Giải Toán 9 bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức được TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải bao gồm đáp án chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 bài 2 trang 10, 11, 12 giúp các em biết cách trả lời các câu hỏi trong SGK, từ đó vận dụng giải Toán 9 hiệu quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

A. Trả lời câu hỏi trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh AB = sqrt {25 - {x^2}} left( {cm} right). Vì sao? (h.2)

Câu hỏi 1 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pi – ta – go vào tam giác ABC vuông tại B có:

eqalign{& A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} Leftrightarrow A{B^2} + {x^2} = {5^2} cr & Leftrightarrow A{B^2} = 25 - {x^2} cr & Rightarrow AB = sqrt {left( {25 - {x^2}} right)} ,,,left( {do,,AB > 0} right) cr}

Câu hỏi 2 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Với giá trị nào của x thì sqrt {5 - 2x} xác định?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để căn thức sqrt {5 - 2x} xác định (có nghĩa) là:

5 - 2x geqslant 0 Leftrightarrow 2x leqslant 5 Leftrightarrow x leqslant frac{5}{2}

Câu hỏi 3 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Câu hỏi 3 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Hướng dẫn giải:

Câu hỏi 3 trang 8 SGK Toán 9 tập 1

B. Giải SGK Toán 9 tập 1 trang 10, 11, 12

Bài 6 trang 10 sgk Toán 9 tập 1

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)sqrt{frac{a}{3}},b) sqrt{-5a};c) sqrt{4 - a};d)sqrt{3a + 7}

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: sqrt{frac{a}{3}} có nghĩa khi frac{a}{3}ge0 Leftrightarrow age0

b) Ta có: sqrt{-5a} có nghĩa khi -5age0 Leftrightarrow a lefrac{0}{-5}Leftrightarrow ale0

c) Ta có: sqrt{4 - a} có nghĩa khi 4-ageq 0 Leftrightarrow -ageq -4 Leftrightarrow aleq 4

d) Ta có: sqrt{3a + 7} có nghĩa khi 3a+7geq 0Leftrightarrow 3a geq -7 Leftrightarrow ageq frac{-7}{3}

Bài 7 trang 10 SGK Toán 9 tập 1

Tính

a) sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}}b) sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}}

c) - sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}}d) - 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}}

c) Ta có: - sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}} = - left| { - 1,3} right| = -1,3

d) Ta có:

- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}} = - 0,4.left| {-0,4} right| = - 0,4.0,4

= - 0,16

Bài 8 trang 10 sgk Toán 9 – tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a)sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}};b)sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}}

c) 2sqrt{a^2} với age0;d) 3sqrt{left(a-2right)^2} với a < 2.

a)

vì left{ matrix{{2^2} = 4 hfill cr {left( {sqrt 3 } right)^2} = 3 hfill cr} right.

mà 4>3 nên sqrt{4} > sqrt{3} Leftrightarrow 2> sqrt{3} Leftrightarrow 2- sqrt{3}>0.

Leftrightarrow left| {2 - sqrt 3 } right| =2- sqrt{3}.

Do đó: sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} = left| {2 - sqrt 3 } right|=2- sqrt{3}

b)

Vì left{ matrix{{3^2} = 9 hfill cr {left( {sqrt {11} } right)^2} = 11 hfill cr} right.

mà 9<11 nên sqrt{9} < sqrt{11} Leftrightarrow 3< sqrt{11} Leftrightarrow 3- sqrt{11} <0

Leftrightarrow left| {3 - sqrt {11} } right| =-(3- sqrt{11})=-3+sqrt{11}

=sqrt{11}-3.

Do đó: sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}} = left| {3 - sqrt {11} } right| =sqrt{11}-3.

c) Ta có: 2sqrt {{a^2}} = 2left| a right| = 2{rm{a}} (vì a ge 0 )

d) Vì a < 2 nên a - 2<0.

Leftrightarrow left| a-2 right|=-(a-2)=-a+2=2-a

Do đó: 3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} = 3left| {a - 2} right| = 3left( {2 - a} right)

= 6 - 3a.

Bài 9 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

Tìm x biết

a) sqrt{x^2}=7

b) sqrt{x^2}= left | -8 right |

c) sqrt{4^2}=7

d) sqrt{9x^2}= left |-12 right |

Hướng dẫn giải:

a)

sqrt{7^2}=7

Leftrightarrow left |x right | =7

Leftrightarrow x=pm 7

b)

sqrt{x^2}= left |-8 right |

Leftrightarrow left | x right | =8

x=pm 8

c)

sqrt{4x^2}=6

Leftrightarrowsqrt{2x^2}=6

Leftrightarrow left |2x right | =6

Leftrightarrow 2x=pm 6

Leftrightarrow =pm 3

d)

sqrt{9x^2} = left |-12 right |

Leftrightarrowsqrt{3x^2}=12

Bài 10 trang 11 sgk Toán 9 – tập 1

Chứng minh

a) (sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3};

b) sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: VT={left( {sqrt 3 - 1} right)^2} = {left( {sqrt 3 } right)^2} - 2. sqrt 3 .1 + {1^2}

= 3 - 2sqrt 3 + 1

=(3+1)-2sqrt 3

= 4 - 2sqrt 3 = VP

Vậy (sqrt{3}-1)^2=4-2sqrt{3}(đpcm)

b) Ta có:

VT = sqrt {4 - 2sqrt 3 } - sqrt 3 = sqrt {left( {3 + 1} right) - 2sqrt 3 } - sqrt 3

= sqrt {3 - 2sqrt 3 + 1} - sqrt 3

= sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} - 2.sqrt 3 .1 + {1^2}} - sqrt 3

= sqrt {{{left( {sqrt 3 - 1} right)}^2}} - sqrt 3

= left| {sqrt 3 - 1} right| - sqrt 3.

Lại có:

left{ matrix{ {left( {sqrt 3 } right)^2} = 3 hfill cr {left( {sqrt 1 } right)^2} = 1 hfill cr} right.

Mà 3>1 Leftrightarrow sqrt 3 > sqrt 1 Leftrightarrow sqrt 3 > 1 Leftrightarrow sqrt 3 -1 > 0.

Rightarrow left| sqrt 3 -1 right| = sqrt 3 -1.

Do đó left| {sqrt 3 - 1} right| - sqrt 3 = sqrt 3 -1 - sqrt 3

= (sqrt 3 - sqrt 3) -1= -1 = VP.

Vậy sqrt {4 - 2sqrt 3 } - sqrt 3 =-1 (đpcm)

C. Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Bài 11 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tính

a) sqrt{16}.sqrt{25}+sqrt{196}:sqrt{49}

b) 36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169}

c) sqrt{sqrt{81}}

d) sqrt{3^2+4^2}

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: sqrt{16}.sqrt{25}+sqrt{196}:sqrt{49}

=sqrt{4^2}.sqrt{5^2}+sqrt{14^2}:sqrt{7^2}

=left|4right|.left|5right|+left|14right|:left|7right|

=4.5+14:7

=20+2=22.

b) Ta có:

36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169}=36:sqrt{(2.3^2).18}-sqrt{13^2}

=36:sqrt{(2.9).18}-left|13right|

=36:sqrt{18.18}-13

=36:sqrt{18^2}-13

=36:left|18right|-13

=36:18−13

=2−13=−1

c) Ta có: sqrt{81}=sqrt{9^2}=left|9right|=9

Rightarrowsqrt{sqrt{81}}=sqrt{9}=sqrt{3^2}=left|3right|=3

d) Ta có: sqrt{3^2+4^2}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=sqrt{5^2}=left|5right|=5

Bài 12 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) sqrt{2x+7}; c) sqrt{frac{1}{-1+x}}

b) sqrt{-3x+4}; d) sqrt{1+x^2}

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

sqrt{2x+7} có nghĩa khi và chỉ khi: 2x+7ge0

Leftrightarrow2xge-7

Leftrightarrow x ge frac{-7}{2}.

b) Ta có

sqrt{-3x+4} có nghĩa khi và chỉ khi: −3x+4ge0

Leftrightarrow-3xge-4

Leftrightarrow xlefrac{-4}{-3}

Leftrightarrow xlefrac{4}{3}

c) Ta có:

sqrt{frac{1}{-1+x}} có nghĩa khi và chỉ khi:

left{ matrix{{1 over { - 1 + x}} ge 0 hfill cr - 1 + x ne 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{- 1 + x ge 0 hfill cr - 1 + x ne 0 hfill cr} right. Leftrightarrow - 1 + x > 0

Leftrightarrow x > 1

d) sqrt{1 + x^{2}}

Ta có:x^2geq 0, với mọi số thực x

Leftrightarrow x^2+1 geq 0+ 1, (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với 1)

Leftrightarrow x^2+1 geq 1, mà 1 >0

Leftrightarrow x^2+1 >0

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực x

Bài 13 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) 2sqrt {{a^2}} - 5a với (a<0).

b) sqrt{25a^{2}}+ 3a với (age0).

c) sqrt {9{a^4}} + 3{a^2},

d) 5sqrt{4a^{6}} - 3a^{3}với a<0

a) Ta có: 2sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a

=2.(-a)-5a (Vì a<0 nên left| a right| =-a)

=-2a-5a

=(-2-5)a

=-7a

Vậy 2 sqrt{a^2}-5a=-7a.

b) Ta có: sqrt{9a^{4}}+3a^2=sqrt {9}. sqrt{a^4}+ 3a^2

=sqrt{3^2}.sqrt{(a^2)^2}+3a^2

=left| 3 right| . left|a^2right| +3a^2

=3a^2 + 3a^2

=(3+3)a^2

=6a^2.

(Vì a^2geq 0, forall,, a,,epsilon ,,mathbb{R}Rightarrow |a^2|=a^2).

c) Ta có: sqrt{25a^{2}} + 3a=sqrt{25}. sqrt{a^2}+3a

=sqrt{5^2}. left| a right| +3a

=left| 5 right| .a+3a , (Vì ageq 0Rightarrow |a|=a)

=5a+3a

=(5+3)a

=8a.

d) Ta có:

5sqrt{4a^{6}} - 3a^3=5.sqrt{4}.sqrt{a^6} -3a^3

=5.sqrt{2^2}.sqrt{(a^3)^2}-3a^3

=5.left| 2 right| .left| a^3right|-3a^3

=5.2.(-a^3)-3a^3 , (vì a<0|a^3|=-a^3)

=10.(-a^3) - 3a^3

=-10a^3-3a^3

=(-10-3)a^3

=-13a^3.

Bài 14 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Phân tích thành nhân tử:

a) x^{2}- 3.b) x^{2}- 6;

c) x^{2} + 2sqrt{3}x + 3;d) x^{2} - 2sqrt{5}x + 5.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

x^{2} - 3=x^2-(sqrt{3})^2

=(x-sqrt{3})(x+sqrt{3}) (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

b) Ta có:

x^{2}- 6=x^2-(sqrt{6})^2

=(x-sqrt{6})(x+sqrt{6}) (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

c) Ta có:

x^2+2sqrt{3}x + 3=x^2+2.x.sqrt{3}+(sqrt{3})^2

=(x+sqrt{3})^2 (Áp dụng hằng đẳng thức số 1)

d) Ta có:

x^2-2sqrt{5}x+5=x^2-2.x.sqrt{5}+(sqrt{5})^2

=(x-sqrt{5})^2 (Áp dụng hằng đẳng thức số 2).

Bài 15 trang 11 sgk Toán 9 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) {x^2} - 5 = 0;b) {x^2} - 2sqrt {11} x + 11 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: {x^2} - 5 = 0

Leftrightarrow {x^2} - {left( {sqrt 5 } right)^2} = 0 (AD hằng đẳng thức số 3)

Leftrightarrow left( {x + sqrt 5 } right).left( {x - sqrt 5 } right) = 0

Leftrightarrow left[ matrix{ x + sqrt 5 = 0 hfill cr x - sqrt 5 = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{ x = - sqrt 5 hfill cr x = sqrt 5 hfill cr} right.

Vậy S = left{ { - sqrt 5 ;sqrt 5 } right}.

b) Ta có:

{x^2} - 2sqrt {11} x + 11 = 0
Leftrightarrow {x^2} - 2.x.sqrt {11} + {left( {sqrt {11} } right)^2} = 0
Leftrightarrow {left( {x - sqrt {11} } right)^2} = 0
Leftrightarrow x - sqrt {11} =0

Leftrightarrow x = sqrt {11}

Vậy S = left{ {sqrt {11} } right}

Bài 16 trang 12 sgk Toán 9 tập 1

Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

m^2+V^2=V^2+m^2

Cộng hai về với -2mV. Ta có

m^2-2mV+V^2=V^2-2mV+m^2,

hay left(m-Vright)^2=left(V-mright)^2

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

sqrt{left(m-Vright)^2}=sqrt{left(V-mright)^2}

Do đó m-V=V-m

Từ đó ta có 2m=2V, suy ra m=V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Hướng dẫn giải:

Phép chứng minh sai ở chỗ: Sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức

(m−V)^2=(V−m)^2

Ta được kết quả │m-V│=│V-m│ chứ không thể có m-V=V-m.

…………………..

Bài tiếp theo: Giải Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Như vậy là TaiLieuViet đã hướng dẫn Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên TaiLieuViet nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9, từ đó học tốt môn Toán hơn.

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Toán lớp 9; Giải Toán 9; Giải SBT Toán 9; Trắc nghiệm Toán 9 và các Tài liệu học tập lớp 9 khác được cập nhật liên tục trên TaiLieuViet.