SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 

a) Bốn điểm B,C,H,K cùng thuộc một đường tròn;

b) HK<BC. 

Phương pháp giải:

+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

+ Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm của BC

Tam giác BCH vuông tại H có HI  là đường trung tuyến nên: HI=IB=IC=12BC (tính chất tam giác vuông)

Tam giác BCK vuông tại K có KI là đường trung tuyến nên:

KI=IB=IC=12BC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: IB=IC=IH=IK=12BC.

Vậy bốn điểm B,C,H,K  cùng nằm trên một đường tròn tâm I bán kính bằng 12BC.

b) Trong đường tròn tâm I bán kính 12BC, ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH<BC (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

a)  Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.

b)  So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC=BD thì tứ giác ABCD là hình gì? 

Phương pháp giải:

Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của AC. 

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

BM=MA=MC=12AC (tính chất tam giác vuông) 

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM=MA=MC=12AC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA=MB=MC=MD.

Vậy bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng 12AC.

b) BD là dây của đường tròn (M), còn AC là đường kính nên AC≥BD

AC=BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường).

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên thứ nhất và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Lời giải:

Ta có: AI⊥EF (gt)

           BK⊥EF (gt)

Suy ra: AI//BK

Suy ra tứ giác ABKI là hình thang

Kẻ OH⊥EF

Suy ra: OH//AI//BK (cùng vuông với IK)

Ta có: OA=OB(=R)

Như vậy hình thang ABKI có OH đi qua trung điểm cạnh bên AB và song song với hai đáy AI, BK nên OH đi qua trung điểm cạnh bên IK.

Suy ra: HI=HK 

Hay:         

HE+EI=HF+FK  (1)

Xét đường tròn (O) có OH là một phần đường kính, EF là dây của đường tròn.

Vì OH⊥EF nên HE=HF  (2) (quan hệ giữa đường kính và dây cung) 

Từ (1) và (2) suy ra:IE=KF.

+) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: AB2+AC2=BC2

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của OA

Suy ra: IO=IA=12OA=32

Ta có: BC⊥OA (gt)

Suy ra:   OIB^=90∘

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OIB ta có: OB2=BI2+IO2

Suy ra: BI2=OB2−IO2

=32−(32)2=9−94=274

BI=332 (cm)

Xét đường tròn (O) có OA⊥BC tại I nên BI=CI (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó)

Suy ra: BC=2BI=2.332=33 (cm)

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD,CBO,OBA.

c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Phương pháp giải:

+ Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60∘ là tam giác đều.

Lời giải:

a) Ta có:

OB=OC=R (vì B,C nằm trên (O;R)) 

DB=DC=R ( vì B,C nằm trên (D;R))

Suy ra: OB=OC=DB=DC.

Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.

b) Ta có: OB=OD=BD=R

∆OBD đều ⇒OBD^=60∘

Vì OBDC là hình thoi nên:

CBD^=OBC^=12OBD^=30∘

Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:

ABD^=90∘

Suy ra OBD^+OBA^=90∘

Nên OBA^=ABD^−OBD^=90∘−60∘=30∘

c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD⊥BC hay AD⊥BC

Suy ra AD là đường trung trực của BC (vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và O∈AD) 

Ta có:     

AB=AC ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác ABC cân tại A   (1)

Mà  ABC^=OBC^+OBA^=30∘+30∘=60∘.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.

a)   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM=BN. 

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M,N sao cho AM=BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.  

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang đó.

Lời giải:

a) Ta có:

CM⊥CD

DN⊥CD

Suy ra:  CM//DN

Kẻ  OI⊥CD

Suy ra:  OI//CM//DN

Xét (O) có OI⊥CD mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên IC=ID (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hình thang MCDN (do CM//DN) có  OI//CM//DN và IC=ID 

Suy ra:  OM=ON (1)

Mà: AM+OM=ON+BM(=R)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  AM=BN.

b) Ta có:  MC//ND (gt)

Suy ra tứ giác  MCDN là hình thang

Lại có:    OM+AM=ON+BN(=R)

Mà  AM=BN (gt)

Suy ra:  OM=ON

Kẻ  OI⊥CD     (3)

Xét (O) có OI⊥CD mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên IC=ID (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Khi đó  OI là đường trung bình của hình thang MCDN (vì OM=ON và IC=ID) 

Suy ra:  OI//MC//ND      (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  

MC⊥CD,ND⊥CD.

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 

Lời giải:

Kẻ OM⊥CD cắt AD tại N.

Xét đường tròn (O) có OM⊥CD tại M mà OM là 1 phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên MC=MD ( đường kính vuông góc với dây thi đi qua trung điểm của dây đó )

Hay MH+CH=MK+KD     (1)

Ta có: OM//BK (cùng vuông góc với CD)

Hay:     NO//BK

Xét tam giác AKB có NO//BK và  OA=OB(=R)

Suy ra: NA=NK (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: OM//AH ( cùng vuông góc với CD)

Hay:     MN//AH

Xét tam giác AKH có MN//AH và NA=NK (chứng minh trên)

Suy ra:  MH=MK ( tính chất đường trung bình của tam giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH=DK.

a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm.

b) Tính độ dài AB ở câu a) biết rằng R=5cm; OM=1,4cm.

Phương pháp giải:

Dựng hình: 

+ Dựng đoạn OM, từ M dựng đường vuông góc với OM 

Chứng minh: 

+ Sử dụng: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy để chứng minh. 

Lời giải:

a) * Cách dựng

− Dựng đoạn OM.

− Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) tại A và B.

Nối A và B ta được dây cần dựng.

*  Chứng minh

Xét (O) có OM⊥AB mà OM là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn ⟹MA=MB=AB2.

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có:

OB2=OM2+MB2

Suy ra:

MB2=OB2−OM2=52−1,42=25−1,96=23,04

MB=4,8(cm)

Vậy AB=2.MB=2.4,8=9,6(cm).

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?

Phương pháp giải:

+ Tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O có: OI⊥CD (gt) mà OI là 1 phần đường kính, CD là dây của đường tròn

Suy ra: IC=ID (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó)

Mà: IA=IB (vì I là trung điểm của AB)

Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

(A) R2 ;                      (B) R32 ;

(C) R3 ;                   (D) Một đáp số khác.

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Các tính chất trong tam giác đều:

+ Các góc trong tam giác bằng 60∘.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp (giao của ba đường phân giác, giao ba đường trung tuyến).

Lời giải:

Tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên tia OB là tia phân giác góc ABH, suy ra OBH^=30∘. Kéo dài AO cắt BC tại H thì AH⊥BC (do tam giác ABC đều)

Xét tam giác OBH vuông tại H, có: 

BH=OB.cos30∘=32R

Mà H là trung điểm của BC (do tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

Vậy CB=2.BH=2.32R=3R

Vậy đáp án là (C).

Sử dụng: 

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.

Lời giải:

Vì trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên ta có: 

AB≤4cm, CD≤4cm.

Do AB⊥CD nên

SABCD=12AB.CD≤12.4.4=8 (cm2).

Giá trị lớn nhất của SABCD bằng 8cm2 khi AB và CD đều là đường kính của đường tròn.