tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bài 42 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phương pháp giải:

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

* Phân tích

Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có: AB⊥OB ⇒ABO^=90∘

AC⊥OC⇒ACO^=90∘

Tam giác ABO có ABO^=90∘ nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có ACO^=90∘ nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.

Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O).

*  Cách dựng

−  Dựng I là trung điểm của OA.

−  Dựng đường tròn (I;IO) cắt đường tròn (O) tại B và C.

−  Nối AB,AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng.

* Chứng minh

Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: ABO^=90∘

Suy ra: AB⊥OB tại B nên  AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên : ACO^=90∘

Suy ra: AC⊥OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

*  Biện luận

Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB,AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 43 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua  A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.
Phương pháp giải:

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

* Phân tích

−  Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A.

−  Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB.

−  Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A.

* Cách dựng

−  Dựng đường thẳng trung trực của AB.

−   Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O.

−  Dựa đường tròn (O;OA) ta được đường tròn cần dựng.

* Chứng minh

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB. Khi đó đường tròn (O;OA) đi qua hai điểm A và B.

Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O).

Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán.

* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Bài 44 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B;BA) và đường tròn (C;CA),  chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:

 BA=BD (bán kính của (B;BA))

CA=CD (bán kính của (C;CA))

BC chung

Suy ra: ∆ABC=∆DBC(c.c.c)

Suy ra: BAC^=BDC^

Mà BAC^=90∘ (gt) ⇒BDC^=90∘

Suy ra: CD⊥BD tại D

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).

Bài 45* trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a) Điểm E nằm trên đường tròn (O); 

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

EO=OA=OH=AH2 (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O;AH2)

b) Ta có: OH=OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: OEH^=OHE^       (1)

Mà BHD^=OHE^ (đối đỉnh)  (2)

Trong tam giác BDH ta có:

HDB^=90∘

Suy ra: HBD^+BHD^=90∘ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

OEH^+HBD^=90∘   (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD⊥BC nên AD là đường trung tuyến, suy ra BD=CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

ED=BD=BC2 (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: DBE^=DEB^     (5)

Từ (4) và (5) suy ra: OEH^+DEB^=90∘ hay DEO^=90∘

Suy ra: DE⊥EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 46 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
Phương pháp giải:

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

*  Phân tích

Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.

−  Tâm I nằm trên tia Oy  nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

*  Cách dựng

− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.

− Vẽ đường tròn (I;IA) là đường tròn cần dựng. 

* Chứng minh

Ta có: I thuộc Oy,OA⊥IA tại A.

Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I;IA) hay (I;IA) tiếp xúc với Ox.

* Biện luận

Vì xOy^ là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất. 

Bài 47 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Phương pháp giải:

Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa

mãn điều kiện bài toán.

− d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại  A nên d1⊥OA

− Vì d1//d nên d⊥OA.

Vậy A là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.

*        Cách dựng

− Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B.

− Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA.

− Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB.

Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: A và B thuộc (O)

d1//d mà d⊥OH nên d1⊥OH hay d1⊥OA tại A

Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d2//d  mà d⊥OH nên d2⊥OH hay d2⊥OB tại B

Suy ra d2 là tiếp tuyến của đường tròn (O)

*        Biện luận

Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.

Bài tập bổ sung (trang 164 SBT Toán 9)

Bài 5.1 trang 164 SBT Toán 9 tập 1: Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:

a) Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A thì d vuông góc với OA.

b) Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

a) Đúng ;         

b) Sai. Vì thiếu điều kiện đường thẳng d phải vuông góc với bán kính OA tại A.

Bài 5.2 trang 164 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với  OA tại trung điểm của OA. Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Vì dây CD vuông góc với  OA tại trung điểm của OA nên CD là đường trung trực của OA

Suy ra CA=CO.

Mà OA=OC (cùng bằng bán kính của đường tròn (O))

Và AO=MA ( vì M là điểm đối xứng với O qua A)

Suy ra CA=CO=AO=AM=OM2

Xét tam giác MCO có CA là đường trung tuyến ứng với cạnh MO và CA=OM2 nên tam giác MCO vuông tại C.

Suy ra MCO^=90∘ hay MC⊥OC tại C. 

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).