Lý thuyết Toán lớp 10 bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vecto overrightarrow uvà overrightarrow v khác overrightarrow 0. Góc giữa hai vecto overrightarrow u và overrightarrow v, kí hiệuleft( {;overrightarrow u ,overrightarrow v } right)

*Cách xác định góc

Chọn điểm A bất kì, vẽ overrightarrow {AB} = overrightarrow u, overrightarrow {AC} = overrightarrow v. Khi đó left( {;overrightarrow u ,overrightarrow v } right)

Lý thuyết Toán 10 bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ CTST

* Các trường hợp đặc biệt:

+) left( {;overrightarrow u ,overrightarrow 0 } right) = alpha tùy ý, với{0^ circ } le alpha  le {180^ circ }

+) left( {;overrightarrow u ,overrightarrow v } right) hoặc overrightarrow v. Đặc biệt:overrightarrow 0

+) left( {;overrightarrow u ,overrightarrow v } right)cùng hướng

+) left( {;overrightarrow u ,overrightarrow v } right) ngược hướng

Chú ý:

– Từ định nghĩa ta có left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = left( {overrightarrow b ,overrightarrow a } right)

– Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác {overrightarrow 0 } luôn bằng 0o

– Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác {overrightarrow 0 } luôn bằng 180o,

– Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ {overrightarrow a } hoặc {overrightarrow b } là vectơ {overrightarrow 0 } thì ta quy ước

số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỷ ý (từ 0o đến 180o)

Lý thuyết Toán 10 bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ CTST

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các góc

begin{array}{l} a)left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {AB} } right)\ b)left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {AI} } right)\ c)left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {DB} } right)\ d)left( {overrightarrow {IA} ,overrightarrow {IC} } right) end{array}

Giải

a) Ta có: overrightarrow {DI}  = overrightarrow {IB} ,overrightarrow {DC}  = overrightarrow {AB}, suy ra left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {AB} } right) = left( {overrightarrow {DI} ,overrightarrow {DC} } right) = widehat {IDC} = {45^o}

b) Ta có: overrightarrow {IC}  = overrightarrow {AI}, suy ra left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {AI} } right) = left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {IC} } right) = widehat {BIC} = {90^o}

c) Do hai vecto overrightarrow {IB} ,overrightarrow {DB} cùng hướng nên ta có left( {overrightarrow {IB} ,overrightarrow {DB} } right) = {0^o}

d) Do hai vecto {overrightarrow {IA} ,overrightarrow {IC} } ngược hướng nên ta có left( {overrightarrow {IA} ,overrightarrow {IC} } right) = {180^o}

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vecto overrightarrow u

Chú ý:

+) overrightarrow u

+) overrightarrow u

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cỏ cạnh bằng 4 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

begin{array}{l} a){rm{ }}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ;\ b){rm{ }}overrightarrow {AB} .overrightarrow {BC} ;\ c){rm{ }}overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC}  end{array}

Giải

begin{array}{l} a){rm{ }}overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cosleft( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right) = 4.4.cos{60^0} = 16.frac{1}{2} = 8\ b){rm{ }}overrightarrow {AB} .overrightarrow {BC}  = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cosleft( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {BC} } right) = 4.4.cos{120^0} = 16.left( { - frac{1}{2}} right) =  - 8\ c){rm{ }}overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC}  = left| {overrightarrow {AH} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cosleft( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = left| {overrightarrow {AH} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cos{90^0} = 0 end{array}

3. Tính chất của tích vô hướng

Cho 3 vecto overrightarrow u bất kì và mọi số thực k, ta có:

begin{array}{l}overrightarrow u .;overrightarrow v ;; = overrightarrow v .;overrightarrow u ;\overrightarrow u .;left( {overrightarrow v + overrightarrow w ;} right); = overrightarrow u .;overrightarrow v ; + overrightarrow u .;overrightarrow w ;\left( {koverrightarrow u } right).overrightarrow v = k.left( {overrightarrow u .;overrightarrow v ;} right) = overrightarrow u .;left( {koverrightarrow v ;} right)end{array}

Nhận xét

begin{array}{l}overrightarrow u .;left( {overrightarrow v  - overrightarrow w ;} right); = overrightarrow u .;overrightarrow v ; - overrightarrow u .;overrightarrow w \{left( {overrightarrow u  + overrightarrow v } right)^2};; = {overrightarrow u ^2} + 2overrightarrow u .;overrightarrow v ; + ;{overrightarrow v ^2};;;{left( {overrightarrow u  - overrightarrow v } right)^2};; = {overrightarrow u ^2} - 2overrightarrow u .;overrightarrow v ; + ;{overrightarrow v ^2}\left( {overrightarrow u  + overrightarrow v } right)left( {overrightarrow u  - overrightarrow v } right) = {overrightarrow u ^2} - {overrightarrow v ^2}end{array}

Ví dụ: Cho tam giác ABC. TÍnh cạnh AB theo hai cạnh còn lại và góc C

Giải

Ta có:

A{B^2} = {overrightarrow {AB} ^2} = {left( {overrightarrow {CB}  - overrightarrow {CA} } right)^2} = {overrightarrow {CB} ^2} + {overrightarrow {CA} ^2} - 2overrightarrow {CB} .overrightarrow {CA}  = {overrightarrow {CB} ^2} + {overrightarrow {CA} ^2} - 2CB.CA.cos C

hay {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2.b.c.cos C

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng sqrt 2

Tính các tích vô hướng: overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC}

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 10 bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ CTST

+) Ta có: AB bot AC Rightarrow overrightarrow {AB}  bot overrightarrow {AC}  Rightarrow overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = 0

+) overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC}  = left| {overrightarrow {AC} } right|.left| {overline {BC} } right|.cos left( {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BC} } right)

Ta có: BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = sqrt 2  Leftrightarrow sqrt {2A{C^2}}  = sqrt 2 Rightarrow AC = 1

\Rightarrow overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC}  = 1.sqrt 2 .cos left( {45^circ } right) = 1

+) overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC}  = left| {overrightarrow {BA} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cos left( {overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} } right) = 1.sqrt 2 .cos left( {45^circ } right) = 1

Câu 2: Hai vectơ overrightarrow a ,overrightarrow bcó độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là 12sqrt 2.Tính góc giữa hai vectơ overrightarrow a,overrightarrow b

Hướng dẫn giải

Ta có: overrightarrow a .overrightarrow b  = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)

\Leftrightarrow 12sqrt 2  = 3.8.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) Leftrightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{sqrt 2 }}{2}

Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = 45^circ

Vậy góc giữa hai vectơ overrightarrow a và overrightarrow b là 45^circ

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 4

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.