SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 

a)  AE=AF

b) AN=AQ. 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 

Lời giải:

a) Nối OA

Ta có: MN=PQ(gt)

Suy ra: OE=OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OAE và OAF, ta có:

+) OEA^=OFA^=90∘

+) OA chung

+) OE=OF ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAE=∆OAF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AE=AF

b) Xét (O) có: OE⊥MN(gt)

Suy ra: EN=12MN (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)  (1)

Xét (O) có: OF⊥PQ(gt)

Suy ra: FQ=12PQ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)    (2)

Mặt khác: MN=PQ(gt)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EN=FQ(4)

Mà AE=AF ( chứng minh câu a)   

Hay AN+NE=AQ+QF(5)

Từ (4) và (5) suy ra: AN=AQ.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 

Lời giải:

Kẻ OH⊥CD, OK⊥EF

Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ta có: CD=EF(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông.

Ta có:CD=CI+ID=2+14=16(cm)

Xét (O) có OH⊥CD mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung nên HC=HD=CD2=8 (cm) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra IH=HC–CI=8–2=6(cm)

Do đó OH=OK=IH=6(cm)  (do OKIH là hình vuông).

Vậy khoảng cách từ O đến mỗi dây là 6cm.

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

Kẻ OI⊥AB, OE⊥CD

Trong (O;OA) ta có: AB<CD(gt)

Suy ra: OI>OE (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Trong (O;OK) ta có: OI>OE (cmt)

Suy ra: KM<KN (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

Gọi CD là dây bất kì đi qua I và CD không vuông góc với OI.

Kẻ OK⊥CD

Tam giác OKI vuông tại K nên OI>OK

Suy ra: AB<CD ( dây lớn hơn gần tâm hơn)

Vậy dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I.

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, cạnh nào đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn.

+) Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

Tam giác ABC có A^>B^>C^ nên suy ra:

BC>AC>AB (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn)

Ta có AB, BC, AC lần lượt là các dây cung của đường tròn (O)

Mà BC>AC>AB nên suy ra:

OH<OI<OK ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn).

a) IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.

b) Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

a) Kẻ OH⊥AB, OK⊥CD

Ta có: AB=CD(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

Vậy IO là tia phân giác của góc BID 

b) Xét hai tam giác OIH và OIK, ta có:

+) OHI^=OKI^=90∘

+) OI chung

+) OH=OK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆OIH=∆OIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: IH=IK(1)

Xét (O) có OH⊥AB nên HA=HB=12AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có OK⊥DC nên KC=KD=12CD (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà AB=CD (gt) nên HA=KC hay AI+IH=IC+IK mà IH=IK (theo (1))

Suy ra: IA=IC

Ta lại có AB=CD (gt) hay IA+IB=IC+ID mà IA=IC (cmt) nên IB=ID.

Vậy IA=IC,IB=ID. 

Sử dụng kiến thức:  

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ OK⊥CD, OH⊥AB. 

Xét (O) có OK⊥CD mà OK là 1 phần đường kính và CD là dây cung ⇒CK=DK=12CD (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có OH⊥AB mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung ⇒AH=BH=12AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Vì AB//CD nên H,O,K thẳng hàng. 

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OBH, ta có:

OB2=BH2+OH2

Suy ra:  OH2=OB2−BH2=252−202=225

⇒OH=15(cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ODK, ta có:

OD2=DK2+OD2

Suy ra: OK2=OD2−DK2=252−242=49

⇒OK=7(cm)

* Trường hợp O nằm giữa hai dây AB và CD:

HK=OH+OK=15+7=22(cm)

* Trường hợp O nằm ngoài hai dây AB và CD:

HK=OH–OK=15–7=8(cm).

a) OC là tia phân giác của góc AOB.

b) OC vuông góc với AB.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.

Lời giải:

a) Kẻ OH⊥AM,OK⊥BN

Ta có: AM=BN(gt)

Suy ra: OH=OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

OHC^=OKC^=90∘

         OC chung

         OH=OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCH=∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

O1^=O2^ (1)

Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:

OHA^=OKB^=90∘

         OA=OB (cùng bằng bán kính)

          OH=OK ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAH=∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

O3^=O4^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  O1^+O3^=O2^+O4^ hay AOC^=BOC^

Vậy OC là tia phân giác của AOB^

b) Tam giác OAB cân tại O (do OA=OB) có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC⊥AB.

Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:

a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M.

b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM (xem bài 27 trang 160 SBT toán 9 tập 1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có:

OA2=AM2+OM2

Suy ra:   AM2=OA2−OM2=52−32=16

               AM=4(dm)

Xét (O) có OM⊥AB mà OM là 1 phần đường kính và AB là dây cung

Suy ra M là trung điểm dây AM (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy), do đó  AM=12AB 

Hay:       AB=2AM=2.4=8(dm)

b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R=2.5=10(dm)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn: Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

+) Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Xét (O) có  HA=HB(gt)

Suy ra:  OH⊥AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Xét (O) có  KC=KD(gt)

Suy ra:   OK⊥CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà  AB>CD(gt)

Nên  OK>OH ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có:

OM2=OH2+HM2

Suy ra:     HM2=OM2−OH2     (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có:

OM2=OK2+KM2

Suy ra:    KM2=OM2−OK2      (2)

Mà  OH<OK(cmt)          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: HM2>KM2 hay HM>KM.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

+) Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

+) Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải:

* Cách dựng

−        Dựng trung điểm I của AB.

−        Qua A dựng dây CD song song với OI.

−        Qua B dựng dây EF song song với OI.

Ta được CD và EF là hai dây cần dựng.

* Chứng minh

Ta có: CD//OI,EF//OI

Suy ra: CD//EF

Kẻ OH⊥CD cắt EF tại K

Suy ra: OK⊥EF

Xét hình thang AHKB (do AH//BK) có OI//AH//BK và I là trung điểm của AB nên O là trung điểm của HK.

Suy ra: OH=OK

Vậy CD=EF (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) 

* Biện luận

Bài toán có một nghiệm hình.

Bài tập bổ sung (trang 161 SBT Toán 9)

(A) 35cm ;          (B) 5cm ;    

(C) 42cm ;           (D) 22cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Ta có: OA=OB=6:2=3cm

Kẻ OH⊥AB tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây cung của đường tròn tâm O

⇒AH=HB=12AB=1cm (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét trong ΔOHB, có: 

OB2=OH2+HB2 (định lý Pytago)

⇒OH2=OB2−HB2

OH2=32−12=8

⇒OH=22

Vậy chọn (D).

Lời giải:

Dây AB phải dựng vuông góc với OI tại I.

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.