SBT Toán 9 Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo) | Giải SBT Toán lớp 9 

a) Hai đường tròn (I) và (B) nói trên có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau? Vì sao?

b) Kẻ một đường thẳng đi qua A, cắt các đường tròn (I) và (B) theo thứ tự tại M và N. So sánh các độ dài AM và MN.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu OO′=R–r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) tiếp xúc trong.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

a) Vì A,I,B thẳng hàng nên:

         BI=AB–AI

Vậy đường tròn (I;IA) tiếp xúc với đường tròn (B;BA) tại A.

b) Tam giác AMB nội tiếp trong đường tròn (I) có AB là đường kính nên AMB^=90∘

Suy ra: AM⊥BM hay BM⊥AN

Xét đường tròn (B) có BM⊥AN mà BM là 1 phần đường kính và AN là dây cung

Suy ra: AM=MN ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn: 

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Kẻ OI⊥AB. Ta có: OI⊥CD 

Trong đường tròn (O) (nhỏ) ta có: OI⊥AB

Suy ra: IA=IB   (1) ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy) 

Trong đường tròn (O) (lớn) ta có: OI⊥CD

Suy ra: IC=ID ( đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hay IA+AC=IB+BD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC=BD.

a) Tính số đo góc CAD.

b) Tính độ dài CD biết OA=4,5cm,O′A=2cm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

+)  Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Lời giải:

a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt CD tại M

Trong đường tròn (O) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

MA=MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O′) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

MA=MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: MA=MC=MD=12CD

Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD và bằng nửa cạnh CD nên tam giác ACD vuông tại A

Suy ra: CAD^=90∘

b) Trong đường tròn (O) có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

MO là tia phân giác của CMA^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O′) có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

MO′ là tia phân giác của DMA^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà CMA^ và DMA^ là 2 góc kề bù

Suy ra: MO⊥MO′ (tính chất về tia phân giác của hai góc kề bù)

Tam giác MOO′ vuông tại M có MA⊥OO′ ( tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

MA2=OA.O′A=4,5.2=9⇒MA=3(cm)

Mà MA=12CD⇒CD=2.MA=2.3=6(cm)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là trung trực của dây chung.

Lời giải:

Vì đường tròn (O′) cắt đường tròn (O;OA) tại A và B nên OO′ là đường trung trực của AB

Suy ra: OO′⊥AB(1)

Vì đường tròn (O′) cắt đường tròn (O;OC) tại C và D nên OO′ là đường trung trực của CD

Suy ra: OO′⊥CD(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB//CD.

a) Tính số đo góc BAC.

b) Gọi I là giao điểm của BC và OO′. Tính độ dài OI.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thi  tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: OB//O′C(gt)

Suy ra:     AOB^+AO′C^=180∘ (hai góc trong cùng phía)

Xét đường tròn (O) ta có: OA=OB(=3cm)

⇒ Tam giác AOB cân tại O.

⇒BAO^=OBA^ và BAO^+OBA^+BOA^=1800 (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra:    BAO^=180∘−AOB^2

Xét đường tròn (O’) ta có: O′A=O′C(=1cm)

⇒ Tam giác AO′C cân tại O′

⇒CAO′^=O′CA^ và CAO′^+O′CA^+CO′A^=1800 (tổng ba góc trong tam giác) 

Suy ra: CAO′^=180∘−AO′C^2

Ta có: BAO^+CAO′^=180∘−AOB^2+180∘−AO′C^2

=180∘+180∘−(AOB^+AO′C^)2

=180∘+180∘−180∘2=90∘

Lại có:   BAO^+BAC^+CAO′^=180∘

Suy ra:   BAC^=180∘−(BAO^+CAO′^)

=180∘−90∘=90∘

b) Trong tam giác IBO, ta có: OB//O′C

Suy ra: IO′IO=O′COB ( hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: IO′IO=13⇒IO−IO′IO

=3−13⇒OO′IO=23

Mà OO′=OA+O′A=3+1=4(cm)

Suy ra: 4IO=23⇒IO=4.32=6(cm).

a) Tính số đo góc DAE.

b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải:

a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt DE tại I

Trong đường tròn (O) ta có:

IA=ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O′) ta có:

IA=IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: IA=ID=IE=12DE

Tam giác ADE có đường trung tuyến AI ứng với cạnh DE và bằng nửa cạnh DE nên tam giác ADE vuông tại A.

Suy ra: EAD^=90∘

b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên ADB^=90∘ hay AD⊥BM, suy ra ADM^=90∘

Tam giác AEC nội tiếp trong đường tròn (O′) có AC là đường kính nên AEC^=90∘ hay AE⊥CM, suy ra AEM^=90∘

Mặt khác: EAD^=90∘ (chứng minh trên)

Tứ giác ADME có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

c) Tứ giác ADME là hình chữ nhật và ID=IE (chứng minh trên) nên đường chéo AM của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm I của DE. Suy ra: A,I,M thẳng hàng.

Ta có: IA⊥OO′ ( vì IA là tiếp tuyến của (O))

Suy ra: AM⊥OO′

Vậy MA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O′).

a) MNQP là hình thang cân.

b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O′).

c) MN+PQ=MP+NQ.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải:

a) Vì M và P đối xứng qua trục OO′ nên OO′ là đường trung trực của MP.

Suy ra: OP=OM

Khi đó P thuộc (O) và MP⊥OO′(1)

Vì N và Q đối xứng qua trục OO′ nên OO′ là đường trung trực của NQ

Suy ra: O′N=O′Q

Khi đó Q thuộc (O′) và NQ⊥OO′(2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP//NQ

Tứ giác MNQP là hình thang.

Vì OO′ là đường trung trực của MP và NQ nên OO′ đi qua trung điểm hai đáy hình thang MNQP, OO′ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang MNQP nên MNQP là hình thang cân.

b) Ta có: MN⊥OM ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  OMN^=90∘ hay OMP^+PMN^=90∘    (3)

Vì OM=OP (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác OMP cân tại O

Suy ra: OPM^=OMP^                    (4)

Lại có MNQP là hình thang cân nên PMN^=QPM^ (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: OPM^+QPM^=90∘

Suy ra: QP⊥OP tại P

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: MN⊥O′N ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: O′NM^=90∘

Mà O′NM^=MNQ^−O′NQ^=90∘   (6)

Vì O′N=O′Q (= bán kính đường tròn (O’)) nên tam giác O′NQ cân tại O′

Suy ra: O′NQ^=O′QN^   (7)

Lại có MNQP là hình thang cân nên MNQ^=PQN^  (8)

Từ (6),(7) và (8) suy ra: PQN^−O′QN^=90∘ hay O′QP^=90∘

Suy ra:   QP⊥O′Q tại Q

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O′).

c) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại F

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EM=EA và FP=FA

Trong đường tròn (O′), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   EN=EA và FQ=FA

Suy ra:   EM=EA=EN=12MN

FP=FA=FQ=12PQ

Suy ra: MN+PQ=2EA+2FA=2(EA+FA)=2EF(9)

Vì EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên:

EF=MP+NQ2 hay MP+NQ=2EF(10)

Từ (9) và (10) suy ra: MN+PQ=MP+NQ.

a) Hai đường tròn (O),(O′) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b) Vẽ đường tròn (O′,1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó ( A là tiếp điểm). Tia O′A cắt đường tròn (O′;3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với O′B,B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO′. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O;2cm) và (O′;3cm).

c) Tính độ dài BC.

d) Gọi I là giao điểm của BC và OO′. Tính độ dài IO.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu OO′>R+r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) ở ngoài nhau.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải:

a) Vì OO′=6>2+3 hay OO′>R+R′ nên hai đường tròn (O) và (O′) ở ngoài nhau.

b) Xét tứ giác ABCO  ta có:

         AB//CO(gt)(1)

Mà:       AB=O′B–O′A=3–1=2(cm)

Suy ra:   AB=OC=2(cm)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABCO là hình bình hành.

Lại có: OA⊥O′A ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: OAO′^=90∘ hay OAB^=90∘

Tứ giác ABCO là hình chữ nhật

Suy ra: OCB^=ABC^=90∘

Suy ra: BC⊥OC và BC⊥O′B

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O′).

c) Vì tứ giác ABCO là hình chữ nhật nên OA=BC

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OAO′, ta có:

OO′2=OA2+O′A2

⇒OA2=OO′2−O′A2=62−12=35

⇒OA=35(cm)

Vậy BC=35(cm)

d) Trong tam giác O′BI có OC//O′B

Suy ra: IOIO′=OCO′B (hệ quả định lí Ta-lét)

⇒IOIO′−IO=OCO′B−OC

⇒IOO′O=23−2

⇒IO6=21

Vậy OI=6.21=12(cm)

a) Hai đường tròn (O) và (A) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b) Gọi B là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính BOC của đường tròn (O). Gọi D là giao điểm ( khác C) của  AC và đường tròn (O). Chứng minh rằng AD=DC.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu R–r<OO′<R+r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) cắt nhau.

+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.

Lời giải:

a) Ta có: R<OA<3R⇔2R−R<OA<2R+R

Suy ra hai đường tròn (O;R) và (A;2R) cắt nhau.

b) Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên BDC^=90∘

Suy ra: BD⊥AC

Ta có: AB=2R và BC=2OB=2R

Suy ra tam giác ABC cân tại  B

Vì tam giác ABC cân tại B có BD là đường cao (do BD⊥AC) nên BD cũng là đường trung tuyến.

Suy ra: AD=DC.

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải:

* Phân tích

− Giả sử dựng được đường tròn (O′;1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;2cm).

− Đường tròn (O;1cm) tiếp xúc với d nên O′ cách d một khoảng bằng 1cm. Khi đó O′ nằm trên hai đường thẳng d1,d2 song song với d và cách d một khoảng 1cm.

− Đường tròn (O′;1cm) tiếp xúc với đường tròn (O;2cm) nên suy ra OO′=3cm. Khi đó O′ là giao điểm của (O;3cm) với d1 và d2.

* Cách dựng

− Dựng hai đường thẳng d1  và d2  song song với d và cách d một khoảng bằng 1cm.

− Dựng đường tròn (O;3cm) cắt tại d1  tại O1′.  Vẽ (O1′;1cm) ta có đường tròn cần dựng. 

* Chứng minh

Theo cách dựng, O1′  cách d một khoảng bằng 1cm nên (O1′;1cm) tiếp xúc với d.

Vì OO1′=3cm =1cm+2cm nên (O1′;1cm) tiếp xúc với (O;2cm)

*  Biện luận: O cách d1 một khoảng bằng 1cm nên (O;3cm) cắt d1 tại hai điểm phân biệt.

Và (O;3cm) tiếp xúc với d2 tại 1 điểm nên bài toán có 3 nghiệm hình (như hìnhh vẽ)

Bài tập bổ sung (trang 170 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu R–r<OO′<R+r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) cắt nhau.

+) Nếu OO′=R–r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) tiếp xúc trong.

+) Nếu OO′=R+r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) tiếp xúc ngoài.

+) Nếu OO′>R+r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) ở ngoài nhau.

+) Nếu OO′=R+r thì đường tròn (O) đựng đường tròn (O′).

Lời giải:

a) Hai đường tròn (O) và (O′) có vị trí tương đối nào ?

b) Tính độ dài dây chung của hai đường tròn.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn (O) và (O′)  cắt nhau nhau thì R−r<OO′<R+r.

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. 

Lời giải:

a) Ta có 4−1<OO′=5<4+3 ⇒(O) và (O′) cắt nhau.

b) Gọi A và B là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O′), H là giao điểm của AB và OO′.

Ta có: 52=32+42 (=25)

hay OO′2=OA2+O′A2

⇒ΔAOO′ vuông tại A (định lý Pytago đảo)

Vì hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau nên OO’ là đường trung trực của AB.

Hay H là trung điểm của AB ⇒AB=2AH.

Xét ΔAOO′ vuông tại A có AH là chiều cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH.OO′=OA.O′A

AH=OA.O′AOO′=3.45

⇒AH=2,4cm

Suy ra AB=2AH=4,8cm.

a) Chứng minh rằng trung điểm M của AB chuyển động trên một đường tròn (O′).

b) Đường tròn (O′) có vị trí tương đối nào đó đối với đường tròn (O)?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Nếu OO′=R–r thì đường tròn (O) và đường tròn (O′) tiếp xúc trong.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Lời giải:

a) Xét đường tròn (O) có M là trung điểm của dây AB nên OM⊥AB (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra AMO^=90∘ hay tam giác AMO vuông tại M.

Do đó, điểm M chuyển động trên đường tròn (O′) đường kính AO.

b) Ta có: OO′=OA−O′A

Vậy đường tròn (O′) tiếp xúc trong với đường tròn (O).