SBT Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây | Giải SBT Toán lớp 9 

Bài 10 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC có AB>AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD=AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường thẳng vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H∈BC,K∈BD).

a) Chứng minh rằng OH<OK.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC. 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

+) Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Lời giải:

a) Trong ∆ABC ta có:

BC>AB–AC (bất đẳng thức tam giác)

Mà AC=AD(gt)

⇒BC>AB–AD

Hay BC>BD

Trong (O) ta có: BC>BD

⇒OH<OK (dây lớn hơn gần tâm hơn)

b) Ta có dây cung BC>BD

Suy ra: BC⏜ > BD⏜ (dây lớn hơn căng cung lớn hơn).

Bài 11 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC=CD=DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) AE⏜ = FB⏜;

b) AE⏜ < EF⏜.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai tam giác có hai cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải:

a) ∆OAB cân tại O (vì OA=OB = bán kính)

⇒A^=B^

Xét  ∆OAC và ∆OBD:

OA=OB (bán kính)

A^=B^ (chứng minh trên)

AC=BD(gt)

Suy ra: ∆OAC=∆OBD(c.g.c)

⇒O1^=O2^     (1)

sđAE⏜=O1^                (2)

sđBF⏜=O2^                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AE⏜=BF⏜

b) ∆OAC=∆BOD (chứng minh trên)

⇒OC=OD

⇒ΔOCD cân tại O nên ODC^<900 mà ODC^+CDF^=1800 (hai góc kề bù)

Suy ra: CDF^>900

Trong ∆CDF ta có: CDF^>900⇒CF>CD nên AC<CF

Xét ∆OAC và ∆OCF:

OA=OF (= bán kính)

OC cạnh chung

AC<CF

Suy ra: O1^<O3^ (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

sđAE⏜=O1^

sđEF⏜=O3^

Suy ra: AE⏜<EF⏜.

Bài 12 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn bán kính AB lấy hai điểm C,D.Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E.Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.

c) DE=BF.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Với hai cung nhỏ ttrong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Lời giải:

a) ∆AFB nội tiếp trong (O) có

AB là đường kính nên ∆AFB vuông tại F.

⇒BF⊥AK

AK⊥CD (gt)

Suy ra: BF//CD

⇒ BD⏜=CF⏜ (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

b) Đường kính AB⊥CE tại điểm H nên H là trung điểm của CE

Suy ra C và E đối xứng qua trục AB.

⇒BC=BE nên BC⏜=BE⏜

CF⏜=BD⏜ (chứng minh trên)

Suy ra: BC⏜+CF⏜=BE⏜+BD⏜

Hay BF⏜=DE⏜

c) BF⏜=DE⏜ (chứng minh trên)

Suy ra BF=DE (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

 

Bài 13 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa dây cung AB (Không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Ta có: IA⏜=IB⏜ (gt)

⇒IA=IB (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau)

⇒I  nằm trên đường trung trực của AB

OA=OB (bán kính (O))

⇒O nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra: OI là đường trung trực của AB

H là trung điểm của AB, do đó OI đi qua trung điểm H

Vậy 3 điểm I,H,O thẳng hàng.

Bài 14 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O;R). Hãy vẽ hai cung (không phải là cung lớn) biết rằng cung này có số đo gấp ba lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180o.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng 180o.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Vì không phải là cung lớn nên hai cung đó có thể là cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn.

Ta có cung nửa đường tròn có số đo bằng 180o và dây cung bằng 2R, cung nửa đường tròn này gấp 3 lần cung tròn 60o (có góc ở tâm bằng 60o)

Tam giác tạo bởi dây căng cung và 2 bán kính đi qua 2 đầu mút của cung 600 là một tam giác đều nên dây căng cung bằng bán kính R. Vậy nửa đường tròn và cung 60o thỏa mãn bài toán.

 

Bài tập bổ sung (trang 101 SBT Toán 9)

Bài 2.1 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ góc ở tâm AOB^=800, vẽ góc ở tâm BOC^=1200 kề với AOB^. So sánh và sắp xếp độ dài AB,BC,CA theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Với hai cung trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Lời giải:

Ta có: AOB^=80o; BOC^=120o

Suy ra: AOC^=360o−80o−120o=160o

 sđAB⏜=AOB^=80o

sđBC⏜=BOC^=120o

sđAC⏜=AOC^=160o

AOB^<BOC^<AOC^

Suy ra AB⏜<BC⏜<AC⏜

Suy ra: AB<BC<AC

Bài 2.2 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho hình thoi ABCD. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AD. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB. Lấy điểm E bất kỳ trên đường tròn tâm A (không trùng với B và D), điểm F trên đường tròn tâm C sao cho BF song song với DE. So sánh hai cung nhỏ DE và BF.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.