Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm phần Đại số Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

  • Bất đẳng thức Cosi
  • Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 cơ bản và nâng cao
  • 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Tài liệu do TaiLieuViet.vn biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp là đơn giản biểu thức đưa bất phương trình về dạng bất phương trình quen thuộc.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: left( x-1 right)sqrt{2x-1}le 3left( x-1 right)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: 2x-1ge 0Leftrightarrow xge frac{1}{2}

Đặt t=sqrt{2x-1},tge 0Rightarrow x=frac{{{t}^{2}}+1}{2}

BPT trở thành: frac{{{t}^{2}}-1}{2}.tle 3left( frac{{{t}^{2}}+1}{2}-1 right) Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-t+3le 0

Leftrightarrow left( t-3 right)left( t-1 right)left( t+1 right)le 0 Rightarrow tin left[ 1,3 right]Rightarrow 1le sqrt{2x-1}le 3 Leftrightarrow 1le xle 5

Kết hợp với điều kiện ta có: 1le xle 5

Vậy bất phương trình có nghiệm 1le xle 5

Vậy bất phương trình có tập nghiệm xge frac{1}{4}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: {{x}^{2}}-1le 2xsqrt{{{x}^{2}}+2x}

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: {{x}^{2}}+2xge 0Leftrightarrow xin (-infty ,2]cup [0,+infty )

Đặt t=sqrt{{{x}^{2}}+2x},tge 0

Xét y={{x}^{2}}-2xt-1 ta coi y như một tam thức bậc 2 đối với x

Delta '={{t}^{2}}+1={{x}^{2}}+2x+1={{left( x+1 right)}^{2}}ge 0forall xRightarrow left[ begin{matrix} x=t+x+1 \ x=t-x-1 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} t+1=0 \ 2x-t+1=0 \ end{matrix} right.

sqrt{{{x}^{2}}+2x}+1ge 1forall x Rightarrow 2x+1-sqrt{{{x}^{2}}+2x}le 0

Leftrightarrow left{ begin{matrix} 2x-1ge 0 \ {{left( 2x+1 right)}^{2}}ge {{x}^{2}}+2x \ end{matrix} right.Leftrightarrow xge 0

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất xge 0text{ }

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: sqrt{1-x}+sqrt{x}le m

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x-1ge 0Leftrightarrow xge 1

Đặt left{ begin{matrix} a=sqrt{1-x} \ b=sqrt{x} \ end{matrix} right.,age 0,ble 1Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1

Bất phương trình tương đương: left{ begin{matrix} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \ a+ble m \ end{matrix} right. {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}-2ab=1 Rightarrow a+b=sqrt{1+2ab}ge 1

Ta có vế trái có GTNN là 1 khi ab = 0. Vậy để BPT có nghiệm thì mge 1

Điều kiện xác định: left{ begin{matrix} 2{{x}^{2}}+12x+6ge 0 \ 2x-1ge 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} xin mathbb{R}backslash left( -3-sqrt{6},-3+sqrt{6} right) \ xge frac{1}{2} \ end{matrix}Leftrightarrow right.xge frac{1}{2}

Bất phương trình tương đương: sqrt{2{{left( x+2 right)}^{2}}+2left( 2x-1 right)}-sqrt{2x-1}>x+2(*) left{ begin{matrix} a=sqrt{2x-1} \ b=x+2 \ end{matrix},age 0 right.

Leftrightarrow left{ begin{matrix} a+bge 0 \ {{left( a-b right)}^{2}}>0 \ end{matrix}Leftrightarrow ane b right. Leftrightarrow a=bRightarrow left[ begin{matrix} x=5 \ x=1 \ end{matrix} right.

Với ane bRightarrow xin left[ 1,5 right]cup [frac{1}{2},+infty )

Vậy bất phương trình có nghiệm xin left[ 1,5 right]cup [frac{1}{2},+infty )

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a. x+frac{2x}{sqrt{{{x}^{2}}-4}}>3sqrt{5}

b. sqrt{2{{x}^{2}}-10x+16}-x+3le sqrt{x+1}

c. frac{1}{1-{{x}^{2}}}+1>frac{3x}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}

d. 2{{x}^{2}}-2x+1>sqrt{{{x}^{2}}-x+1}

e. x+frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}-1}}>frac{35}{12}

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a. {{x}^{2}}-1ge 2xsqrt{{{x}^{2}}-2x}

b. left( 4x-1 right)sqrt{{{x}^{3}}+1}le 2{{x}^{3}}+2x+1

Bài 4: Tìm m để bất phương trình mx-sqrt{x-3}le m+1 có nghiệm

Bài 5: Tìm m để bất phương trình sqrt{left( 6-x right)left( x+4 right)}le {{x}^{2}}-2x+m có nghiệm đúng với mọi xin left[ -4,6 right].

Trên đây là Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ TaiLieuViet.vn giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra TaiLieuViet mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,…

Một số tài liệu tham khảo: