tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 24 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình 74, trong đó MN=PQ. Chứng minh rằng:

a)  AE=AF

b) AN=AQ. 

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

a) Nối OA

Ta có: MN=PQ(gt)

Suy ra: OE=OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OAE và OAF, ta có:

+) OEA^=OFA^=90∘

+) OA chung

+) OE=OF ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAE=∆OAF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AE=AF

b) Xét (O) có: OE⊥MN(gt)

Suy ra: EN=12MN (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)  (1)

Xét (O) có: OF⊥PQ(gt)

Suy ra: FQ=12PQ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)    (2)

Mặt khác: MN=PQ(gt)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EN=FQ(4)

Mà AE=AF ( chứng minh câu a)   

Hay AN+NE=AQ+QF(5)

Từ (4) và (5) suy ra: AN=AQ.

 

Bài 25 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình 75, trong đó hai dây CD,EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I, IC=2cm, ID=14cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Kẻ OH⊥CD, OK⊥EF

Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ta có: CD=EF(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông.

Ta có:CD=CI+ID=2+14=16(cm)

Xét (O) có OH⊥CD mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung nên HC=HD=CD2=8 (cm) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra IH=HC–CI=8–2=6(cm)

Do đó OH=OK=IH=6(cm)  (do OKIH là hình vuông).

Vậy khoảng cách từ O đến mỗi dây là 6cm.

Bài 26 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB<CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O;OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng KM<KN. 
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Kẻ OI⊥AB, OE⊥CD

Trong (O;OA) ta có: AB<CD(gt)

Suy ra: OI>OE (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Trong (O;OK) ta có: OI>OE (cmt)

Suy ra: KM<KN (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).

Bài 27 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I. 
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Gọi CD là dây bất kì đi qua I và CD không vuông góc với OI.

Kẻ OK⊥CD

Tam giác OKI vuông tại K nên OI>OK

Suy ra: AB<CD ( dây lớn hơn gần tâm hơn)

Vậy dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

Bài 28 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có A^>B^>C^. Gọi OH,OI,OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến BC,AC,AB. So sánh các độ dài OH,OI,OK. 
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, cạnh nào đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn.

+) Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)

Tam giác ABC có A^>B^>C^ nên suy ra:

BC>AC>AB (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn)

Ta có AB, BC, AC lần lượt là các dây cung của đường tròn (O)

Mà BC>AC>AB nên suy ra:

OH<OI<OK ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn).

Bài 29 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), hai dây AB,CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

a) IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.

b) Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8)

a) Kẻ OH⊥AB, OK⊥CD

Ta có: AB=CD(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

Vậy IO là tia phân giác của góc BID 

b) Xét hai tam giác OIH và OIK, ta có:

+) OHI^=OKI^=90∘

+) OI chung

+) OH=OK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆OIH=∆OIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: IH=IK(1)

Xét (O) có OH⊥AB nên HA=HB=12AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có OK⊥DC nên KC=KD=12CD (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà AB=CD (gt) nên HA=KC hay AI+IH=IC+IK mà IH=IK (theo (1))

Suy ra: IA=IC

Ta lại có AB=CD (gt) hay IA+IB=IC+ID mà IA=IC (cmt) nên IB=ID.

Vậy IA=IC,IB=ID. 

Bài 30 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm. Hai dây AB,CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40cm, 48cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy. 
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:  

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ OK⊥CD, OH⊥AB. 

Xét (O) có OK⊥CD mà OK là 1 phần đường kính và CD là dây cung ⇒CK=DK=12CD (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có OH⊥AB mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung ⇒AH=BH=12AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Vì AB//CD nên H,O,K thẳng hàng. 

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OBH, ta có:

OB2=BH2+OH2

Suy ra:  OH2=OB2−BH2=252−202=225

⇒OH=15(cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ODK, ta có:

OD2=DK2+OD2

Suy ra: OK2=OD2−DK2=252−242=49

⇒OK=7(cm)

* Trường hợp O nằm giữa hai dây AB và CD:

HK=OH+OK=15+7=22(cm)

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

* Trường hợp O nằm ngoài hai dây AB và CD:

HK=OH–OK=15–7=8(cm).

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 10)

 
Bài 31 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM=BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:

a) OC là tia phân giác của góc AOB.

b) OC vuông góc với AB.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 11)

a) Kẻ OH⊥AM,OK⊥BN

Ta có: AM=BN(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

OHC^=OKC^=90∘

         OC chung

         OH=OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCH=∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

O1^=O2^ (1)

Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:

OHA^=OKB^=90∘

         OA=OB (cùng bằng bán kính)

          OH=OK ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAH=∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

O3^=O4^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  O1^+O3^=O2^+O4^ hay AOC^=BOC^

Vậy OC là tia phân giác của AOB^

b) Tam giác OAB cân tại O (do OA=OB) có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC⊥AB.

Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 12)

Bài 32* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm.

a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M.

b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 13)

a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM (xem bài 27 trang 160 SBT toán 9 tập 1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có:

OA2=AM2+OM2

Suy ra:   AM2=OA2−OM2=52−32=16

               AM=4(dm)

Xét (O) có OM⊥AB mà OM là 1 phần đường kính và AB là dây cung

Suy ra M là trung điểm dây AM (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy), do đó  AM=12AB 

Hay:       AB=2AM=2.4=8(dm)

b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R=2.5=10(dm)

Bài 33* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB>CD,  chứng minh rằng 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn: Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

+) Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 14)

Xét (O) có  HA=HB(gt)

Suy ra:  OH⊥AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Xét (O) có  KC=KD(gt)

Suy ra:   OK⊥CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà  AB>CD(gt)

Nên  OK>OH ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có:

OM2=OH2+HM2

Suy ra:     HM2=OM2−OH2     (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có:

OM2=OK2+KM2

Suy ra:    KM2=OM2−OK2      (2)

Mà  OH<OK(cmt)          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: HM2>KM2 hay HM>KM.

Bài 34* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B nằm bên trong đường tròn và không cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao cho điểm A nằm trên một dây, điểm B nằm trên dây còn lại.
Phương pháp giải:
+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

+) Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

+) Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 15)

* Cách dựng

−        Dựng trung điểm I của AB.

−        Qua A dựng dây CD song song với OI.

−        Qua B dựng dây EF song song với OI.

Ta được CD và EF là hai dây cần dựng.

* Chứng minh

Ta có: CD//OI,EF//OI

Suy ra: CD//EF

Kẻ OH⊥CD cắt EF tại K

Suy ra: OK⊥EF

Xét hình thang AHKB (do AH//BK) có OI//AH//BK và I là trung điểm của AB nên O là trung điểm của HK.

Suy ra: OH=OK

Vậy CD=EF (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) 

* Biện luận

Bài toán có một nghiệm hình.

Bài tập bổ sung (trang 161 SBT Toán 9)

Bài 3.1 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính 6cm, dây AB bằng 2cm. Khoảng cách từ O đến AB bằng:

(A) 35cm ;          (B) 5cm ;    

(C) 42cm ;           (D) 22cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

 

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 16)

Ta có: OA=OB=6:2=3cm

Kẻ OH⊥AB tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây cung của đường tròn tâm O

⇒AH=HB=12AB=1cm (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét trong ΔOHB, có: 

OB2=OH2+HB2 (định lý Pytago)

⇒OH2=OB2−HB2

OH2=32−12=8

⇒OH=22

Vậy chọn (D).

Bài 3.2 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), điểm I nằm bên trong đường tròn ( I khác O). Dựng dây AB đi qua I và có độ dài ngắn nhất.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 17)

Dây AB phải dựng vuông góc với OI tại I.

Bài 3.3* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O;25cm), điểm C cách O là 7cm. 
Có bao nhiêu dây đi qua C có độ dài là một số nguyên xentimét?
Phương pháp giải:
 

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 18)

Dây lớn nhất đi qua C là đường kính EF=50cm.

Dây nhỏ nhất đi qua C là dây AB vuông góc với OC tại C, AB=48cm.

(Vì tam giác OAC vuông tại C, theo định lý Pytago ta có AC=OA2−OC2=252−72=24cm, mà OC⊥AB tại C nên C là trung điểm AB (quan hệ giữa đường kính và dây cung), suy ra AB=2AC=2.24=48cm)

Có hai dây đi qua C có độ dài 49cm ( là dây GH và IK đối xứng nhau qua EF, hai dây đối xứng qua một đường thẳng thì có độ dài bằng nhau)

Có tất cả 4 dây đi qua C có độ dài là một số nguyên xentimét.