SBT Toán 9 Bài 3: Bảng lượng giác | Giải SBT Toán lớp 9 

sin⁡39∘13′; cos⁡52∘18′;

tg13∘20′;  cot⁡g10∘17′;

sin⁡45∘;  cos⁡45∘. 

Phương pháp giải:

Dùng cho bảng lượng giác để tìm các góc.

Lời giải:

sin⁡39∘13′≈0,6323;

cos⁡52∘18′≈0,6115;

tg13∘20′≈0,2370;

cot⁡g10∘17′≈0,5118;

sin⁡45∘≈0,7071;

cos⁡45∘≈0,7071.

a) sin⁡x=0,5446;    

b) cos⁡x=0,4444;          

c) tgx=1,1111.

Phương pháp giải:

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi tìm góc x.

Lời giải:

a) sin⁡x=0,5446⇒x≈33∘

b) cos⁡x=0,4444⇒x≈63∘37′  

c) tgx=1,1111⇒x≈48∘

a) sin⁡x=1,0100;            

b) cos⁡x=2,3540;            

c) tgx=1,6754?  

Phương pháp giải:

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm x.

Lời giải:

a) sin⁡x=1,0100: không có góc nhọn x vì sin⁡x<1

b) cos⁡x=2,3540: không có góc nhọn x vì cos⁡x<1

c) tgx=1,6754⇒x≈59∘10′

Biết: 

AB=9cm,AC=6,4cm

AN=3,6cm,AND^=90∘,DAN^=34∘

Hãy tính:

a) CN;

b) ABN^;

c) CAN^;

d) AD.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ANC, ta có: 

 AC2=AN2+NC2 
⇒NC2=AC2−AN2
⇒NC=AC2−AN2=6,42−3,62=28
⇒NC≈5,2915(cm)

b) Tam giác ANB vuông tại N nên ta có:

sin⁡ABN^=ANAB=3,69=0,4 

⇒ABN^≈23∘35′

c) Tam giác ANC vuông tại N nên ta có:

cos⁡CAN^=ANAC=3,66,4=916=0,5625⇒CAN^≈55∘46′ 

d) Tam giác AND vuông tại N nên ta có:

cos⁡NAD^=ANAD⇒AD=ANcos⁡NAD^=3,6cos⁡34∘≈4,3424

Biết:

ACE^=90∘,AB=BC=CD=DE=2cm. 

Hãy tính:

a) AD,BE; 

b) DAC^;

c) BXD^.

Phương pháp giải:

+) Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: 

AB2+AC2=BC2. 

+) Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

a) Ta có: 

AC=AB+BC=2+2=4(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ACD, ta có:

AD2=AC2+CD2=42+22=16+4=20

⇒AD=20=25(cm)

Mặt khác: CE=CD+DE=2+2=4(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông BEC, ta có:

BE2=BC2+CE2=22+42=4+16=20 

⇒BE=20=25(cm) 

b) Tam giác ACD vuông tại C nên ta có:

tgDAC^=CDAC=24=12

Suy ra: DAC^≈26∘34′

c) Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: CDA^=90∘−CAD^≈90∘−26∘34′=63∘26′

Xét hai tam giác ACD và ECB, ta có:

AC=EC(=4cm)

BC=DC(=2cm)

AD=EB(=25(cm))

Suy ra: ΔACD=ΔECB (c.c.c)

⇒CBE^=CDA^=63∘26′

Trong tứ giác BCDX, ta có: 

BXD^=360∘−(C^+CDA^+CBE^)

=360∘−(90∘+63∘26′+63∘26′)=143∘8′.

Đoạn thẳng LN vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm N của AB; M là một điểm của đoạn thẳng LN và khác với L,N. Hãy so sánh các góc LAN^ và MBN^.

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

Ta có: tan⁡α=ABAC.

Lời giải:

Tam giác ALN vuông tại N nên ta có: 

tgLAN^=NLAN      (1)

Tam giác BNM vuông tại N nên ta có:

tgMBN^=NMNB        (2)

Mặt khác: AN=NB (gt) (3)

NL>NM  (4) (do M thuộc đoạn thẳng LN)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: tgMBN^<tgLAN^

Suy ra: MBN^<LAN^ ( vì α tăng thì tgα  tăng)

a) tg50∘28′ và tg63∘;

b) cot⁡g14∘ và cot⁡g35∘12′;

c) tg27∘ và cot⁡g27∘;

d) tg65∘ và cot⁡g65∘.

Phương pháp giải:

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng.

Hay α<β thì tgα<tgβ.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm.

Hay  α<β thì cotgα>cotgβ. 

Lời giải:

a) Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng

Ta có: 50∘28′<63∘, suy ra: tg50∘28′<tg63∘

b) Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm

Ta có: 14∘<35∘12′, suy ra: cotg14°>cotg35°12′

c) Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng

Ta có: 27∘+63∘=90∘, suy ra: cot⁡g27∘=tg63∘

Vì 27∘<63∘ nên tg27∘<tg63∘ hay tg27∘<cot⁡g27∘

d) Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm

Ta có: 65∘+25∘=90∘ nên tg65°=cotg25°

Vì 25∘<65∘  nên cotg250>cotg650  hay 

a) sinx−1 

b) 1−cos⁡x

c) sin⁡x−cos⁡x

d) tgx−cotgx

Phương pháp giải:

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì sinα tăng.

Hay α<β thì sin⁡α<sin⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cosα giảm.

Hay  α<β thì cos⁡α>cos⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng.

Hay α<β thì tgα<tgβ.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm.

Hay  α<β thì cotgα>cotgβ.

Lời giải:

a) Ta có: 0∘<α<90∘ với thì sinx<1, suy ra sinx−1<0

b) Ta có: 0∘<α<90∘ với thì cosx<1, suy ra 1−cos⁡x>0

c) Ta có:  

*  Nếu x=45° thì sinx=cosx, suy ra: sinx−cos⁡x=0

*  Nếu x<45° thì cos⁡x=sin⁡(90∘−x)

Vì x<45° nên 90∘−x>45∘ hay x<90∘−x, suy ra: sinx<sin⁡(90∘−x)

Vậy sin⁡x<cos⁡x hay sinx−cos⁡x<0

*  Nếu x>45°  thì cos⁡x=sin⁡(90∘−x)

Vì x>45° nên 90∘−x<45∘ hay x>90∘−x, suy ra: sinx>sin⁡(90∘−x)

Vậy sin⁡x>cos⁡x hay sinx−cosx>0.

d) Ta có:

*     Nếu x=45° thì tgx=cotgx, suy ra: tgx−cotgx=0

*     Nếu x<45°  thì cot⁡gx=tg(90∘−x)

Vì x<45°  nên 90∘−x>45∘ hay x<90∘−x, suy ra: tgx<tg(90∘−x)

Vậy tgx<cotgx hay tgx–cotgx<0.

*     Nếu x>45°  thì cot⁡gx=tg(90∘−x)

Vì x>45°  nên 90∘−x<45∘ hay x>90∘−x, suy ra: tgx>tg(90∘−x)

Vậy  tgx>cotgx hay tgx–cotgx>0.

a) tg28∘ và sin⁡28∘; 

b) cot⁡g42∘ và cos⁡42∘;

c) cot⁡g73∘ và sin⁡17∘;

d) tg32∘ và cos⁡58∘.   

Phương pháp giải:

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì sinα tăng.

Hay α<β thì sin⁡α<sin⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cosα giảm.

Hay  α<β thì cos⁡α>cos⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng.

Hay α<β thì tgα<tgβ.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm.

Hay  α<β thì cotgα>cotgβ.

Lời giải:

a) tg28∘=sin⁡28∘cos⁡28∘=sin⁡28∘.1cos⁡28∘  (1)

Vì 0<cos⁡280<1 nên 1cos⁡28∘>1⇒sin⁡28∘.1cos⁡28∘>sin⁡28∘  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tg28°>sin28° 

b) Ta có: cot⁡g42∘=cos⁡42∘sin⁡42∘=cos42∘.1sin⁡42∘   (1)

Vì 0<sin42°<1 nên 1sin⁡42∘>1⇒cos⁡42∘.1sin⁡42∘>cos⁡42∘  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: cotg42°>cos42°

c) Ta có: 17°+73°=90° nên  cos73∘=sin17∘ (1)

cot⁡g73∘=cos⁡73∘sin⁡73∘=cos⁡73∘.1sin⁡73∘   (2)

Vì 0<sin73°<1 nên 1sin73∘>1 ⇒cos73∘.1sin⁡73∘>cos73∘ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: cotg73°>sin17°

d) Ta có: 32°+58°=90°  nên sin⁡320=cos⁡58° (1)

tg32∘=sin⁡32∘cos⁡32∘=sin⁡32∘.1cos⁡32∘   (2)

Vì 0<cos32°<1 nên 1cos32∘>1⇒sin⁡32∘.1cos32∘>sin⁡32∘  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: tg32°>cos58°

sin⁡B,cos⁡B,tgB,cot⁡gB. 

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) như sau: 

 sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB. 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: AB2+AC2=BC2.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: 

BC2=AB2+AC2

⇒AB2=BC2−AC2=BC2−BC24=3BC24⇒AB=BC32 

Vậy: sin⁡B^=ACBC=12BCBC=12

cosB^=ABBC=32BCBC=32

tgB^=ACAB=12BC32BC=33

cot⁡gB^=1tgB=133=3

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn:  sin⁡α=ABBC (hình vẽ) 

Định lí Pytago đảo vào tam giác ABC:

Nếu AB2+AC2=BC2 thì tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Ta có:

AB=3⇒AB2=32=9 

AC=4⇒AC2=42=16

BC=5⇒BC2=52=25 

Ta có:

AB2+AC2 =9+16=25=BC2

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: sin⁡B^=ACBC=45=0,8⇒B^=53∘8′

C^=90∘−B^=90∘−53∘8′=36∘52′ 

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) như sau:

 sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB. 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: AB2+AC2=BC2.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có AB=AC=3cm, BC=4cm. 

Kẻ AH⊥BC thì AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ta có: BH=12BC=42=2(cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên ta có: 

cos⁡B^=BHAB=23⇒B^≈48∘11′ 

Sai số là: 50∘−48∘11′=1∘49′.

Bài tập bổ sung (trang 112,113 SBT Toán 9)

Bài 3.1 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Hãy so sánh:

a) sin⁡α và tan⁡α  0∘<α<90∘ ; 

b) cos⁡α và cotgα 0∘<α<90∘

c) sin⁡35∘ và tan⁡38∘                    

d) cos⁡33∘ và tan⁡61∘. 

Phương pháp giải:

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì sinα tăng.

Hay α<β thì sin⁡α<sin⁡β. 

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cosα giảm.

Hay  α<β thì cos⁡α>cos⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng.

Hay α<β thì tgα<tgβ.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm.

Hay  α<β thì cotgα>cotgβ.

Lời giải:

a) Do 0<cos⁡α<1 và sin⁡α>0 nên tanα=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α

b) Do 0<sin⁡α<1  và cos⁡α>0 nên cot⁡gα=cos⁡αsin⁡α>cos⁡α

c) Theo a) sin⁡35∘ < tan⁡35∘, mà khi góc lớn lên thì tan cũng lớn lên nên tan⁡35∘ < tan⁡38∘.

Vậy sin⁡35∘ < tan⁡38∘.

d) Theo b) cos⁡33∘ < cotg33∘ mà khi góc lớn lên thì cotang nhỏ đi

Nên cotg33∘<cotg29∘=tan⁡61∘ (vì 29∘+61∘=90∘)

Suy ra cotg33∘ < tan⁡61∘.

a) sin⁡20∘,cos20∘,sin55∘,cos40∘,tan70∘

b) tan⁡70∘,cotg60∘,cotg65∘,tan50∘,sin25∘ 

Phương pháp giải:

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì sinα tăng.

Hay α<β thì sin⁡α<sin⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cosα giảm.

Hay  α<β thì cos⁡α>cos⁡β.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì tgα tăng.

Hay α<β thì tgα<tgβ.

Với 0∘<α<90∘ ta có α tăng thì cotgα giảm.

Hay  α<β thì cotgα>cotgβ.

Lời giải:

a) Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì sin của nó lớn lên và chú ý rằng:

cos20∘=sin⁡70∘,cos40∘=sin⁡50∘ và sin⁡70∘<tan⁡ 70∘ (do sinα<tgα (theo bài 3.1 trang 112)) nên từ:

Do sin⁡200<sin⁡500<sin⁡550<sin⁡700

Vậy sin⁡20∘<cos⁡40∘<sin⁡55∘<sin⁡70∘<tan⁡70∘

b)   Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì tan của góc đó lớn lên.

Ta có: cot⁡g60∘=tan⁡30∘,cot⁡g65∘=tan⁡25∘.

Do sin⁡α<tan⁡α  (theo bài 3.1 trang 112) nên sin⁡25∘<tan⁡25∘

Từ đó suy ra: sin⁡25∘<tan⁡25∘<tan⁡30∘<tan50∘<tan70∘

Hay sin⁡25∘<cot⁡g65∘<cotg60∘<tan50∘<tan70∘

a) Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc đối diện với  cạnh này và cạnh huyền qua b và β.

b) Hãy tìm các giá trị của chúng khi b=10cm, β=50∘ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.  

Lời giải:

Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC=b, ABC^=β thì: 

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

tgβ=ACAB=bAB⇒AB=btgβcot⁡gβ=ABAC=ABb⇒AB=b.cot⁡gβ

sin⁡β=ACBC=bBC⇒BC=bsin⁡β

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ACB^=90∘−β

b)   Khi b=10(cm), β=50∘ thì

AB=10tg50∘≈8,391(cm),  ACB^=900−500=40∘,BC=10sin⁡50∘≈13,054(cm).