Mời các bạn tham khảo Giải Toán 7 Bài tập cuối chương 8 sách Chân trời sáng tạo bao gồm lời giải và đáp án chi tiết cho từng bài tập trong SGK Toán 7 tập 2 chương trình sách mới. Lời giải Toán 7 được trình bày chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức được học trong bài 4 chương 8 Toán 7. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Bài 1 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A (widehat{A} < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆BEC = ∆CFB.

b) Chứng minh rằng ∆AHF = ∆AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Bài 1

a) ∆ ABC cân tại A => widehat{ABC} = widehat{ACB} và AB = AC

=> widehat{FBC} = widehat{ECB}

BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC

=> ∆BEC và ∆CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.

+ Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:

BC chung

widehat{FBC} = widehat{ECB}

=> ∆BEC = ∆CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

b) Theo a: ∆BEC =∆CFB

=> EC = FB

Có AF = AB – FB

AE= AC – EC

Mà AB = AC, EC = FB

=> AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

=> ∆AFH và ∆AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.

+ Xét ∆AFH vuông tại F và ∆AEH vuông tại E có:

AH chung

AF = AE

=> ∆AFH = ∆AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

=> H là trực tâm của ∆ABC

=> AH ⊥ BC (1)

Có I là trung điểm của BC

AI chung

IB = IC (I là trung điểm của BC)

=> ∆ABI = ∆ACI (c.c.c)

=> widehat{AIC} = widehat{AIB}

widehat{AIC} + widehat{AIB} = 180°

=> 2widehat{AIB} = 180°

=> widehat{AIB} = 90°

=> AI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) => A, I, H thẳng hàng.

Bài 2 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ∆ABC = ∆MBC.

Hướng dẫn giải

Bài 2

a) Có AH là đường cao của ∆ABC

=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH

=> ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆BHA và ∆BHM cùng vuông tại H có:

BH chung

AH = HM

=> ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)

=> BA = BM

=> ∆ABM cân tại B.

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM

=> widehat{ABH} = widehat{MBH} hay widehat{ABC} = widehat{MBC}

Xét ∆ABC và ∆MBC có:

BC chung

widehat{ABC} = widehat{MBC}

AB = BM

=> ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)

Bài 3 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB, AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Chứng minh rằng widehat{ADB} = widehat{BAH}

Hướng dẫn giải

Bài 3

a) Ta có AH là đường cao của ∆ABC

=> ∆AHD và ∆AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆AHD và ∆AHC cùng vuông tại H có:

AH chung

HD = HC

=> ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

=> AC = AD

b) + ∆ABC vuông tại A nên widehat{ABC} + widehat{ACB}= 90°

∆ABH vuông tại H nên widehat{ABH} + widehat{HAB}= 90°

=> widehat{ACB} = widehat{HAB}

+ Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A

=>  widehat{ACD} = widehat{ADC}

widehat{ACB} = widehat{HAB}

=> widehat{ADB} = widehat{HAB}.

Bài 4 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Hướng dẫn giải

Bài 4

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

AB = BN

BE chung

=> ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

=> widehat{ABE} = widehat{NBE}

=> BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

=> K là trực tâm tam giác ABN

=> NK ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

=> NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có:

BN = BA

widehat{NBF} = widehat{ABF} (chứng minh trên)

BF chung

=> ∆FBN và ∆FBA (c.g.c)

mà ∆ FBA vuông tại A

=> ∆ FBN vuông tại N

=> BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN

=> ∆ BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

BN = BA

widehat{ABN} chung

=> ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

=> BG = BC

=> ∆ BCG cân tại B.

Bài 5 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng widehat{BMN} = widehat{HAC}.

b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Hướng dẫn giải

Bài 5

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

=> MB = MC, NB = NC

=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M

Xét ∆ MBN và ∆ MCN có:

MB = MC

BN = NC

MN chung

=> ∆ MBN = ∆ MCN (c.c.c)

=> widehat{BMN} = widehat{CMN}

∆ AHC vuông góc tại H

=> widehat{HAC} + widehat{HCA} = 90°

Hay widehat{MCN} + widehat{HAC} = 90° (1)

∆ MNC vuông góc tại N (MN là đường trung trực của BC)

=>  widehat{MCN} + widehat{NMC} = 90°

widehat{BMN} = widehat{CMN}

=> widehat{MCN} +widehat{HAC} = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có: widehat{HAC} = widehat{BMN}

b) Kẻ MI ⊥ AH

AH ⊥ BC

=> IM // BC

=> widehat{IMB} = widehat{MBC}(góc so le trong)

widehat{AMI} = widehat{MCB} (2 góc đồng vị)

Mà ∆MBC cân tại M nên widehat{MBC}  =  widehat{MBC}

=> widehat{IMB} = widehat{AMI}

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có:

MI chung

widehat{IMK} = widehat{AMI}(chứng minh trên)

=> ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK.

Bài 6 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD.

a) Chứng minh rằng ∆ MFN = ∆ PFD.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Bài 6

a) ME, NF là trung tuyến của ∆MNP

=> E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM

Xét ∆ MFN và ∆ PFD có

FN = FD

widehat{MFN} =  widehat{PFD} (2 góc đối đỉnh)

FM = FP (F là trung điểm của PM)

=> ∆MFN = ∆PFD (c.g.c).

b)

+ Trong ∆MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G.

=> G là trọng tâm của ∆MNP

=> FG = frac{1}{3} FN

Mà FG = FH (F là trung điểm của HG); FN = FD

=> FH = frac{1}{3} FD => DH = frac{2}{3} FD

+ Xét tam giác PDM có: DH = frac{2}{3} FD

Mà FD là đường trung tuyến của ∆PDM

=> H là trọng tâm của ∆PDM

=> MH là đường trung tuyến của ∆PDM (1)

K là trung điểm của PD

=> MK là đường trung tuyến của ∆PDM (2)

Từ (1) và (2)

=> M, H, K thẳng hàng.

Bài 7 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = frac{1}{2} AC, AD là tia phân giác của widehat{BAC} (D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK.

Hướng dẫn giải

Bài 7

a) Xét ∆ABD và ∆AED có

AD chung

widehat{BAD} =    widehat{EAD} (AD là đường phân giác)

AB = AE

=> ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c)

=> BD = ED

b) + Chứng minh tam giác DCK cân.

Theo a: ∆ ABD = ∆ AED nên widehat{DBA} =  widehat{DEA}

Ta có:

widehat{DBK} + widehat{DBA} = 180°

widehat{DEC} + widehat{DEA} = 180°

widehat{DBA} =  widehat{DEA}

=> widehat{DBK} = widehat{DEC}

Xét ∆CDE và ∆KDB có:

widehat{KDB} =    widehat{CDE} (2 góc đối đỉnh)

DE = DB (chứng minh câu a)

widehat{DBK} = widehat{DEC} (chứng minh trên)

=> ∆CDE = ∆KDB (g.c.g)

=> DC = DK

=> ∆DCK cân tại D

+ Chứng minh B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB

Mà E là trung điểm của AC nên EC = AE = frac{1}{2} AC

AB = frac{1}{2} AC

=> KB = AB

Mà A, B, K thẳng hàng

=> B là trung điểm của AK

c) B là trung điểm của AK

=>AB = frac{1}{2} AK

AB = frac{1}{2} AC

=> AK = AC

Xét ∆KAH và ∆CAH có:

AK = AC

widehat{KAH} = widehat{CAH} (AD là đường phân giác của widehat{BAC})

AH chung

=> ∆KAH = ∆CAH (c.g.c)

=> widehat{AHK} = widehat{AHC}

widehat{AHK} + widehat{AHC} = 180°

=> 2widehat{AHC} =  180°

=> widehat{AHC} =  90°

=> AH ⊥ HC hay AH ⊥ CK.

Bài 8 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Ở hình 1, cho biết AE = AF và widehat{ABC} =  widehat{ACB}. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC

Bài 8

Hướng dẫn giải

widehat{ABC} =  widehat{ACB}

=> ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

=> A thuộc đường trung trực của BC (1)

Ta có: FC = AC – AF

EB = AB – AE

Mà AB = AC, AE= AF

=> FC = CB

Xét ∆ FCB và ∆ EBC có:

BC chung

widehat{FCB} =  widehat{EBC}

FC = CB (chứng minh trên)

=> ∆FCB = ∆EBC (c.g.c)

=> widehat{FBC} =  widehat{ECB}

=> ∆HCB cân tại H

=> HC = HB

=> H thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) => AH là đường trung trực của BC.

Bài 9 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H thuộc CM). Trên tia đối của HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng widehat{EBH}= widehat{ACM}

c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC.

Bài 10 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Hướng dẫn giải

Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K

Xét tam giác MIK có MJ ⊥ IK, IN ⊥MK.

Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK.

Do đó NK vuông góc với MI.

…………………

Trên đây TaiLieuViet đã gửi tới các bạn tài liệu Giải Toán 7 Bài tập cuối chương 8. Hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các em nắm vững kiến thức được học, đồng thời luyện giải Toán 7 hiệu quả.

Ngoài tài liệu Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo, TaiLieuViet cũng đã biên soạn lời giải cho các môn học khác như Toán 7, Ngữ văn 7, Lịch sử 7, … mời các bạn tham khảo để có sự chuẩn bị tốt cho chương trình học sách mới sắp tới nhé.

Toán 7 Bài tập cuối chương 8 Chân trời sáng tạoBài tiếp theo: Giải Toán 7 Bài 1: Làm quen với biến cố ngẫu nhiên.