Giải Toán 9 Ôn tập Chương 4 hướng dẫn các bạn học sinh trả lời các câu hỏi trong sách giáo khoa Toán lớp 9 trang 63, 64. Thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể so sánh, đối chiếu với kết quả bài làm của mình, từ đó nâng cao kỹ năng giải Toán 9. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.
Mục Lục
ToggleBài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Vẽ đồ thị của hàm số và
trên cùng một hệ trục tọa độ
a) Qua điểm (B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.
b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
– Ước lượng trên hình vẽ:
– Tính toán theo công thức.
Vẽ đồ thị hàm số:
* Hàm số và
– Tập xác định D = R
– Bảng giá trị
x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
![]() |
4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
![]() |
-4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
– Vẽ đồ thị:
– Đồ thị hàm số và
là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số
nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số
nằm dưới trục hoành.
a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y = 4.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 và đồ thị hàm số là:
Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4, của M’ là x = – 4.
b) Trên đồ thị hàm số ta xác định được điểm N và N’ có cùng hoành độ với M, M’. Ta được đường thẳng NN’//Ox
Tìm tung độ của N, N’
– Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = – 4; của N’ là y = -4
– Tính toán theo công thức:
Điểm N(4;y). Thay x = 4 vào nên
Điểm N’(-4;y). Thay x = – 4 vào nên
Vậy tung độ của N, N’ cùng bằng -4.
Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Cho phương trình: x2 – x – 2 = 0.
a) Giải phương trình.
b) Vẽ hai đồ thị y = x2 và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
a) x2 – x – 2 = 0
Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}
b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).
+ Parabol y = x2 đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).
c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
x2 = x + 2 ↔ x2 – x- 2 = 0
Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Giải các phương trình:
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0;
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0;
c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0 (1)
Đặt x2 = t, t ≥ 0.
(1) trở thành: 3t2 – 12t + 9 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 3; b = -12; c = 9
⇒ a + b + c = 0
⇒ (2) có hai nghiệm t1 = 1 và t2 = 3.
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
+ t = 3 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = ±√3.
+ t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1.
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0 (1)
Đặt
Ta có phương trình :
Với
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
c) x4 + 5x2 + 1 = 0 (1)
Đặt x2 = t, t > 0.
(1) trở thành: t2 + 5t + 1 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 1; b = 5; c = 1
⇒ Δ = 52 – 4.1.1 = 21 > 0
Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Giải các phương trình:
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 27 a) 5{{rm{x}}^2} - 3{rm{x}} + 1 = 2{rm{x}} + 11](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 28 b) displaystyle {{{x^2}} over 5} - {{2{rm{x}}} over 3} = {{x + 5} over 6}](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 29 c) displaystyle {x over {x - 2}} = {{10 - 2{rm{x}}} over {{x^2} - 2{rm{x}}}}](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 30 d) displaystyle {{x + 0,5} over {3{rm{x}} + 1}} = {{7{rm{x}} + 2} over {9{{rm{x}}^2} - 1}}](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 31 e) 2sqrt 3 {x^2} + x + 1 = sqrt 3 left( {x + 1} right)](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
![Giải Toán 9: Ôn tập Chương 4 32 f) {x^2} + 2sqrt 2 x + 4 = 3left( {x + sqrt 2 } right)](https://i.vdoc.vn/data/image/holder.png)
⇒ Phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 và x2 = -c/a = 2.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Điều kiện:
Ta có
⇔ x2 = 10 – 2x
⇔ x2 + 2x – 10 = 0
Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 12 – 1.(-10) = 11 > 0
Phương trình trên có nên có hai nghiệm
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
ĐKXĐ
⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2
⇔ 3x2 + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2
⇔ 3x2 – 6,5x – 2,5 = 0.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Giải các phương trình:
a) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0;
b) 5x3 – x2 – 5x + 1 = 0.
a) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0;
Giải (*):
Ta có: a + b + c = 1,2 + (-1) + (-0,2) = 0
Vậy (*) có 2 nghiệm:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
⇔ x2(5x – 1) – (5x – 1) = 0
⇔ (x2 – 1)(5x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2
Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
Đặt , ta thu được phương trình
Phương trình trên có a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
ĐK:
Đặt , ta thu được phương trình {t^2} – 4t + 3 = 0
Phương trình trên có nên có hai nghiệm t = 1;t = 3.
+ Với
Xét nên phương trình vô nghiệm.
+ Với
(*)
Phương trình (*) có nên có hai nghiệm
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
d) x2 – 2mx + m – 1 = 0
Ta có:
Ta có:
Ta có:
d) x2 – 2mx + m – 1 = 0 (1)
Vì x1 = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:
22 – 2m.2 + m – 1 = 0
⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0
⇔ 3- 3m = 0
⇔ m = 1
Khi m = 1 ta có: x1.x2 = m – 1 (hệ thức Vi-ét)
⇔ 2.x2 = 0 (vì x1 = 2 và m = 1)
⇔ x2 = 0
Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 12, uv = 28 và u > v
b) u + v = 3, uv = 6
a) S = 12, P = 28 ⇒ S2 – 4P = 32 > 0
⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 12x + 28 = 0.
Có a = 1; b = -12; c = 28 ⇒ Δ’ = (-6)2 – 28 = 8 > 0
Phương trình có hai nghiệm x1 = 6 + 2√2; x2 = 6 – 2√2
Vì u > v nên u = 6 + 2√2 và v = 6 – 2√2
b) S = 3; P = 6 ⇒ S2 – 4P = -15 < 0
Vậy không tồn tại u, v thỏa mãn yêu cầu.
Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1), c = – m2
Suy ra: Δ’ = (m – 1)2 + 7m2
Do (m-1)2 ≥ 0 mọi m và m2 ≥ 0 mọi m
=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.
Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1; x2.
Theo hệ thức Viet ta có:
Ta có:
Vậy
Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).
Dân số thành phố sau 1 năm là:
2 + 2.x = 2.(1 + x) (triệu người)
Dân số thành phố sau 2 năm là:
2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)2 (triệu người).
Theo bài ra ta có phương trình:
2.(1 + x)2 = 2,020050
⇔ (1 + x)2 = 1,010025
⇔ x + 1 = 1,005
⇔ x = 0,005 = 0,5%.
Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.
Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Gọi số mà đề bài đã cho là x, x nguyên dương, x > 2.
Bạn Quân đã chọn số x – 2 để nhân với x.
Theo đề bài, ta có: x(x – 2) = 120 hay
Phương trình trên có
Suy ra (thỏa mãn) hoặc
(loại)
Nên số đầu bài cho là 12
Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của x với x +2
Vậy kết quả đúng phải là 168.
Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường.Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.
Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)
⇒ vận tốc xe lửa thứ hai là: x + 5 (km/h)
Do hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường, với quãng đường từ Hà Nội đến Bình Sơn dài 900 km nên quãng đường mỗi xe đi được kể từ khi bắt đầu đến khi hai xe gặp nhau là 900: 2= 450 ( km)
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất. Điều kiện x > 0.
Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).
Đến khi gặp nhau tại chính giữa quang đường thì mỗi xe đều đi được 900:2=450 km.
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: (giờ)
Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: (giờ)
Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Ta có phương trình:
Từ đó ta có: (nhận);
(loại)
Vậy:
Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.
Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.
Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 Tập 2
Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Gọi x (cm) là độ dài của đoạn AK. Điều kiện 0 < x < 12
Vì ∆ABC đồng dạng ∆AMN nên
Ta có: MQ = KH = 12 – x
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
SMNPQ = MN. NP = MN.KH = MN.( AH – AK)
=> SMNPQ = 16k.( 12- 12k)
Theo đề bài diện tích hình chữ nhật đó là 36cm2 nên
16k.( 12- 12k ) = 36
⇔ 16k.12( 1- k) = 36
⇔ 16k(1 – k) = 3 ( chia cả hai vế cho 12)
⇔ 16k – 16k2 = 3
⇔ 16k2– 16k + 3= 0
Ta có: ∆’= (-8)2 – 16.3 = 16> 0
Phương trình trên có 2 nghiệm là:
Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36cm2 thì vị trí điểm M phải thỏa mãn:
…………………………………………..
Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải SGK Toán lớp 9 Ôn tập Chương 4. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên TaiLieuViet nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt.
Bài tiếp theo: Giải Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung
Related posts
Tài liệu nổi bật
Categories
- Âm Nhạc – Mỹ Thuật Lớp 9 (17)
- Âm nhạc lớp 6 – KNTT (31)
- Âm Nhạc Lớp 7- CTST (23)
- Bài tập Toán 9 (8)
- Chưa phân loại (32)
- Chuyên đề Hóa học 12 (196)
- Chuyên đề Sinh học lớp 12 (61)
- Chuyên đề Toán 9 (50)
- Công Nghệ Lớp 10- CD (58)
- Công Nghệ Lớp 10- KNTT (52)
- Công nghệ Lớp 11 – KNTT (22)
- Công Nghệ Lớp 6 – CTST (15)
- Công Nghệ Lớp 6 – KNTT (16)
- Công Nghệ Lớp 7- CTST (18)
- Công Nghệ Lớp 7- KNTT (19)
- Công nghệ Lớp 8 – CD (21)
- Công nghệ Lớp 8 – CTST (18)
- Công nghệ Lớp 8 – KNTT (7)
- Công Nghệ Lớp 9 (114)
- Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Văn (35)
- Địa Lí Lớp 10- CD (99)
- Địa Lí Lớp 10- KNTT (77)
- Địa lí Lớp 11 – CD (31)
- Địa lí Lớp 11 – CTST (23)
- Địa lí Lớp 11 – KNTT (19)
- Địa Lí Lớp 12 (134)
- Địa lí Lớp 6 – CTST (36)
- Địa lí Lớp 6 – KNTT (30)
- Địa Lí Lớp 7- CTST (22)
- Địa Lí Lớp 7- KNTT (19)
- Địa Lí Lớp 9 (290)
- GDCD 12 (28)
- GDCD Lớp 6 – CTST (8)
- GDCD Lớp 6 – KNTT (12)
- GDCD Lớp 9 (94)
- Giải bài tập Địa Lí 12 (12)
- Giải bài tập SGK Toán 12 (8)
- Giải bài tập Sinh học 12 (45)
- Giải SBT Hóa học 12 (71)
- Giải vở BT Văn 9 (122)
- Giáo Dục Công Dân Lớp 7- CTST (12)
- Giáo Dục Công Dân Lớp 7- KNTT (10)
- Giáo dục công dân Lớp 8 – CD (10)
- Giáo dục công dân Lớp 8 – CTST (10)
- Giáo dục công dân Lớp 8 – KNTT (10)
- Giáo Dục Quốc Phòng Lớp 10- CD (12)
- Giáo Dục Quốc Phòng Lớp 10- KNTT (12)
- Hóa Học Lớp 10- CD (30)
- Hóa Học Lớp 10- KNTT (61)
- Hoá Học Lớp 11 – CD (19)
- Hoá học Lớp 11 – CTST (19)
- Hoá học Lớp 11 – KNTT (25)
- Hóa Học Lớp 12 (130)
- Hóa Học Lớp 9 (717)
- Hoạt Động Trải Nghiệm Lớp 10- KNTT (52)
- Hoạt Động Trải Nghiệm Lớp 7- CTST (40)
- Hoạt Động Trải Nghiệm Lớp 7- KNTT (16)
- Hoạt động trải nghiệm Lớp 8 – CD (19)
- Hoạt động trải nghiệm Lớp 8 – CTST (9)
- Hoạt động trải nghiệm Lớp 8 – KNTT (18)
- Khoa học tự nhiên Lớp 6 – CTST (46)
- Khoa học tự nhiên Lớp 6 – KNTT (57)
- Khoa Học Tự Nhiên Lớp 7- CTST (51)
- Khoa học tự nhiên Lớp 8 – CD (51)
- Khoa học tự nhiên Lớp 8 – CTST (33)
- Khoa học tự nhiên Lớp 8 – KNTT (37)
- Kinh Tế & Pháp Luật Lớp 10 – CD (21)
- Kinh tế & Pháp luật Lớp 11 – CD (21)
- Kinh tế & Pháp luật Lớp 11 – CTST (11)
- Kinh tế & Pháp luật Lớp 11 – KNTT (11)
- Lịch Sử Lớp 10- CD (34)
- Lịch Sử Lớp 10- CTST (20)
- Lịch Sử Lớp 10- KNTT (42)
- Lịch sử Lớp 11 – CTST (13)
- Lịch sử Lớp 11 – KNTT (13)
- Lịch sử Lớp 6 – CTST (21)
- Lịch sử Lớp 6 – KNTT (22)
- Lịch Sử Lớp 7- CTST (19)
- Lịch sử lớp 7- KNTT (18)
- Lịch Sử Lớp 9 (148)
- Lịch sử và Địa lí Lớp 8 – CTST (40)
- Lịch sử và Địa lí Lớp 8 – KNTT (33)
- Lý thuyết Địa lý 12 (4)
- Lý thuyết Lịch sử lớp 9 (33)
- Lý thuyết Ngữ Văn (83)
- Lý thuyết Ngữ Văn 12 (18)
- Lý thuyết Sinh học 12 (41)
- Mở bài – Kết bài hay (55)
- Mở bài lớp 12 hay (24)
- Nghị luận xã hội (34)
- Ngữ Văn Lớp 10- CD (113)
- Ngữ Văn Lớp 10- CTST (79)
- Ngữ Văn Lớp 10- KNTT (198)
- Ngữ Văn Lớp 11 – CD (51)
- Ngữ văn Lớp 11 – CTST (89)
- Ngữ Văn Lớp 11 – KNTT (107)
- Ngữ Văn Lớp 12 (379)
- Ngữ Văn Lớp 6 – KNTT (293)
- Ngữ Văn Lớp 7- CTST (103)
- Ngữ Văn Lớp 7- KNTT (66)
- Ngữ văn Lớp 8 – CD (48)
- Ngữ văn Lớp 8 – CTST (123)
- Ngữ văn Lớp 8 – KNTT (196)
- Ngữ Văn Lớp 9 (28)
- Phân tích các tác phẩm lớp 12 (12)
- Sinh Học Lớp 10- CD (49)
- Sinh Học Lớp 10- CTST (61)
- Sinh Học Lớp 10- KNTT (71)
- Sinh Học Lớp 11 – CD (16)
- Sinh học Lớp 11 – CTST (18)
- Sinh học Lớp 11 – KNTT (18)
- Sinh Học Lớp 9 (229)
- Soạn Anh 12 mới (86)
- Soạn văn 9 (50)
- SOẠN VĂN 9 BÀI 1 (50)
- SOẠN VĂN 9 BÀI 2 (50)
- Tác giả – Tác phẩm (41)
- Tác giả – Tác phẩm Ngữ Văn 12 (13)
- Thi THPT QG môn Địa lý (12)
- Thi THPT QG môn Sinh (8)
- Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global (57)
- Tiếng Anh Lớp 10 Global Success (604)
- Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World (98)
- Tiếng anh Lớp 11 Friends Global (171)
- Tiếng anh Lớp 11 Global Success (368)
- Tiếng anh Lớp 11 iLearn Smart World (104)
- Tiếng Anh Lớp 12 cũ (168)
- Tiếng Anh Lớp 6 Friends Plus (114)
- Tiếng Anh Lớp 6 Global Success (174)
- Tiếng Anh Lớp 7 Friends Plus (160)
- Tiếng Anh Lớp 8 Friends plus (71)
- Tiếng anh Lớp 8 Global Success (79)
- Tiếng anh Lớp 8 iLearn Smart World (40)
- Tiếng Anh Lớp 9 Mới (211)
- Tin Học Lớp 10- CD (24)
- Tin Học Lớp 10- KNTT (33)
- Tin học Lớp 11 – KNTT (21)
- Tin Học Lớp 6 – CTST (41)
- Tin Học Lớp 6- KNTT (17)
- Tin Học Lớp 7- CTST (14)
- Tin Học Lớp 7- KNTT (16)
- Tin học Lớp 8 – CD (36)
- Tin học Lớp 8 – CTST (10)
- Tin học Lớp 8 – KNTT (5)
- Tin Học Lớp 9 (21)
- Toán 10 sách Chân trời sáng tạo (42)
- Toán Lớp 1 – KNTT (1)
- Toán Lớp 10- CD (44)
- Toán Lớp 10- CTST (39)
- Toán Lớp 10- KNTT (161)
- Toán Lớp 11 – CD (19)
- Toán Lớp 11 – CTST (44)
- Toán Lớp 11 – KNTT (46)
- Toán Lớp 12 (123)
- Toán Lớp 6 – CTST (62)
- Toán Lớp 6 – KNTT (102)
- Toán Lớp 7- CTST (52)
- Toán Lớp 7- KNTT (74)
- Toán Lớp 8 – CD (23)
- Toán Lớp 8 – CTST (21)
- Toán Lớp 8 – KNTT (34)
- Toán Lớp 9 (194)
- Tóm tắt Ngữ văn (16)
- Trắc nghiệm Ngữ Văn (75)
- Trắc nghiệm Toán 9 (61)
- Trải nghiệm hướng nghiệp Lớp 11 – KNTT (8)
- Văn mẫu 12 phân tích chuyên sâu (12)
- Văn mẫu 9 (273)
- Vật Lí Lớp 10- CD (39)
- Vật Lí Lớp 10- KNTT (61)
- Vật Lí Lớp 11 – CD (18)
- Vật lí Lớp 11 – CTST (20)
- Vật lí Lớp 11 – KNTT (26)
- Vật Lý Lớp 9 (217)