Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 1: Dấu của tam thức bậc hai được TaiLieuViet sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1. Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai fleft( x right) = a{x^2} + bx + c với a, b, c là hệ số, a ne 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Cho tam thức bậc hai fleft( x right) = a{x^2} + bx + c. Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được fleft( {{x_0}} right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c, gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.

+ Nếu fleft( {{x_0}} right) > 0 thì ta nói f(x) đương tại x0;

+ Nếu fleft( {{x_0}} right) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x0;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai fleft( x right) = a{x^2} + bx + c. Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức Delta  = {b^2} - 4{rm{a}}c và Delta ' = {left( {frac{b}{2}} right)^2} - ac lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x=2

begin{array}{l} a)f(x) =  - {x^2} + x + 3\ b)g(x) =  - 3x + frac{{13}}{2} end{array}

Giải

a) Biểu thức f(x) =  – x2 + x + 3 là một tam thức bậc hai.

f(2) =  – 22 + 2 + 3 = 1 > 0 nên f(x) đương tại x= 2.

b) Biểu thức g(x) =  - 3x + frac{{13}}{2} không phải là một tam thức bậc hai

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)

+ Nếu Δ < 0 thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x

+ Nếu Δ = 0 và {x_0} = - frac{b}{{2{rm{a}}}} là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0 .

+ Nến Δ > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của f(x)left( {{x_1} < {x_2}} right) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong.

khoảng (x1; x2); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng left( { - infty ;{x_1}} right),left( {{x_2}; + infty } right)

Chú ý

a) Để xét dâu tam thức bậc hai f(x) = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định đâu của biệt thức Δ;

Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a,

Bước 4: Xác định dấu của ƒ(x)

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn Δ’ thay cho biệt thức Δ.

Ví dụ

Xét dấu của tam thức bậc hai sau: f(x) =  - {x^2} + 3{rm{x}} + 10

Giải

f(x) =  - {x^2} + 3{rm{x}} + 10 = 49 > 0, hai nghiệm phân biệt là x1 = -2, x2 = 5 và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Lý thuyết Toán 10 bài 1: Dấu của tam thức bậc hai CTST

Vậy f(x) dương trong khoảng (-2; 5) và âm trong hai khoảng left( { - infty ; - 2} right) và left( {5; + infty } right)

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1

a) fleft( x right) = 2{x^2} + x - 1;

b) gleft( x right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1

c) hleft( x right) =  - {x^2} + sqrt 2 .x - 3

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức fleft( x right) = 2{x^2} + x - 1 là một tam thức bậc hai

fleft( 1 right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0 nên fleft( x right)) dương tại x = 1

b) Biểu thức gx=  – x4 + 2x2 + 1 không phải là một tam thức bậc hai

c) Biểu thức h(x)=  – x2 + sqrt 2 .x - 3 là một tam thức bậc hai

hleft( 1 right) =  - {1^2} + sqrt 2 .1 - 3 = sqrt 2  - 4 < 0 nên hleft( x right)âm tại x = 1

Câu 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) fleft( x right)

b) gleft( x right) =  - {x^2} + 2x - 3

Hướng dẫn giải

a) fleft( x right) có Delta  = 25 > 0, hai nghiệm phân biệt là {x_1} =  - frac{1}{2};{x_2} = 2

và a = 2 > 0

Ta có bảng xét dấu như sau:

Lý thuyết Toán 10 bài 1: Dấu của tam thức bậc hai CTST

Vậy f(x) âm trong khoảng left( { - frac{1}{2},2} right) và dương trong hai khoảng

left( { - infty , - frac{1}{2}} right) và left( {2, + infty } right)

b) gleft( x right) =  - {x^2} + 2x - 3có Delta  = {2^2} - 4.left( { - 1} right).left( { - 3} right) =  - 8 < 0, a =  - 1 < 0

Vậy g(x) âm với mọi x ∈R

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 1

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 1: Dấu của tam thức bậc hai CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.