tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;1);
b) Tìm hệ số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1;−2);
c) Vẽ đồ thị của các hàm số với hệ số góc tìm được ở các câu a) , b) trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y=ax
Điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b khi y0=ax0+b
Lời giải:
a)
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y=ax
Vì đường thẳng y=ax đi qua điểm A(2;1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng với phương trình đường thẳng.
Ta có : 1=a.2⇔a=12
Vậy hệ số góc mà đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;1) là a=12.
b)
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y=ax
Vì đường thẳng y=ax đi qua điểm B(1;−2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: −2=a.1⇔a=−2
Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1;-2) là a=−2.
c)
Với a=12 ta có hàm số: y=12x
Với a=−2 ta có hàm số : y=−2x
*) Vẽ đồ thị hàm số y=12x
Cho x=0 thì y=0. Ta có: O(0;0)
Cho x=2 thì y=1. Ta có: A(2;1)
Đồ thị hàm số y=12x đi qua O và A.
*) Vẽ đồ thị hàm số y=−2x
Cho x=0 thì y=0. Ta có : O(0;0)
Cho x=1 thì y=−2 . Ta có : B(1;−2)
Đồ thị hàm số y=−2x đi qua điểm O và B.
*Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên Ox, Oy.
Ta có hai tam giác AA’O và BB’O có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau.
Suy ra : AOA′^=BOB′^ (1)
Vì Ox⊥Oy nên BOA′^+BOB′^=900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BOA′^+AOA′^=900
Suy ra OA⊥OB hay hai đường thẳng y=12x và y=−2x vuông góc với nhau.
y=ax+b (d)
y=a′x+b′ (d’)
Chứng minh rằng :
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.
Phương pháp giải:
+ Đường thẳng y=ax+b có hệ số góc là a.
Lời giải:
Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y=ax // (d) và y=ax // (d’).
*Chứng minh (d) vuông góc với (d’) thì a.a′=−1
Không mất tính tổng quát, giả sử a>0
Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y=ax là góc nhọn.
Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y=a′x là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng y=ax và đường thẳng y=a′x với tia Ox hơn kém nhau 900).
Suy ra: a′<0
Mà đường thẳng y=ax đi qua A(1;a), đường thẳng y=a′x đi qua B(1;a′)
nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.
Vì (d)⊥(d′) nên hai đường thẳng y=ax và y=a′x vuông góc với nhau
Suy ra: AOB^=900
Tam giác vuông AOB có OH⊥AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : OH2=HA.HB
Hay: a.|a′|=1⇔a.(−a′)=1⇔a.a′=−1
Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a′=−1
*Chứng minh a.a′=−1 thì (d) vuông góc với (d’)
Ta có : a.a′=−1⇔a.|a′|=1 hay HA.HB=OH2
Suy ra: HAOH=OHHB mà OHA^=OHB^=900
Suy ra: ΔOHA đồng dạng ΔBHO⇒AOH^=OBH^
Mà OBH^+BOH^=900⇒AOH^+BOH^=900⇒AOH^=900
Suy ra OA⊥OB hay hai đường thẳng y=ax và y=a′x vuông góc với nhau.
Vậy (d)⊥(d′).
a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau:
y=x (1)
y=0,5x (2)
b) Đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt trục tung Oy tại điểm C có tung độ bằng 2, theo thứ tự cắt các đường thẳng (1) và (2) tại D và E.
Tìm tọa độ của các điểm D, E . Tính chu vi và diện tích của tam giác ODE.
Phương pháp giải:
+) Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b (a≠0)
Nếu b≠0 thì đồ thị y=ax+b là đường thẳng đi qua các điểm A(0;b); B(−ba;0).
+) Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh
+) Diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.
Lời giải:
a) * Vẽ đồ thị hàm số y=x
Cho x=0 thì y=0. Ta có : O(0;0)
Cho x=1 thì y=1. Ta có: A1(1;1)
Đồ thị hàm số y=x là đường thẳng đi qua O và A1.
* Vẽ đồ thị hàm số y=0,5x
Cho x=0 thì y=0. Ta có : O(0;0)
Cho x=1 thì y=0,5. Ta có : A2(1;0,5)
Đồ thị hàm số y=0,5x là đường thẳng đi qua O và A2 .
b) Qua điểm C trên trục tung có tung độ bằng 2, kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị hàm số y=x tại D , cắt đồ thị hàm số y=0,5x tại E.
Điểm D có tung độ bằng 2.
Thay giá trị y=2 vào hàm số y=x ta được x=2
Vậy điểm D(2;2)
Điểm E có tung độ bằng 2.
Thay giá trị y=2 vào hàm số y=0,5x ta được x=4.
Vậy điểm E(4;2)
Gọi D′ và E′ lần lượt là hình chiều của D và E trên Ox.
Ta có: OD′=2,OE′=4.
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ODD′, ta có:
OD2=OD′2+DD′2=22+22=8
Suy ra: OD=8=22
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OEE′, ta có:
OE2=OE′2+EE′2=42+22=20
Suy ra: OE=20=25
Lại có: DE=CE−CD=4−2=2
Chu vi tam giác ODE bằng:
OD+DE+EO=22+2+25=2(2+1+5)
Diện tích tam giác ODE bằng: 12DE.OC=12.2.2=2 (đơn vị diện tích).
a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số
y=−2x ; (1)
y=0,5x ; (2)
b) Qua điểm K(0;2) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox. Đường thẳng (d) cắt các đường thẳng (1) , (2) lần lượt tại A, B. Tìm tọa độ của các điểm A, B.
c) Hãy chứng tỏ rằng AOB^=900 (hai đường thẳng y=−2x và y=0,5x vuông góc với nhau).
Phương pháp giải:
Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b (a≠0)
+ Nếu b=0 ta có hàm số y=ax. Đồ thị của y=ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a);
+ Nếu b≠0 thì đồ thị y=ax+b là đường thẳng đi qua các điểm A(0;b); B(−ba;0).
Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Lời giải:
a) * Vẽ đồ thị hàm số y=−2x
Cho x=0 thì y=0. Ta có: O(0;0)
Cho x=−1 thì y=2. Ta có : A(−1;2)
Đồ thị hàm số y=−2x là đường thẳng đi qua điểm O và A.
* Vẽ đồ thị hàm số y=0,5x
Cho x=0 thì y=0. Ta có : O(0;0)
Cho x=1 thì y=0,5 . Ta có: A2(1;0,5)
Đồ thị hàm số y=0,5x đi qua O và A2.
b) Đường thẳng (d) song song với trục Ox và đi qua điểm K(0;2) nên nó là đường thẳng y=2
Đường thẳng y=2 cắt đường thẳng (1) tại A nên điểm A có tung độ bằng 2.
Thay y=2 vào phương trình y=−2x ta được 2=−2x⇒x=−1.
Vậy điểm A(−1;2)
Đường thẳng y=2 cắt đường thẳng (2) tại B nên điểm B có tung độ bằng 2.
Thay y=2 vào phương trình y=0,5x ta được 2=0,5x⇒x=4
Vậy điểm B(4;2).
c) Xét hai tam giác vuông OAK và BOK , ta có:
OKA^=OKB^=900AKOK=12;OKKB=24=12⇒AKOK=OKKB
Suy ra ΔOAK đồng dạng với ΔBOK
Suy ra: KOA^=KBO^
Mà KBO^+KOB^=900 (do tam giác KOB vuông tại K)
Suy ra: KOB^+KOA^=900 hay AOB^=900.
Hay hai đường thẳng y=−2x và y=0,5x vuông góc với nhau.
Với mỗi giá trị của m∈R , ta có một đường thẳng xác định bởi (1) . Như vậy, ta có một họ đường thẳng xác định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm đó.
Phương pháp giải:
* Cách tìm điểm cố định của họ đường thẳng y=mx+n (1)
Giả sử điểm A(x0;y0) là điểm cố định mà họ đường thẳng (1) đi qua.
Khi đó: y0=mx0+n
Chuyển vế và biến đổi phương trình về dạng a.m+b=0
Để phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m thì:
a=0 và b=0.
Từ đó tìm được x0 và y0.
Lời giải:
Chứng minh họ đường thẳng y=mx+(2m+1) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó.
Giả sử điểm A(x0;y0) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi m.
Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1).
Với mọi m, ta có: y0=mx0+(2m+1)⇔mx0+2m+1−y0=0⇔(x0+2)m+(1−y0)=0
Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m nên tất cả các hệ số phải bằng 0.
Suy ra:
x0+2=0⇔x0=−21−y0=0⇔y0=1
Vậy A(−2;1) là điểm cố định mà họ đường thẳng y=mx+(2m+1) luôn đi qua với mọi giá trị m.
Bài tập bổ sung (trang 68,69 SBT Toán 9)
a) Hệ số góc của đường thẳng y=3x−52 là:
(A) 3;
(B) −5;
(C) 32;
(D) −52.
b) Hệ số góc của đường thẳng y=3−3×5 là:
(A) 3;
(B) 35;
(C) −3;
(D) −35.
Phương pháp giải:
Phương trình đường thẳng có dạng y=kx+b (d1) với k được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d1).
Lời giải:
a)
Ta có y=3x−52=32x−52
Suy ra k=32. Vậy chọn đáp án là (C).
b)
y=3−3×5=−35x+35
Suy ra k=−35. Vậy chọn đáp án (D).
a) Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M(3;32) là:
(A) 3 (B) 32
(C) 12 (D) 32
b) Hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm P(1;3+2) và Q(3;3+2) là:
(A) −3 (B) (3−1)
(C) (1−3) (D) 3
Phương pháp giải:
Phương trình đường thẳng có dạng y=kx+b (d1) với k được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d1).
Gọi phương trình đường thẳng y=ax+b với a≠0. Thay tọa độ các điểm P và Q vào để tìm a và b.
Lời giải:
Gọi phương trình đường thẳng y=ax+b với a≠0
+ O(0;0) thuộc đường thẳng nên 0=a.0+b⇒b=0 (1)
+ M(3;32) thuộc đường thẳng nên 32=a.3+b (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
32=a3+0⇒a=12
Vậy a=12;b=0, đáp án là (C).
b)
Gọi phương trình đường thẳng y=ax+b với a≠0
+ P(1;3+2) thuộc đường thẳng nên 3+2=a.1+b (3)
+ Q(3;3+2) thuộc đường thẳng nên 3+2=a.3+b (4)
Trừ vế với vế của (3) và (4), ta suy ra:
a.1−a.3=3−3
a.(1−3)=3−3⇒a.(1−3)=3(1−3)⇒a=3
Thay a=3 vào (3) ta được:
3+b=3+2⇒b=2
Vậy a=3;b=2. Vậy đáp án là (D).
a) Góc hợp bởi đường thẳng y=12x+35 và trục Ox là:
(A) 26o34′; (B) 30o;
(C) 60o; (D) 30o58′.
b) Góc hợp bởi đường thẳng y=7+2×5 và trục Ox là:
(A) 54o28′; (B) 81o52′;
(C) 21o48′; (D) 63o26′.
Phương pháp giải:
Đường thẳng y=ax+b (a≠0) tạo với tia Ox một góc α thì tanα=a.
Lời giải:
a)
Ta có tanα=12⇒α≈26034′
Vậy đáp án là (A).
b)
Ta có y=7+2×5=25.x+75
Suy ra tanα=25⇒α≈21048′
Vậy đáp án là (C).
