Giải Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa dây và cung 

Vẽ hình minh họa

a) Vì và cắt nhau tại hai điểm A và B nên (định lý)

Xét tam giác ADC có OO’ là đường trung bình (vì O là trung điểm AC,O’ là trung điểm AD) nên OO’//CD , suy ra (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác ADC có AC = AD (vì hai đường tròn và có cùng bán kính) nên cân tại A có AB là đường cao nên AB cũng là đường trung tuyến, suy ra BC = BD hay cung BC = cung BD (vì (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau).

b) Xét đường tròn (O’) có A,E,D cùng thuộc đường tròn và AD là đường kính nên tam giác AED vuông tại E

Xét tam giác DEC vuông tại E có B là trung điểm

Suy ra cung EB=cung BD (định lý), do đó B là điểm chính giữa cung ED..

Vẽ hình

a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)

Mà AD = AC (gt)

⇒ BC < AB + AD = BD

Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC

OK là khoảng cách từ O đến dây BD

⇒ OH > OK.( định lý về khoảng cách từ tâm đến dây)

b) Vì BD > BC

nên suy ra nhỏ hơn ( liên hệ cung và dây)

TH1: Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

Giả sử AB và CD là các dây song song của đường tròn (O). Ta chứng minh

Kẻ và .

Do AB //CD nên I,O,K thẳng hàng.

Do các tam giác OAB, OCD là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: và

Ta có:

Suy ra

TH2: Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn có hai dây song song AB//CD. Ta chứng minh cung AC = cung BD .

Qua O kẻ đường kính EG//CD ⇒ EG//AB .

Nối OA,OC,OB,OD ⇒ OA = OB = OC = OD (= bán kính)

+ Xét tam giác OAB cân tại nên (1)

Lại có (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (*)

+ Xét tam giác OCD cân tại nên

Lại có (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra (**)

Từ (*) và (**) suy ra (đpcm)

Vẽ hình minh họa

Giả sử đường tròn (O) có đường IK và I là điểm chính giữa cung AB.

a) Vì I là điểm chính giữa của overparen{AB}, suy ra overparen{IA} = overparen{IB} ⇒ IA = IB

Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB. Vậy HA = HB (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì ∆ AOB cân tại O và HA = HB nên OH là đường phân giác của góc . Suy ra

Từ đó suy ra

Tuy nhiên khi AB đi qua tâm thì điều này chưa chắc đúng vì nếu AB tạo với IK góc

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b) Hình vẽ

Vì I là điểm chính giữa của , suy ra ⇒ IA = IB

Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB

Nên OI hay IK là đường trung trực của dây AB. Suy ra IK bot AB.

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính KOI vuông góc với AB.

Ta có OA = OB ⇒ ∆OAB cân tại O

Mà nên OH là đường phân giác của suy ra

Ta có ∆OAI = ∆OBI (c.g.c). Do đó AI = IB. Suy ra

Vậy I là điểm chính giữa của