Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin được TaiLieuViet sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1.  Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bccos A\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2cacos B\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2abcos Cend{array}

Hệ quả

cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};cos C = frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}

Ví dụ: Cho tam giác ABC có widehat C = {115^0},AC = 8và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó. 

Giải

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Theo định lí côsin, ta có:

begin{array}{l} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.cos C\  = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.cos{115^0}\  approx 289,14 end{array}

Vậy AB approx sqrt {289,14}  approx 7

2.  Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} = 2R.

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

a = 2R.sin A;quad b = 2Rsin B;quad c = 2Rsin C

sin A = frac{a}{{2R}};quad sin B = frac{b}{{2R}};quad sin C = frac{c}{{2R}}.

Ví dụ:Cho tam giác ABC có widehat A = {72^0},widehat B = {83^0},BC = 18. Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đỏ.

Giải

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Đặt a= BC, b =AC, c =AB

Ta có: a = 18,widehat C = {180^0} - left( {{{72}^0} + {{83}^0}} right) = {25^0}

Áp dụng định lí sin, ta có:frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} = 2R

Suy ra

begin{array}{l} AC = b = frac{{asinB}}{{sin A}} = frac{{18.sin {{83}^0}}}{{sin {{72}^0}}} approx 18,8\ AB = c = frac{{asin C}}{{sin A}} = frac{{18.sin {{25}^0}}}{{sin {{72}^0}}} approx 8\ R = frac{a}{{2.sin A}} = frac{{18}}{{2.sin {{72}^0}}} approx 9,5 end{array}

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1) S = frac{1}{2}a{h_a} = frac{1}{2}b{h_b} = frac{1}{2}c{h_c}

2) S = frac{1}{2}bcsin A = frac{1}{2}casin B = frac{1}{2}absin C

3) S = frac{{abc}}{{4R}}

4) S = pr = frac{{(a + b + c).r}}{2}

5) S = sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} (Công thức Heron)

Ví dụ: Cho tam giác 48C có các cạnh a = 30, b =26, e =28.

a) Tính diện tích tam giác 48C.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bản kinh đường tròn nội tiếp tam giác ⁄48C.

Giải

a) Ta có: p = frac{1}{2}.left( {30 + 26 + 28} right) = 42

Áp dụng công thức Heron, ta có:

S = sqrt {pleft( {p - a} right)left( {p - b} right)left( {p - c} right)}  = sqrt {42left( {42 - 30} right)left( {42 - 26} right)left( {42 - 28} right)}  = 336

b) Ta có: S = frac{{abc}}{{4R}}

Ta lại có S = pr, Suy ra r = frac{S}{p} = frac{{336}}{{42}} = 8

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình sau.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.ABcos A

Mà AB = 14,AC = 18,widehat A = {62^o}

begin{array}{l} Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14cos {62^o} approx 283,3863\ Leftrightarrow BC approx 16,834end{array}

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

cos B = frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};cos C = frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}

Rightarrow left{ begin{array}{l}cos B = frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} approx 0,3297\cos C = frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} approx 0,6788end{array} right.

Rightarrow left{ begin{array}{l}widehat B approx {70^o}45'\widehat C approx {47^o}15'end{array} right.

Vậy BC approx 16,834;widehat B approx {70^o}45';widehat C approx {47^o}15'.

Câu 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình sau.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Hướng dẫn giải

Ta có: NP = 22,;widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}

Áp dụng định lí sin, ta có:

frac{{MN}}{{sin P}} = frac{{MP}}{{sin N}} = frac{{NP}}{{sin M}}

Suy ra:

MP = frac{{NP.sin N}}{{sin M}} = frac{{22.sin {{112}^o}}}{{sin {{34}^o}}} approx 36,48

MN = frac{{NP.sin P}}{{sin M}} = frac{{22.sin {{34}^o}}}{{sin {{34}^o}}} = 22.

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14,c = 35 và widehat A = {60^o}

b) Các cạnh a = 4,b = 5,c = 3

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: S = frac{1}{2}bcsin A, ta có:

S = frac{1}{2}.14.35.sin {60^o} = frac{1}{2}.14.35.frac{{sqrt 3 }}{2} approx 212,2

b) Ta có: p = frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng công thức Heron, ta có:

S = sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 2

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.