2+7x−3)−6=0
⇔(2×2+7x−3)2−5(2×2+7x−3)−6=0
Đặt 2×2+7x−3=t, ta có phương trình: t2−5t−6=0
Phương trình này có: a−b+c=1−(−5)+(−6)=0 nên có hai nghiệm:
t1=−1;t2=−−61=6
Với t=−1 ta có:
2×2+7x−3=−1⇔2×2+7x−2=0Δ=72−4.2.(−2)=49+16=65>0Δ=65×1=−7+652.2=−7+654×2=−7−652.2=−7−654
Với t=6, ta có: 2×2+7x−3=6⇔2×2+7x−9=0
Phương trình này có : a+b+c=2+7+(−9)=0 nên có hai nghiệm:
x1=1;x2=−92
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1=−7+654;x2=−7−654;x3=1;x4=−92
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0 có hai nghiệm x1;x2 khi Δ≥0
Theo hệ thức Vi-et ta có:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1;x2 thì Δ≥0
Ta có: Δ=p2−4
⇒p2−4≥0⇔p2≥4
⇔[p>2p<−2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−p;x1x2=1
Theo bài ra ta có: x12+x22=254
⇔(x1+x2)2−2x1x2=254⇔p2−2.1=254⇔p2=256⇔[p=16p=−16
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy với p=16 hoặc p=−16 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12+x22=254.
Bài IV.5 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình: x4−13×2+m=0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có 4 nghiệm phân biệt
b) Có 3 nghiệm phân biệt
c) Có 2 nghiệm phân biệt
d) Có một nghiệm
e) Vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Đặt x2=t≥0, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo Δ,S,P.
Lời giải:
Cho phương trình: x4−13×2+m=0 (1)
Đặt x2=t(t≥0), ta có phương trình: t2−13t+m=0 (2)
Δ=169−4m
a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm t1,t2 dương phân biệt. Khi đó:
{Δ=169−4m>0t1+t2=13>0t1.t2=m>0⇔{m<1694m>0⇔0<m<1694
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:
{Δ=169−4m>0t1+t2=13>0t1.t2=m=0⇔{m<1694m=0⇔m=0
c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi Δ=169−4m=0
⇔m=1694⇒t1=t2=132>0 (thỏa mãn)
+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi
{Δ=169−4m>0t1.t2=m<0⇔{m<1694m<0⇔m<0
Vậy với m=1694 hoặc m<0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.
Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép t1=t2=132≠0 (loại)
Nếu phương trình (2) có một nghiệm t1=0 thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
t1+t2=13⇒t2=13−t1=13−0=13>0
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.
Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:
t1+t2=13>0 vô lý
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.
Suy ra: Δ=169−4m<0⇔m>1694
