Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

  • Bất đẳng thức Cosi
  • Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 cơ bản và nâng cao
  • 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Tài liệu do TaiLieuViet.vn biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương pháp biến đổi tương đương

I. Phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 1: Bất phương trình có dạng: sqrt{f(x)} < g(x)Leftrightarrow left{ begin{matrix} g(x)>0 \ 0le f(x)<{{g}^{2}}(x) \ end{matrix} right.

Dạng 2: Bất phương trình: sqrt{f(x)}>g(x)Leftrightarrow left[ begin{matrix} left{ begin{matrix} g(x)<0 \ f(x)ge 0 \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} g(x)ge 0 \ f(x)>{{g}^{2}}(x) \ end{matrix} right. \ end{matrix} right.

Chú ý: Khi giải bất phương trình ta sẽ làm theo các bước cơ bản sau:

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
  • Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x
  • Bước 3: Kiểm tra nghiệm cùng điều kiện ở bước 1
  • Kết luận

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: sqrt{5x+1}-sqrt{4x-1}le 3sqrt{x}

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: left{ begin{matrix} 5x+1ge 0 \ 4x-1ge 0 \ xge 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge dfrac{-1}{5} \ xge dfrac{1}{4} \ xge 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow xge dfrac{1}{4}

BPT tương đương: sqrt{5x+1}le 3sqrt{x}+sqrt{4x-1}

Leftrightarrow 5x+1le 9x+4x-1+6sqrt{xleft( 4x-1 right)}

Leftrightarrow 3sqrt{xleft( 4x-1 right)}ge 1-4x luôn đúng với điều kiện đề bài

Vậy bất phương trình có tập nghiệm xge frac{1}{4}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: dfrac{1-sqrt{1-4{{x}^{2}}}}{x}<3

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: left{ begin{matrix} 1-4{{x}^{2}}ge 0 \ xne 0 \ end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix} xin left[ dfrac{-1}{2},dfrac{1}{2} right] \ xne 0 \ end{matrix} right. right.

Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:

BPT Leftrightarrowfrac{(1-sqrt{1-4{{x}^{2}}})left( 1+sqrt{1-4{{x}^{2}}} right)}{xleft( 1+sqrt{1-4{{x}^{2}}} right)}<3Leftrightarrow 4x<3left( 1+sqrt{1-4{{x}^{2}}} right)

LeftrightarrowLeftrightarrowleft[ begin{matrix} left{ begin{matrix} 4x-3<0 \ 1-4{{x}^{2}}ge 0 \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} 4x-3ge 0 \ 9(1-4{{x}^{2}})>{{left( 4x-3 right)}^{2}} \ end{matrix} right. \ end{matrix} right.

Leftrightarrowkết hợp điều kiện Leftrightarrow

Cách 2: Xét các trường hợp điều kiện:

  • TH1: Với dfrac{-1}{2}le x<0

Ta có: BPT Leftrightarrowsqrt{1-4{{x}^{2}}}<1-3xLeftrightarrow left{ begin{matrix} 1-3x>0 \ 1-4{{x}^{2}}<{{left( 1-3x right)}^{2}} \ end{matrix} right.Leftrightarrow frac{-1}{2}le x<0

  • TH2: Với 0< xle frac{1}{2}

BPT Leftrightarrowsqrt{1-4{{x}^{2}}} < 1-3x Leftrightarrow left[ begin{matrix} left{ begin{matrix} 1-3x < 0 \ 1-4{{x}^{2}}ge 0 \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} 1-3xge 0 \ 1-4{{x}^{2}} > {{left( 1-3x right)}^{2}} \ end{matrix} right. \ end{matrix} right.Leftrightarrow 0 < xle frac{1}{2}

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: sqrt{2left( {{x}^{2}}-1 right)}le x+1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: xin [1,3)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a. sqrt{x+1}+sqrt{x+4}>3

b. sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}le x-2

c. sqrt{x-1}-sqrt{x-2}<sqrt{x-3}

d. sqrt{{{x}^{2}}-1} < x-5

e. sqrt{2x+4}>sqrt{x-3}+sqrt{x+6}

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a. dfrac{2x}{sqrt{x+1}}ge 3x-2

b. frac{4{{x}^{2}}}{{{left( 1-sqrt{1+2x} right)}^{2}}}<2x+3

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a. sqrt{{{x}^{2}}+x-2}+sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}le sqrt{{{x}^{2}}+4x-5}

b. sqrt{2{{x}^{2}}-3x+6}ge x+5

c. sqrt{x+sqrt{2x+1}}+sqrt{x-sqrt{2x+1}}>frac{3}{2}

Bài 4: Giải biện luận bất phương trình sau:

a. left( m+1 right)sqrt{2x+1}<1

b. sqrt{x}-sqrt{x-1}> m

c. sqrt{x-m} < x +3

Trên đây là Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương TaiLieuViet.vn giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra TaiLieuViet mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,…

Một số tài liệu liên quan: