Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được TaiLieuViet sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1. Phương trình đường thẳng

*Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng Delta đi qua điểm Aleft( {{x_0};{y_0}} right) và có vectơ chỉ phương overrightarrow u left( {a;b} right). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng Delta khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho overrightarrow {AM} = toverrightarrow u, hay

left{ begin{array}{l} x = {x_0} + at\ y = {y_0} + bt end{array} right.;;;;;;;;(2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Delta (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng Delta đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương overrightarrow u left( {4; - 1} right).

Giải

Phương trình tham số của đường thẳng Delta là left{ begin{array}{l} x = 2 + 4t\ y = - 3 - t end{array} right.

*Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận overrightarrow n left( {a;b} right) là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng Delta đi qua điểm A(2: 1) và nhận overrightarrow n left( {3;4} right) là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng Delta có phương trình là 3(x – 2)+ 4(y – 1) = 0 hay 3x + 4y – 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng Delta : ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình Delta có thể đưa về dạng x = m (với m = - frac{c}{a}) và Delta vuông góc với Ox.

+ Nếu b ne 0 thì phương trình Delta có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = - frac{a}{b},p = - frac{c}{b})

* Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

+ Nếu a=0 và b ne 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành y

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm y = - frac{c}{b} (Hình sau).

Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

+ Nếu b =0 và a ne 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành x = - frac{c}{a}

Khí đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm left( { - frac{c}{a};0} right) (Hình sau)

Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho {Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 và {Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.

Toạ độ giao điểm của {Delta _1} và {Delta _2} là nghiệm của hệ phương trình:

left{ begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 end{array} right.(*)

Chú ý

Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Dựa vào các vectơ chỉ phương overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} hoặc các vectơ pháp tuyến overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} của overrightarrow {{Delta _1}} ,overrightarrow {{Delta _2}} ta có:

+ {{Delta _1}} Và {{Delta _2}} song song hoặc trùng nhau ⇔ overrightarrow {{u_1}} và overrightarrow {{u_2}} cùng phương ⇔ overrightarrow {{n_1}} và overrightarrow {{n_2}} cùng phương.

+ {{Delta _1}} Và {{Delta _2}} cắt nhau ⇔ overrightarrow {{u_1}} và overrightarrow {{u_2}} không cùng phương ⇔ overrightarrow {{n_1}} và overrightarrow {{n_2}} không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng Delta và mỗi đường thẳng sau:

begin{array}{l} {Delta _1}:sqrt 3 x - sqrt 6 y + 12 = 0;\ {Delta _2}:sqrt 2 x - 2y = 0. end{array}

Giải

Vì begin{array}{l} x - sqrt 2 y + 4sqrt 3 = 0 Leftrightarrow sqrt 3 left( {x - sqrt 2 y + 4sqrt 3 } right) = 0\ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Leftrightarrow sqrt 3 x - sqrt 6 y + 12 = 0. end{array}

Vậy {{Delta}} và {{Delta _1}} là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng {{Delta}} và {{Delta _2}} có hai vectơ pháp tuyến overrightarrow n left( {1; - sqrt 2 } right) và overrightarrow {{n_2}} left( {sqrt 2 ; - 2} right) cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng {{Delta _2}} nhưng không thuộc đường thẳng {{Delta}} nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy {{Delta}} và {{Delta _2}} song song với nhau.

3. Góc giữa hai đường thẳng

– Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

– Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

– Cho hai đường thẳng

{Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 và {Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.

Với các vectơ pháp tuyến overrightarrow {{n_1}} left( {{a_1};{b_1}} right) và overrightarrow {{n_2}} left( {{a_2};{b_2}} right) trong ứng. Khi đó, góc varphi giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức

cosvarphi = left| {cosleft( {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} right|}}{{sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}

Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng

{Delta _1}

Giải

Vectơ pháp tuyến của {{Delta _1}} là overrightarrow {{n_1}} = left( {sqrt 3 ; - 1} right), của {{Delta _2}} là overrightarrow {{n_2}} = left( {1; - sqrt 3 } right).

Gọi varphi là góc giữa hai đường thẳng {{Delta _1}} và {{Delta _2}}. Ta có

cosvarphi = left| {cosleft( {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {sqrt 3 .1 + left( { - 1} right).left( { - sqrt 3 } right)} right|}}{{sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {{left( { - 1} right)}^2}} .sqrt {{1^2} + {{left( { - sqrt 3 } right)}^2}} }} = frac{{sqrt 3 }}{2}.

Do đó, góc giữa {{Delta _1}} và {{Delta _2}} là varphi.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm Mleft( {{x_0};{y_0}} right) và đường thẳng Delta. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Delta , kí hiệu là dleft( {M,Delta } right), được tính bởi công thức

dleft( {M,Delta } right)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng Delta :3x + 4y – 12 = 0.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Delta, ta có

dleft( {M,Delta } right)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Delta là 2.

5. Trắc nghiệm Toán 10 bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.