SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau | Giải SBT Toán lớp 9 

a) Chứng minh rằng OA⊥MN.

b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC//AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM=3cm, OA=5cm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

∗) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

∗) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải:

a) Xét đường tròn (O) có AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AM=AN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)

Vậy OA⊥MN.

b) Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên CMN^=90∘

suy ra: MN⊥MC

Mà      OA⊥MN (chứng minh trên)

Suy ra:  OA//MC

c) Ta có: AN⊥NC (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AON ta có:

AO2=AN2+ON2

Suy ra:  AN2=AO2−ON2=52−32=16

            AN=4(cm)

Suy ra: AM=AN=4(cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN. Xét tam giác AMN cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). 

Suy ra MH=NH=MN2 

Tam giác AON vuông tại N có NH⊥AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

 OA.NH=AN.ON⇒NH=AN.ONAO=4.35=2,4(cm)

Từ đó: MN=2.NH=2.2,4=4,8(cm).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

+ MD=ME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ PD=PI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ QI=QE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chu vi tam giác MPQ bằng:

MP+PQ+QM

=MP+PI+IQ+QM

=MP+PD+QM+QE

=MD+ME

=2.MD

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

Giả sử đường tròn (I) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

− Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox và Oy nên điểm I nằm trên tia phân giác của

 góc xOy.

− Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường vuông góc với

Ox kẻ từ A.

Vậy I là giao điểm của tia phân giác góc xOy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

* Cách dựng

− Dựng tia phân giác của góc xOy.

− Dựng đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt tia phân giác của góc xOy tại I.

− Dựng đường tròn (I;IA).

* Chứng minh

Ta có:   Ox⊥IA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (I)

Vì I nằm trên tia phân giác của xOy nên I cách đều hai cạnh Ox,Oy. Khi đó khoảng cách từ I đến Oy bằng IA nên Oy cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Vậy đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.

* Biện luận

Vì góc xOy nhỏ hơn 180° nên góc tạo bởi một cạnh của góc với tia phân giác là góc nhọn. Khi đó đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia phân giác của góc xOy.

a) Tính số đo góc MON.

b) Chứng minh rằng MN=AM+BN.

c) Chứng minh rằng AM.BN=R2 (R là bán kính của nửa đường tròn).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

a) Gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối  OH.

Ta có:  AOH^+BOH^=180∘ (hai góc kề bù)

  OM là tia phân giác của góc AOH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

  ON là tia phân giác của góc BOH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: OM⊥ON (tính chất hai góc kề bù)

Vậy MON^=90∘

b) Ta có:  MA=MH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB=NH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: MN=MH+HN

Suy ra: MN=AM+BN

c) Tam giác OMN vuông tại O có OH⊥MN (tính chất tiếp tuyến), theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OH2=MH.NH

Mà: MH=MA,NH=NB (chứng minh trên)

Suy ra: AM.BN=OH2=R2.

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE=AD

BE=BF

CD=CF

Mà: AE=AB–BE

AD=AC–CD

Nên: AE+AD=(AB–BE)+(AC–CD)

=AB+AC–(BE+CD)

=AB+AC–(BF+CF)

=AB+AC–BC

Suy ra: AE+AD=c+b–a

Hay:  AE=AD=c+b−a2

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Giao ba đường phân giác trong của tam giác là điểm cách đều các cạnh tam giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác).

+) Trong tam giác đều, giao ba đường phân giác cũng là giao ba đường trung tuyến, trung trực, đường cao.

Lời giải:

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.

Ta có: IH⊥BC (tính chất tiếp tuyến)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC.

Tam giác ABC đều nên AI cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó A,I,H thẳng hàng.

Khi đó đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác đều ABC nên ta có: HB=HC=BC2 ( tính chất tam giác đều)

Tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra: AH=3.HI=3.r

HAB^=12BAC^=12.60∘=30∘ (vì AH là tia phân giác của góc BAC)

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có:

BH=AH.tanHAB^=3r.tan300=3r.33=r3

Mà: BC=2.BH=2r3

Vậy SABC=12AH.BC=12.3r.2r3=3r23 (đvdt)

a) Tính độ dài OH.

b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

∗) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

∗) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với  hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

∗) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

a) Ta có: AB=AC  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra ∆ABC cân tại A.

AO là tia phân giác của góc BAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác ABC (tính chất tam giác cân).

Do đó AO vuông góc với BC tại H

Lại có: AB⊥OB (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH⊥AO

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OB2=OH.OA⇒OH=OB2OA=325=1,8 (cm)

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABO, ta có:

AO2=AB2+BO2

Suy ra: AB2=AO2−BO2=52−32=16

 ⇒AB=4(cm)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

DB=DM

EM=EC

Chu vi của tam giác ADE bằng:

AD+DE+EA=AD+DM+ME+EA=AD+DB+AE+EC

=AB+AC=2AB (vì AB=AC (cmt))

=2.4=8(cm).

a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.

c) Tính số đo góc DOE.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

∗) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

∗) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

∗) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

∗) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

a) Ta có: AB⊥AC⇒BAC^=90∘

AB⊥BO⇒ABO^=90∘

AC⊥CO⇒ACO^=90∘

Tứ giác ABOC có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Mặt khác: AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tứ giác ABOC là hình vuông.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

DB=DM

EM=EC

Chu vi của tam giác ADE bằng:

AD+DE+EA=AD+DM+ME+EA

=AD+DB+AE+EC

=AB+AC=2AB

Mà tứ giác ABOC là hình vuông (chứng minh trên) nên:

AB=OB=2(cm)

Vậy chu vi của tam giác ADE bằng: 2.2=4(cm)

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ OD là tia phân giác của góc BOM

Suy ra: BOD^=DOM^=12BOM^

+ OE là tia phân giác của góc COM

Suy ra: COE^=EOM^=12COM^

Suy ra:

DOE^=DOM^+EOM^

=12(BOM^+COM^)

=12COB^=12.90∘=45∘.

a) Ba điểm D,A,E thẳng hàng;

b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

∗) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

∗) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+ AB là tia phân giác của góc HAD  

Suy ra: DAB^=BAH^

+ AC là tia phân giác của góc HAE

Suy ra: HAC^=CAE^

Ta có: HAD^+HAE^=2(BAH^+HAC^)=2.BAC^=2.90∘=180∘

Vậy ba điểm D,A,E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: AD⊥BD;AE⊥CE

Suy ra: BD//CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang.

Vì M là trung điểm của BC và A là trung điểm của DE (vì DE là đường kính đường tròn (A))

Nên MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: MA//BD⇒MA⊥DE (vì BD⊥DE)

Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên ta có: MA=MB=MC=BC2

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ΔABC.

Để tính diện tích tam giác ΔABC ta tính diện tích các tam giác ΔIAB,ΔIBC,ΔICA.

Lời giải:

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nối IA,IB,IC.

Khoảng cách từ tâm I đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác IAB,IAC,IBC.

Ta có: SABC=SIAB+SIAC+SIBC

=12.AB.r+12.AC.r+12.BC.r

=12(AB+AC+BC).r

Mà AB+AC+BC=2p

Nên SABC=12.2p.r=p.r

a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?

b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB=3cm,AC=4cm 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+) Định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Vì đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC nên AB, BC, AC là các tiếp tuyến của đường tròn. 

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (O) với tiếp tuyến BC.

a) Ta có: OD⊥AB⇒ODA^=90∘

OE⊥AC⇒OEA^=90∘

BAC^=90∘ (gt)

Tứ giác ADOE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: AD=AE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy tứ giác ADOE là hình vuông.

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

BC2=AB2+AC2=32+42=25

Suy ra: BC=5(cm)

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AD=AE

BD=BF

CE=CF

Mà: AD=AB–BD

AE=AC–CE

Suy ra:    AD+AE=AB–BD+(AC–CE)

=AB+AC–(BD+CE)

=AB+AC–(BF+CF)

=AB+AC–BC

Suy ra:    AD=AE=AB+AC−BC2=3+4−52=1(cm)

Vì tứ giác ADOE là hình vuông nên  OD=DA=1cm

Vậy bán kính của đường tròn (O) là 1cm.

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

Ta có:    BC=2R

Giả sử đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB tại D,AC tại E và BC tại F.

Ta có: OD⊥AB⇒ODA^=90∘

OE⊥AC⇒OEA^=90∘

BAC^=90∘ (gt)

Tứ giác ADOE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: AD=AE (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)

Vậy tứ giác ADOE là hình vuông.

Suy ra: AD=AE=EO=OD=r

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

+) AD=AE

+) BD=BF

+) CE=CF

Ta có: 2R+2r=BC+AD+AE=BF+FC+AD+AE

=(BD+AD)+(AE+CE)

=AB+AC

Vậy AB+AC=2(R+r).

a) AE=AF=a+b+c2

b) BE=a+b−c2;

c) CF=a+c−b2

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Lời giải:

a) Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BE=BD;CD=CF

Mà: AE=AB+BE

     AF=AC+CF

Suy ra:   AE+AF=AB+BE+AC+CF

=AB+AC+(BD+DC)

 =AB+AC+BC=c+b+a

Mà AE=AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: AE=AF=a+b+c2

b) Ta có: BE=AE–AB=a+b+c2−c=a+b−c2

c) Ta có: CF=AF–AC=a+b+c2−b=a+c−b2.

a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c) Tìm vị trí của C,D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB=4cm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

∗) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

∗) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

∗) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải:

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax⊥AB

By⊥AB

Suy ra: Ax//By hay AC//BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI//AC⇒OI⊥AB tại O

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của AOM^ và BOM^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà AOM^ và BOM^ là hai góc kề bù nên OC⊥OD ( tính chất hai góc kề bù) ⇒COD^=90∘

Xét tam giác COD vuông tại O có OI là trung tuyến

Suy ra: IC=ID=IO=12CD ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

CA=CM

BD=DM

Suy ra: AC+BD=CM+DM=CD

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB+BD+DC+CA=AB+2CD

Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có: CD≥AB nên CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD=AB

Khi đó CD//AB⇔OM⊥AB 

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c) Chu vi hình thang ABDC bằng: AB+2CD (chứng minh trên)

Suy ra: 14=4+2.CD⇒CD=5(cm)

Hay CM+DM=5⇒DM=5–CM(1)

Tam giác COD vuông tại O có OM⊥CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OM2=CM.DM⇔22=CM.DM⇔4=CM.DM(2)

Thay (1) và (2) ta có: CM.(5–CM)=4

⇔5CM–CM2–4=0 

⇔4CM–CM2+CM–4=0

⇔CM(4–CM)+(CM–4)=0

⇔CM(4–CM)–(4–CM)=0

⇔(CM–1)(4–CM)=0

⇔CM–1=0 hoặc 4–CM=0

⇔CM=1 hoặc CM=4

Vì CM=CA (chứng minh trên) nên AC=1(cm) hoặc AC=4(cm)

Vậy điểm C cách điểm A là 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.

a)  MN⊥AB;

b) MN=NH.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác  và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax⊥AB

By⊥AB

Suy ra: Ax//By hay AC//BD

Trong tam giác BND, ta có: AC//BD

Suy ra: NDNA=BDAC (Hệ quả định lí Ta-lét)      (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC=CM và BD=DM(2)

Từ (1) và (2) suy ra: NDNA=MDMC

Trong tam giác ACD, ta có: NDNA=MDMC

Suy ra: MN//AC ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC⊥AB (vì Ax⊥AB)

Suy ra: MN⊥AB

b) Trong tam giác ACD, ta có: MN//AC

Suy ra: MNAC=DNDA (Hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: NH//AC ( vì M,N,H thẳng hàng)

Suy ra: HNAC=BNBC (Hệ quả định lí Ta-lét)       (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC//BD

Suy ra: NDNA=BNNC (Hệ quả định lí Ta-lét)

⇒NDDN+NA=BNBN+NC

⇔NDDA=BNBC           (5)

Từ (3),(4) và (5) suy ra: MNAC=HNAC⇒MN=HN.

Sử dụng kiến thức: 

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AB và AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE=AF 

BE=BD

CD=CF

Ta lại có: BD=BC−CD

BE=AB–AE

Suy ra: BD+BE=AB+BC–(AE+CD)

=AB+BC–(AF+CF)

=AB+BC–AC

Suy ra: BD=AB+BC−AC2

Lại có: CD=BC–BD

CF=AC=AF

Suy ra: CD+CF=BC+AC–(BD+AF)

=BC+AC–(BE+AE)

=BC+AC–BA

Suy ra: CD=BC+AC−AB2

Ta có:  BD.CD=AB+BC−AC2.BC+AC−AB2

=[BC−(AC−AB)][BC+(AC−AB)]4

=BC2−(AC−AB)24

=BC2−AC2−AB2+2AB.AC4  (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2=AB2+AC2(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD.CD=2AB.AC4=AB.AC2

Mà SABC=12AB.AC

Vậy SABC=BD.DC.

Bài tập bổ sung (trang 166,167 SBT Toán 9)

(A) r3;                (B) 2r3; 

(C) 4r;                  (D) 2r.

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác đều, giao ba đường phân giác cũng là giao ba đường trung tuyến, trung trực, đường cao.

+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cotang góc kề.

Lời giải:

Giả sử  ΔABC đều ngoại tiếp đường tròn (I,r).

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó A, I, H thẳng hàng và AH⊥BC (vì tam giác ABC đều)

Ta có I cũng là trọng tâm tam giác đều ABC 

⇒AH=3IH=3r

Xét tam giác vuông ABH, có:

BH=AH.cotB^=AH.cot⁡60o

=3r.33=r.3

⇒BC=2BH=2r.3

Vậy chọn (B).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cặp cạnh song song là hình bình hành.

+) Hình bình hành có đường chéo là tia phân giác các góc trong là hình thoi.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Lời giải:

Ta có: OD//AB(gt)⇒OD//AE

OE//AC(gt)⇒OE//AD

⇒ADOE là hình bình hành.

Mà AO là tia phân giác của góc BAC^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) hay AO phân giác góc A^ 

Vậy ADOE là hình bình hành có AO là đường phân giác của góc A nên ADOE là hình thoi.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có AB là tiếp tuyến tại B nên OB⊥AB (tính chất tiếp tuyến) 

Mà AB//CD(gt) nên OB⊥CD.

Gọi H là giao điểm của BO và CD thì BH⊥CD.

Xét đường tròn (O) có BH⊥CD mà BH là 1 phần đường kính và CD là dây cung nên suy ra HC=HD (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Vì BH⊥CD tại H là trung điểm của CD nên BH là đường trung trực của CD

Do đó BC=BD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).