Giải SGK Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn giúp các em trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 9 tập 1 trang 76, 77. Với hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo, so sánh đánh giá kết quả, từ đó học tốt môn Toán lớp 9. Dưới đây là chi tiết bài tập, các em tham khảo nhé.

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1 trang 71 SGK Toán 9 tập 1

Xét tam giác ABC vuông tại A có ∠B = α. Chứng minh rằng

Lời giải

a. alpha = {45^0} Leftrightarrow frac{{AC}}{{AB}} = 1

b. alpha = {60^0} Leftrightarrow frac{{AC}}{{AB}} = sqrt 3

Hướng dẫn giải

a)

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tam giác ABC vuông tại A có ∠B = 450 ⇒ΔABC vuông cân tại A

⇒AB = AC ⇒AB/AC = 1

b)

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

⇒ AD = BD = BC/2

Tam giác ABD có: AD = BD, ∠(ABD) = 600

⇒ ΔABD là tam giác đều

⇒ AB = AD = BC/2 ⇒ BC = AB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

AB2 + AC2 = BC2

⇔ AB2 + AC2 = 4 AB2

⇔ AC2 = 3 AB2 ⇔ AC = √3 AB

⇔ AC/AB = √3

Câu hỏi 2 trang 73 SGK Toán 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β

Lời giải

Các tỉ số lượng giác của góc β là:

Hướng dẫn giải

Câu hỏi 2 trang 73 SGK Toán 9 tập 1

begin{matrix} sin alpha = dfrac{{AB}}{{BC}} hfill \ cos alpha = dfrac{{AC}}{{BC}} hfill \ tan alpha = dfrac{{AB}}{{AC}} hfill \ cos alpha = dfrac{{AC}}{{AB}} hfill \ end{matrix}

Câu hỏi 3 trang 74 SGK Toán 9 tập 1

Lời giải

– Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM = 1

– Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

– Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: MO = 1; MN = 2

Khi đó:

sinβ = sin(MNO) = MO/MN = 1/2 = 0,5

Câu hỏi 4 trang 74 SGK Toán 9 tập 1

Cho hình 19. Hãy cho biết tổng số đo của góc α và góc β. Lập các tỉ số lượng giác của góc α và góc β. Trong cặp tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Lời giải

Câu hỏi 4 trang 74 SGK Toán 9 tập 1

begin{matrix} Rightarrow sin alpha = dfrac{{AC}}{{BC}};cos alpha = dfrac{{AB}}{{BC}};tan alpha = dfrac{{AC}}{{AB}};cos alpha = dfrac{{AB}}{{AC}} hfill \ Rightarrow sin beta = dfrac{{AB}}{{BC}};cos beta = dfrac{{AC}}{{BC}};tan beta = dfrac{{AB}}{{AC}};cos beta = dfrac{{AC}}{{AB}} hfill \ end{matrix}

⇒ sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cot α

cot α = tan β

Giải bài tập trang 76, 77 SGK Toán 9 tập 1

Bài 10 trang 76 SGK Toán 9 Tập 1

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34o.

Hướng dẫn giải

ΔABC vuông tại A có góc C = 34o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc widehat{B}=34^o là:

sin 34^o=sin B=dfrac{AC}{BC}

cos 34^o=cos B=dfrac{AB}{BC}

tan 34^o=tan B=dfrac{AC}{AB}

cot 34^o=tan C=dfrac{AB}{AC}

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Hướng dẫn giải

Xét Delta{ABC} vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

AB^2=CB^2+AC^2

Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2 Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25

Leftrightarrow AB=sqrt{2,25}=1,5m

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Vì Delta{ABC} vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

sin A=cos B=dfrac{BC}{AB}=dfrac{1,2}{1,5}=dfrac{4}{5}

cos A=sin B=dfrac{AC}{AB} =dfrac{0,9}{1,5}=dfrac{3}{5}

tan A=cot B=dfrac{BC}{AC}=dfrac{1,2}{0,9}=dfrac{4}{3}

cot A=tan B=dfrac{AC}{BC}=dfrac{0,9}{1,2}=dfrac{3}{4}

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45o: sin60o, cos75o, sin52o30′, cotg82o, tg80o

Hướng dẫn giải

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60o + 30o = 90o nên sin60o = cos30o

Vì 75o + 15o = 90o nên cos75o = sin15o

Vì 52o30′ + 37o30′ = 90o nên sin 52o30’= cos37o30′

Vì 82o + 8o = 90o nên cotg82o = tg8o

Vì 80o + 10o = 90o nên tg80o = cotg10o

Giải bài tập Toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Dựng góc nhọn α, biết:

a. sin alpha = frac{2}{3} b. cos alpha = 0,6

c. tan alpha = frac{3}{4} d. cot alpha = frac{3}{2}

Hướng dẫn giải

Dựng góc nhọn alpha, biết:

a. sinalpha =dfrac{2}{3}

Ta thực hiện các bước sau:

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

– Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin alpha = sin widehat{OBA} = dfrac{OA}{AB}=dfrac{2}{3}.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

b. cosalpha =0,6

Ta có: cos alpha =0,6 = dfrac{3}{5}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

– Nối A với B. Góc widehat{OAB}=alpha là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

cos alpha =cos widehat{OAB}=dfrac{OA}{AB}=dfrac{3}{5}=0,6.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

c. tan alpha =dfrac{3}{4}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

– Nối A với B. Góc widehat{OAB} là góc cần dựng.

Thật vậy, xét Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

tan alpha =tan widehat{OAB}=dfrac{OB}{OA}=dfrac{3}{4}.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

d. cot alpha =dfrac{3}{2}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

– Nối A với B. Góc widehat{OAB} là góc cần dựng.

Thật vậy, xét widehat{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

cot alpha =cot widehat{OAB}=dfrac{OA}{OB}=dfrac{3}{2}.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn alpha tùy ý, ta có:

a)tan alpha =dfrac{sinalpha }{cos alpha}; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha }; tan alpha . cot alpha =1;

b) sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1

Hướng dẫn giải

Xét Delta{ABC} vuông tại A, có widehat{ACB}=alpha.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

+) Delta{ABC}, vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin alpha = dfrac{AB}{BC}, cos alpha =dfrac{AC}{BC}

tan alpha =dfrac{AB}{AC}, cot alpha =dfrac{AC}{AB}.

* Chứng minh tan alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}.

VP=dfrac{sin alpha}{cos alpha}=dfrac{AB}{BC} : dfrac{AC}{BC}=dfrac{AB}{BC}.dfrac{BC}{AC}

=dfrac{AB.BC}{BC.AC}=dfrac{AB}{AC}= tan alpha =VT

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh cot alpha =dfrac{cos alpha}{sin alpha}.

VP=dfrac{cos alpha}{sin alpha}=dfrac{AC}{BC} : dfrac{AB}{BC}=dfrac{AC}{BC}. dfrac{BC}{AB}

=dfrac{AC.BC}{BC.AB}=dfrac{AC}{AB}=cot alpha=VT

* Chứng minh tan alpha . cot alpha =1.

Ta có: VT=tan alpha . cot alpha

= dfrac{AB}{AC}.dfrac{AC}{AB}=dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP

b) Delta{ABC} vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

BC^2=AC^2+AB^2 (1)

Xét sin ^{2} alpha +cos^{2}alpha

;;;={left(dfrac{AB}{BC} right)^2}+ {left(dfrac{AC}{BC} right)^2}= dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}

;;;=dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} over {B{C^2}}} = 1

Như vậy sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1 (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

tan alpha =dfrac{sin alpha }{cos alpha }; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha } và sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1 là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bài 15 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

sin C>0; cos C>0; tan C>0; cot C>0

Vì hai góc B và C phụ nhau Rightarrow sin C = cos B = 0,8

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

sin^{2}C+cos^{2}C=1 Leftrightarrow cos^{2}C=1-sin^{2}C

Leftrightarrow cos^2 C =1-(0,8)^{2} Leftrightarrow cos^2 C =0,36 Rightarrow cos C = sqrt{0,36}=0,6

Lại có:

tan C=dfrac{sin C}{cos C}=dfrac{0,8}{0,6}=dfrac{4}{3};

tan C .cot C=1 Leftrightarrow cot C= dfrac{1}{tan C}=dfrac{3}{4}

Nhận xét: Nếu biết sin alpha (hay cos alpha) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Bài 16 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác vuông có một góc 60o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.

Hướng dẫn giải

Xét Delta{ABC} vuông tại A có widehat B=60^0, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

sin B = dfrac{AC}{BC} Leftrightarrow sin 60^o = dfrac{AC}{8}

Leftrightarrow AC =8. sin 60^o=8.dfrac{sqrt 3}{2}=4sqrt 3.

Vậy cạnh đối diện với góc 60^o là AC=4sqrt 3.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 17 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x trong hình 23.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hướng dẫn giải

Kí hiệu như hình trên.

Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì ∠B = 45o) nên AH = 20.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x2 = AH2 + HC2 = 202 + 212 = 841

=> x = √841 = 29

…………………………………………..

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn. Hy vọng tài liệu sẽ giúp các em nâng cao kỹ năng giải Toán 9 từ đó học tốt Toán 9 hơn. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các em vào chuyên mục Giải Toán 9 trên TaiLieuViet nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong SGK Toán 9. Chúc các em học tốt, nếu có thắc mắc hay trao đổi kiến thức các em có thể vào link sau nhé: Hỏi – đáp

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo thêm Tài liệu học tập lớp 9, và các đề học kì 1 lớp 9 và đề thi học kì 2 lớp 9 mới nhất được cập nhật.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnBài tiếp theo: Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 3: Bảng lượng giác