Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 5 CTST 

a) Định nghĩa vectơ

Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khối lượng, khoảng cách, nhiệt độ, …

Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả đô lớn và hướng. Ví du: đo dịch chuyền, lực, vận tốc, gia tộc,

Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cần mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khối lượng 500 tân.

Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ địch chuyển đài 500 km theo hướng từ A đến B.

* Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là , đọc là vectơ (Hình sau)

* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ

* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ đài của vectơ V và được kí hiệu là Như vậy ta có: .

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là …

b) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

c) Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

+) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

Kí hiệu: là vecto đối của vecto

Chú ý: Với mỗi điểm O và vecto cho trước, có duy nhất điểm A sao cho

d) Vectơ không

Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu chung là

* Chú ý:

– Vecto không có độ dài bằng 0.

– Vecto    cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

– Mọi vecto-không đều bằng nhau:

– Vecto đối của vecto-không là chính nó.

a) Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ và . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho . Khi đó được gọi là tổng của hai vecto được kí hiệu là

Vậy

Quy tắc ba điểm:

Với 3 điểm M, N, P ta có:

Quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có

Chú ý:

+ Khi cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

b) Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vecto có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán:

+ Tính chất kết hợp:

+ Với mọi vecto ta luôn có:

Chú ý:  (Tổng hai vecto đối luôn bằng vecto-không)

c) Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vecto

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B ta có:

d) Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

+) M là trung điểm AB

+) G là trọng tâm của

a) Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực k với một vecto là một vecto, kí kiệu là

+) Vecto có độ dài bằng và c ùng hướng với vecto nếu (k > 0), ngược hướng với vecto nếu (k < 0)

+) Quy ước: và

+) Tính chất: Với hai vecto và hai số thực (k, t) ta luôn có:

b) Điều kiện để hai vecto cùng phương

 Hai vecto và khác )) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k sao cho

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng

Chú ý: Cho hai vecto và không cùng phương. Với mỗi vecto luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vecto và khác . Góc giữa hai vecto và , kí hiệu

*Cách xác định góc

Chọn điểm A bất kì, vẽ và . Khi đó

* Các trường hợp đặc biệt:

+) tùy ý, với

+) hoặc . Đặc biệt:

+) cùng hướng

+) ngược hướng

Chú ý:

– Từ định nghĩa ta có

– Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng 00

– Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác ) luôn bằng 1800,

– Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là vectơ thì ta quy ước

số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 00 đến 1800)

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vecto

Chú ý:

+)

+)