TaiLieuViet xin trân trọng giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm sô đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ đề xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính điện tích tam giác.

Ví dụ: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB =85, AC =95 và widehat A = {40^0}

b) AB = 15, AC=25 và BC=30.

Giải

Đặt a = BC, b =AC, c = AB

a) Ta cần tính cạnh a và hai góc widehat B,widehat C

Áp dụng định lí côsin, ta có

aề=B3+ c°— 2becos.4=953 + 853— 2.95.85, cos40° 3878,38

Suy ra a= J3878,38 z 62,3

Áp dung hệ quả định lí côsin, ta có:

{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2.b.c.cos A = {95^2} + {85^2} - 2.95.85.cos{40^0} approx 3878,38

Suy ra a approx sqrt {3878,38}  approx 62,3

Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} approx frac{{62,{3^2} + {{85}^2} - {{95}^2}}}{{2.62,3.85}} approx 0,197

Suy ra: widehat B approx {78^0}38',widehat C approx {180^0} - {40^0} - {78^0}38' = {61^0}22'

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rât nhiêu bài toán trong thực tê, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 1: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều đài của đường hàm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình sau. Tính chiều đài của đường hầm tử các số liệu đã khảo sát được.

Lý thuyết Toán 10 bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST

Giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.cos C = 388{}^2 + {212^2} - 2.388.212.cos82,{4^0} approx 173730

Suy ra: AB approx sqrt {173730}  = 417left( m right)

Vậy đường hầm dài khoảng 417 m.

Ví dụ 2: 

Để xác định chiêu cao của một toà nhà cao tầng, một người đứng tại điểm AM, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng widehat {RQA} = {84^0}, người đó lùi ra xa một khoảng cách LM = 49,4m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng widehat {RPA} = {78^0}. Tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là PL = QM = 1,2m

Lý thuyết Toán 10 bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST

Giải

Ta có: widehat {PAQ} = widehat {AQR} - widehat {APR} = {84^0} - {78^0} = {6^0}

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

frac{{AQ}}{{sin P}} = frac{{PQ}}{{sin A}} Rightarrow frac{{AQ}}{{sin {{78}^0}}} = frac{{PQ}}{{sin {6^0}}} Rightarrow AQ = frac{{PQ.sin {{78}^0}}}{{sin {6^0}}}

Trong tam giác vuông AQR, ta có:

AR = AQ.sin {84^0} = frac{{PQ.sin {{78}^0}.sin {{84}^0}}}{{sin {6^0}}} = frac{{49,4.sin {{78}^0}.sin {{84}^0}}}{{sin {6^0}}} approx 460left( m right)

Vậy chiều cao của tòa nhà là AO = AR + RO approx 460 + 1,2 = 461,2left( m right).

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 17,widehat B = {44^o}30';widehat C = {64^o}.

b) a = 10;b = 6;c = 8

Hướng dẫn giải

a) Ta cần tính góc widehat A và hai cạnh b, c.

Ta có: widehat A

Áp dụng định lí sin, ta có:

begin{array}{l}frac{a}{{sin A}} = frac{b}{{sin B}} = frac{c}{{sin C}} Rightarrow frac{{17,4}}{{sin {{71}^o}30'}} = frac{b}{{sin {{44}^o}30'}} = frac{c}{{sin {{64}^o}}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}b = sin {44^o}30'.frac{{17,4}}{{sin {{71}^o}30'}} approx 12,86\c = sin {64^o}.frac{{17,4}}{{sin {{71}^o}30'}} approx 16,5end{array} right.end{array}

b) Ta cần tính số đo ba góc widehat A

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

begin{array}{l}cos A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};cos B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\ Rightarrow cos A = frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;cos B = frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = frac{4}{5}\ Rightarrow widehat A = {90^o},widehat B = {36^o}52'11,63''\ Rightarrow widehat C = {53^o}7'48,37''end{array}

Câu 2: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc {25^o} về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình sau). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilomet? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Lý thuyết Toán 10 bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST

Hướng dẫn giải

Ta có: widehat {BOA} = {90^o} - {25^o} = {75^o}.

Sau 90 phút = 1,5 giờ:

Máy bay thứ nhất đi được quãng đường (OA) là: 450.1,5 = 675 (km)

Máy bay thứ hai đi được quãng đường (OB) là: 630.1,5 = 945 (km)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:

begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OBcos O\ Leftrightarrow A{B^2} = {675^2} + {945^2} - 2.675.945cos {75^o}\ Rightarrow AB approx 1009,2end{array}

Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 1009,2 km.

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.