Để giúp các em học sinh lớp 12 học tập hiệu quả môn Toán, TaiLieuViet.vn đã tổng hợp bộ tài liệu ôn tập chương 2 Giải tích 12 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các em học sinh rèn luyện giải nhanh các bài tập Toán. Mời các bạn và thầy cô tham khảo tài liệu: Giải bài tập Toán 12 chương 2: Bài ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit.

Giải bài tập Toán 12 chương 2: Bài ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Bài 1 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12.

Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lời giải:

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

begin{array}{l} {a^alpha }.{a^beta } = {a^{alpha + beta }}\ dfrac{{{a^alpha }}}{{{a^beta }}} = {a^{alpha - beta }}\ {left( {{a^alpha }} right)^beta } = {a^{alpha .beta }}\ {left( {a.b} right)^alpha } = {a^alpha }.{b^alpha }\ {left( {dfrac{a}{b}} right)^alpha } = dfrac{{{a^alpha }}}{{{b^alpha }}} end{array}

Nếu a > 1 thì {a^alpha } > {a^beta } khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì {a^alpha } > {a^beta} khi và chỉ khi α < β.

Bài 2 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12.

Nêu các tính chất của hàm số lũy thừa

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0, +∞) SGK Giải tích 12 trang 60.

Nhận xét về đạo hàm, chiều biến thiên, tiệm cận và đồ thị hàm số của hàm lũy thừa trên (0, +∞) trong hai trường hợp: TH1: α > 0. ,,TH2: α < 0.

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y = {x^alpha } trên khoảng (0, +∞)

α > 0

α < 0

Đạo hàm

y' = alpha .{x^{alpha - 1}}

 y' = alpha .{x^{alpha - 1}}

Chiều biến thiên

Hàm số luôn đồng biến

Hàm số luôn nghịch biến

Tiệm cận

Không có

Tiệm cận ngang là Ox

Tiệm cận đứng là Oy

Đồ thị

Đồ thị luôn đi qua điểm (1, 1)

Bài 3 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit

Lời giải:

*) Tính chất của hàm số mũ:

Tập xác định

mathbb R

Đạo hàm

 y' = {a^x}ln a

Chiều biến thiên

a> 1: Hàm số đồng biến trên mathbb R

0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên mathbb R

Tiệm cận

Tiệm cận ngang là Ox

Đồ thị

Đi qua các điểm (0, 1) và (1, a) nằm phía trên trục hoành

left( {y = {a^x} > 0,,forall x in R} right)

*) Tính chất của hàm số logarit:

Tập xác định

left( {0; + infty } right)

Đạo hàm

 y' = frac{1}{{xln a}}

Chiều biến thiên

a> 1: Hàm số luôn đồng biến.

0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận

Tiệm cận đứng là Oy.

Đồ thị

Đi qua các điểm (1, 0) và (a, 1) nằm phía bên phải trục tung.

Bài 4 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) ,displaystyle y = {1 over {{3^x} - 3}}

b) ,displaystyle y = log {{x - 1} over {2x - 3}}

c) ,displaystyle y = log sqrt {{x^2} - x - 12}

d) ,displaystyle y = sqrt {{{25}^x} - {5^x}}

Lời giải:

a) Xét hàm số : y = {1 over {{3^x} - 3}}

eqalign{ & {{x - 1} over {2x - 3}} > 0 Leftrightarrow (x - 1)(2x - 3) > 0 cr & Leftrightarrow x in ( - infty ,1) cup ({3 over 2}, + infty ) cr}

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=( - infty ,1) cup ({3 over 2}, + infty )

c) Xét hàm số y = log sqrt {{x^2} - x - 12}

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: x^2- x – 12 > 0 ⇔ x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=(-∞, -3) ∪ (4, +∞)

d) Xét hàm số: y = sqrt {{{25}^x} - {5^x}}

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

{25^x}-{rm{ }}{5^x} ge {rm{ }}0{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}{5^{2x}} ge {rm{ }}{5^x}⇔ 2x ≥ x⇔ x ≥ 0

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=[0, +∞)

Bài 5 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Biết {4^x} + {rm{ }}{4^{ - x}} = {rm{ }}23. Hãy tính: {2^x} + {rm{ }}{2^{ - x}}

Lời giải chi tiết

Ta có:

begin{array}{l}{left( {{2^x} + {2^{ - x}}} right)^2} = {left( {{2^x}} right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {left( {{2^{ - x}}} right)^2}\= {4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\Rightarrow left| {{2^x} + {2^{ - x}}} right| = 5end{array}

Mà ,,{2^x} + {2^{ - x}} > 0⇒ {{2^x} + {rm{ }}{2^{ - x}} = {rm{ }}5}.

Chú ý: Nhận thấy đề bài cho giả thiết có chứa 4^x ,và ,,4^{-x} nhưng biểu thức cần tính giá trị chỉ có 2^x, và ,,2^{-x} nên ta cần bình phương biểu thức cần tính giá trị lên để làm xuất hiện 4^x ,và ,,4^{-x}. Sau khi tính toán xong giá trị của {left( {{2^x} + {2^{ - x}}} right)^2} ta lấy căn bậc hai và kết luận.

Bài 6 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho {log _a}b = 3,{log _a}c = - 2. Hãy tính log_ax với:

a) ,x = {a^3}{b^2}sqrt c

b) ,x = {{{a^4}root 3 of b } over {{c^3}}}

Lời giải chi tiết

begin{array}{l}a),{log _a}x = {log _a}left( {{a^3}{b^2}sqrt c } right)\= {log _a}{a^3} + {log _a}{b^2} + {log _a}sqrt c \= {log _a}{a^3} + {log _a}{b^2} + {log _a}{c^{frac{1}{2}}}\= 3{log _a}a + 2{log _a}b + dfrac{1}{2}{log _a}c\= 3 + 2.3 + dfrac{1}{2}left( { - 2} right) = 8\end{array}

begin{array}{l}b),{log _a}x = {log _a}dfrac{{{a^4}sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\= {log _a}{a^4} + {log _a}sqrt[3]{b} - {log _a}{c^3}\= {log _a}{a^4} + {log _a}{b^{frac{1}{3}}} - {log _a}{c^3}\= 4{log _a}a + dfrac{1}{3}{log _a}b - 3{log _a}c\= 4.1 + dfrac{1}{3}.3 - 3left( { - 2} right)\= 11end{array}

Bài 7 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ,{3^{x + 4}} + {rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {rm{ }}{5^{x + 4}} + {rm{ }}{3^{x + 3}}

b) ,{25^x}-{rm{ }}{6.5^x} + {rm{ }}5{rm{ }} = {rm{ }}0

c) ,{4.9^x} + {rm{ }}{12^x}-{rm{ }}{3.16^x} = {rm{ }}0

d) ,lo{g_7}left( {x - 1} right)lo{g_7}x{rm{ }} = {rm{ }}lo{g_7}x

e) ,{log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x + {log _{{1 over 3}}}x = 6

g) ,log {{x + 8} over {x - 1}} = log x

Lời giải chi tiết

a),{3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}

Leftrightarrow {3^{left( {x + 3} right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0 Leftrightarrow left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} right) + left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} right) = 0

Leftrightarrow {3^{x + 3}}left( {3 - 1} right) + {5^{x + 3}}left( {3 - 5} right) = 0 Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0 Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}

Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}} Leftrightarrow dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1Leftrightarrow {left( {dfrac{3}{5}} right)^{x + 3}} = 1={left( {dfrac{3}{5}} right)^{0}}Leftrightarrow x + 3 = 0 Leftrightarrow x = - 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = left{ { - 3} right}.

b) {25^x}-{rm{ }}{6.5^x} + {rm{ }}5{rm{ }} = {rm{ }}0Leftrightarrow {5^{2x}}-{6.5^x} + 5= 0

Đặt t = 5^x, ,t > 0

Phương trình trở thành:

{t^2} - 6t + 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\t = 5end{array} right. Leftrightarrowleft[ begin{array}{l}{5^x} = 1\{5^x} = 5end{array} right. Leftrightarrow left[begin{array}{l}x = 0\x = 1end{array} right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = left{ {0;1} right}.

c), {4.9^x} + {rm{ }}{12^x}-{rm{ }}{3.16^x} = {rm{ }}0

Chia cả hai vế của phương trình cho 16^x>0 ta được:

4.{left( {dfrac{9}{{16}}} right)^x} + {left( {dfrac{{12}}{{16}}} right)^x} - 3 = 0

Đặt t = {left( {dfrac{3}{4}} right)^x} (t > 0) ta được phương trình:

4{t^2} + t - 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = dfrac{3}{4},,left( {tm} right)\t = - 1,left( {ktm} right)end{array} right. Rightarrow x = {log _{frac{3}{4}}}dfrac{3}{4} = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = left{ { 1} right}

d) ,lo{g_7}left( {x - 1} right)lo{g_7}x{rm{ }} = {rm{ }}lo{g_7}x

Điều kiện: x > 1

eqalign{ & lo{g_7}left( {x - 1} right)lo{g_7}x = lo{g_7}x cr & Leftrightarrow {log _7}x({log _7}(x - 1) - 1) = 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{ {log _7}x = 0 hfill cr {log _7}(x - 1) = 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{ x = 1 hfill cr x - 1 = 7 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x = 1 hfill cr x = 8 hfill cr} right. cr}

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x = 8

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 8

e) ,{log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x + {log _{{1 over 3}}}x = 6

Điều kiện: x > 0

Ta có:

eqalign{ & {log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x + {log _{{1 over 3}}}x = 6 cr & Leftrightarrow {log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x - {log _3}x = 6 cr & Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}x = 6 Leftrightarrow x = {sqrt{3}^6} cr & Leftrightarrow x = 27 (tm)cr}

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 27

g) ,log displaystyle{{x + 8} over {x - 1}} = log x

Điều kiện: left{ begin{array}{l}x > 0\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\left[ begin{array}{l}x > 1\x < - 8end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x > 1

Khi ,đó ,log dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = log x Leftrightarrow dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x Rightarrow x + 8 = xleft( {x - 1} right)

Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 4left( {TM} right)\x = - 2left( L right)end{array} right.

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

Chú ý:

Phương ,,trình ,{log _a}fleft( x right) = {log _a}gleft( x right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right) = gleft( x right)\fleft( x right) > 0end{array} right., hoặc , Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right) = gleft( x right)\gleft( x right) > 0end{array} right.

Bài 8 trang 90 – Ôn tập chương II – SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình

a) ,{2^{2x - 1}} + {rm{ }}2{^{2x - 2}} + {rm{ }}{2^{2x - 3}} ge {rm{ }}448

b) ,{left( {0,4} right)^x}-{rm{ }}{left( {2,5} right)^{x + 1}} > {rm{ }}1,5

c) ,{log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} - 1)} right] < 1

d) ,{log _{0,2}}^2x - 5{log _{0,2}}x < - 6

Lời giải chi tiết

displaystyle begin{array}{l}a),,,{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} ge 448\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}{.2^2} + {2^{2x - 3}}{.2^1} + {2^{2x - 3}} ge 448\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}left( {4 + 2 + 1} right) ge 448\Leftrightarrow {7.2^{2x - 3}} ge 448\Leftrightarrow {2^{2x - 3}} ge 64\Leftrightarrow 2x - 3 ge {log _2}64 = 6\Leftrightarrow x ge dfrac{9}{2}end{array}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: displaystyle S=[{{9}over {2}}; +∞).

displaystyle begin{array}{l}b),,{left( {0,4} right)^x} - {left( {2,5} right)^{x + 1}} > 1,5\Leftrightarrow {left( {0,4} right)^x} - 2,5.{left( {2,5} right)^x} > 1,5\Leftrightarrow {left( {0,4} right)^x} - 2,5.dfrac{1}{{{{left( {0,4} right)}^x}}} > 1,5end{array}

Đặt displaystyle t = {(0,4)}^x> 0, bất phương trình đã cho trở thành:

displaystyle eqalign{ & t - {{2,5} over t} > 1,5 Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{ t < - 1 hfill cr t > 2,5 hfill cr} right. cr}

Do displaystyle t = {(0,4)}^x> 0, bất phương trình đã cho tương đương với:

displaystyle {left( {0,4} right)^x} > {rm{ }}2,5{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}{left( {0,4} right)^x} > {rm{ }}{left( {0,4} right)^{ - 1}} Leftrightarrow {rm{ }}x{rm{ }} < {rm{ }} - 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là displaystyle S = left( { - infty ; - 1} right).

c) ĐK: displaystyle left{ begin{array}{l}{log _{dfrac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} right) > 0\{x^2} - 1 > 0end{array} right. displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} - 1 < {left( {dfrac{1}{2}} right)^0} = 1\{x^2} - 1 > 0end{array} right.

displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}- sqrt 2 < x < sqrt 2 \left[ begin{array}{l}x > 1\x < - 1end{array} right.end{array} right.displaystyle Leftrightarrow x in left( { - sqrt 2 ;-1} right) cup left( {1;sqrt 2 } right)

Ta có:

displaystyle begin{array}{l},,,,,{log _3}left[ {{{log }_{dfrac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} right)} right] < 1\Leftrightarrow {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} right) < {3^1} = 3,,left( {Do,3 > 1} right)\Leftrightarrow {x^2} - 1 > {left( {dfrac{1}{2}} right)^3} = dfrac{1}{8},,left( {Do,,0 < ,dfrac{1}{2} < 1} right)\Leftrightarrow {x^2} > dfrac{9}{8}\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x > dfrac{3}{{2sqrt 2 }}\x < - dfrac{3}{{2sqrt 2 }}end{array} right.end{array}

Kết hợp điều kiện ta có: displaystyle x in left( { - sqrt 2 ; - dfrac{3}{{2sqrt 2 }}} right) cup left( {dfrac{3}{{2sqrt 2 }};sqrt 2 } right)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: displaystyle S = left( { - sqrt 2 ; - dfrac{3}{{2sqrt 2 }}} right) cup left( {dfrac{3}{{2sqrt 2 }};sqrt 2 } right)

d) ,displaystyle {log _{0,2}}^2x - 5{log _{0,2}}x < - 6

ĐK: x > 0

Đặt displaystyle t{rm{ }} = {rm{ }}lo{g_{0,2}}x. Bất phương trình trở thành: displaystyle {t^2}-{rm{ }}5t{rm{ }} + {rm{ }}6{rm{ }} < {rm{ }}0{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}2{rm{ }} < {rm{ }}t{rm{ }} < {rm{ }}3

Suy ra: displaystyle 2 < {log _{0,2}}x < 3 Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2}displaystyle Leftrightarrow {1 over {125}} < x < {1 over {25}}(tm ,, x>0)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là displaystyle S=left({1 over {125}},{1 over {25}}right)

Các bạn có thể tham khảo thêm một số tài liệu liên quan khác như:

  • Giải bài tập Toán 12 chương 2 bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
  • Giải bài tập trang 77 SGK Giải tích lớp 12: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
  • Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải tích lớp 12: Phương trình mũ và phương trình lôgarit