tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: AB⊥OB ⇒ABO^=90∘
AC⊥OC⇒ACO^=90∘
Tam giác ABO có ABO^=90∘ nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có ACO^=90∘ nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.
Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O).
* Cách dựng
− Dựng I là trung điểm của OA.
− Dựng đường tròn (I;IO) cắt đường tròn (O) tại B và C.
− Nối AB,AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: ABO^=90∘
Suy ra: AB⊥OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên : ACO^=90∘
Suy ra: AC⊥OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB,AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải:
* Phân tích
− Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A.
− Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB.
− Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A.
* Cách dựng
− Dựng đường thẳng trung trực của AB.
− Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O.
− Dựa đường tròn (O;OA) ta được đường tròn cần dựng.
* Chứng minh
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB. Khi đó đường tròn (O;OA) đi qua hai điểm A và B.
Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O).
Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán.
* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải:
Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:
BA=BD (bán kính của (B;BA))
CA=CD (bán kính của (C;CA))
BC chung
Suy ra: ∆ABC=∆DBC(c.c.c)
Suy ra: BAC^=BDC^
Mà BAC^=90∘ (gt) ⇒BDC^=90∘
Suy ra: CD⊥BD tại D
Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).
a) Điểm E nằm trên đường tròn (O);
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải:
a) Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
EO=OA=OH=AH2 (tính chất tam giác vuông)
Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O;AH2)
b) Ta có: OH=OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: OEH^=OHE^ (1)
Mà BHD^=OHE^ (đối đỉnh) (2)
Trong tam giác BDH ta có:
HDB^=90∘
Suy ra: HBD^+BHD^=90∘ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
OEH^+HBD^=90∘ (4)
Tam giác ABC cân tại A có AD⊥BC nên AD là đường trung tuyến, suy ra BD=CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
ED=BD=BC2 (tính chất tam giác vuông).
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: DBE^=DEB^ (5)
Từ (4) và (5) suy ra: OEH^+DEB^=90∘ hay DEO^=90∘
Suy ra: DE⊥EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.
− Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
* Cách dựng
− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.
− Vẽ đường tròn (I;IA) là đường tròn cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy,OA⊥IA tại A.
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I;IA) hay (I;IA) tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì xOy^ là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải:
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa
mãn điều kiện bài toán.
− d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên d1⊥OA
− Vì d1//d nên d⊥OA.
Vậy A là giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.
* Cách dựng
− Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B.
− Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA.
− Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB.
Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: A và B thuộc (O)
d1//d mà d⊥OH nên d1⊥OH hay d1⊥OA tại A
Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d2//d mà d⊥OH nên d2⊥OH hay d2⊥OB tại B
Suy ra d2 là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Biện luận
Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.
Bài tập bổ sung (trang 164 SBT Toán 9)
a) Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A thì d vuông góc với OA.
b) Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải:
a) Đúng ;
b) Sai. Vì thiếu điều kiện đường thẳng d phải vuông góc với bán kính OA tại A.
Sử dụng kiến thức:
+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
