tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quang điểm A thì CBD^ có số đo không đổi.
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải:
a) Ta có:
ACB^=12sđAnB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O))
ADB^=12sđAmB⏜ (góc nội tiếp trong đường tròn (O′))
Vì điểm A,B cố định nên sđAnB⏜, sđAmB⏜ không thay đổi
Vì vậy ACB^,ADB^ có số đo không đổi.
Ta có:CBD^=180o−(ACB^+ADB^) không đổi do ACB^,ADB^ có số đo không đổi.
Vậy số đo CBD^ luôn không đổi khi cát tuyến CAD thay đổi .
b) Trong (O) ta có
ABC^=MCA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (1)
Trong (O′) ta có: ABD^=MDA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MCA^+MDA^=ABC^+ABD^=CBD^
Hay MCD^+MDC^=CBD^ (không đổi do câu a)
Trong ∆MCD ta có: CMD^=180o−(MCD^+MDC^)
=180o−CBD^
Nên CMD^ không đổi do CBD^ không đổi.
Vậy CMD^ không đổi.
a) Chứng minh rằng ta luôn có MT2=MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.
b) Ở hình 2 khi cho MB=20cm,MB=50cm, tính bán kính đường tròn.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải:
a)
Xét ∆MTA và ∆MTB, có:
+) M^ chung
+) MTA^=TBA^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây), hay MTA^=TBM^
Suy ra: ∆MAT đồng dạng ∆MTB
⇒MTMA=MBMT
⇒MT2=MA.MB
Vì MA.MB=MT2 mà MT là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB.
b)
Gọi bán kính (O) là R
MB=MA+AB=MA+2R
⇒MA=MB−2R
MT2=MA.MB (chứng minh trên)
⇒MT2=(MB−2R)MB
⇒R=MB2−MT22MB
=2500−4002.50=21(cm)
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải:
Điểm nhìn tối đa là tiếp tuyến kể từ mắt nhìn đến tiếp điểm của bề mặt trái đất (như hình vẽ)
Xét ∆MTA và ∆MTB, có:
+) M^ chung
+) MTA^=TBM^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây)
Suy ra: ∆MAT đồng dạng ∆MTB
MTMA=MBMT
⇒MT2=MA.MB
⇒MT2=MA(MA+2R)
MA là chiều cao của đỉnh núi là 1km,R=6400km
Thay số ta có: MT2=1(1+2.6400)=12801
⇒MT≈113,1 (km)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Nếu các tia Oy và Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox và xOy^=xOz^ thì tia Oy và Oz trùng nhau.
Lời giải:
∆ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có ba khả năng xảy ra của tam giác
– ∆ABC là tam giác nhọn
– ∆ABC là tam giác vuông
– ∆ABC là tam giác tù
Xét ∆ABC là tam giác nhọn (tam giác vuông và tam giác tù chứng minh tương tự)
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC chứa tia Bx ta kẻ tia By là tiếp tuyến của đường tròn (O)
⇒CBy^=BAC^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Mà CBx^=BAC^ (gt)
Suy ra: CBy^=CBx^
Lại có By và Bx nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC tạo với BC một góc bằng nhau.
Do đó, By và Bx trùng nhau.
Vậy Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài tập bổ sung (trang 104 SBT Toán 9)
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Nếu một đường thẳng cùng vuông góc với hai đường thẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau.
+) Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360o.
Lời giải:
Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O)
Suy ra: At⊥OA (tính chất tiếp tuyến)
Mà EF⊥OA (gt)
Do đó: At//EF
Nên EFA^=CAt^ (so le trong)
Lại có: CBA^=CAt^ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra: EFA^=CBA^ hay EFA^=CBE^
Mà EFA^+EFC^=180o (hai góc kề bù)
Nên CBE^+EFC^=180o(1)
Trong tứ giác BCFE ta có:
BCF^+BEF^+CBE^+CFE^=360o (tổng các góc trong tứ giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: BCF^+BEF^=180o
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải:
Vì ∆ABC vuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
⇒AM=MB=MC=12BC (tính chất tam giác vuông)
Nên đường tròn tâm M bán kính MA đi qua A,B,C
Gọi D là giao điểm của AH với đường tròn (M,MA).
Khi đó: BC⊥AD tại H nên H là trung điểm của AD (quan hệ giữa đường kính và dây của đường tròn)
⇒BC là trung trực của AD
⇒AC=CD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
⇒∆ACD cân tại C
⇒ADC^=DAC^ (1)
Ta lại có: ADC^=nAC^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (2)
Từ (1),(2) suy ra DAC^=nAC^ hay HAC^=nAC^
Vậy AC là tia phân giác của HAn^
Ta có: ACB^=mAB^ (hệ quả của góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (3)
BAH^+ACB^=90o (cùng phụ với góc HAC^) (4)
Từ (3),(4) suy ra mAB^=BAH^.
Vậy AB là tia phân giác của mAH^.
