Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, TaiLieuViet xin mời các bạn tham khảo tài liệu Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước … được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Bản quyền thuộc về TaiLieuViet.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Các khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Định lý: Cho hàm số y=fleft( x right) xác định trên tập D.

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=fleft( x right) trên tập D nếu fleft( x right)le M với mọi x thuộc D và tồn tại {{x}_{0}}in D sao cho fleft( {{x}_{0}} right)le M. Kí hiệu: M=underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x right)

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=fleft( x right) trên tập D nếu fleft( x right)ge m với mọi x thuộc D và tồn tại {{x}_{0}}in D sao cho fleft( {{x}_{0}} right)ge m. Kí hiệu: m=underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x right)

Hay nói cách khác:

  • M=underset{xin D}{mathop{max }},fleft( x right)
  • m=underset{xin D}{mathop{min }},fleft( x right)

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn left[ a,b right]

Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài không cho sẵn)

Bước 2: Tính f'left( x right) và giải phương trình f'left( x right)

Bước 3: Tính fleft( {{x}_{1}} right),fleft( {{x}_{2}} right),fleft( {{x}_{3}} right),.... và fleft( a right),fleft( b right)

Bước 4: So sánh và kết luận.

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 trên đoạn left[ 1,2 right]. Khi đó tổng M+m có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 2 B. -4 C. 0 D. -2

Hướng dẫn giải

Tập xác định D=mathbb{R}

y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1

y'=0Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0 \ x=2 \ end{matrix} right.

fleft( 0 right)=1,fleft( 1 right)=-1,fleft( 2 right)=-3

Dễ thấy M=underset{left[ 1,2 right]}{mathop{max }},fleft( x right)=fleft( 0 right)=1

m=underset{left[ 1,2 right]}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( 2 right)=-3Rightarrow M+m=-2. Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác y=fleft( x right) trên đoạn left[ 0,pi right]

A. underset{left[ 0,pi right]}{mathop{max fleft( x right)}},=sqrt{2},underset{left[ 0,pi right]}{mathop{min fleft( x right)}},=-1

B. underset{left[ 0,pi right]}{mathop{max fleft( x right)}},=3,underset{left[ 0,pi right]}{mathop{min fleft( x right)}},=-3

C. underset{left[ 0,pi right]}{mathop{max fleft( x right)}},=sqrt{2}+frac{1}{2},underset{left[ 0,pi right]}{mathop{min fleft( x right)}},=-1

D. underset{left[ 0,pi right]}{mathop{max fleft( x right)}},=sqrt{2},underset{left[ 0,pi right]}{mathop{min fleft( x right)}},=-sqrt{2}

Hướng dẫn giải

Rightarrow sin x.cos x=frac{{{t}^{2}}-1}{2}

fleft( x right)=gleft( t right)=t+frac{{{t}^{2}}-1}{2}=frac{{{t}^{2}}}{2}+t-frac{1}{2}

g'left( t right)=t+1,g'left( t right)=0Leftrightarrow t=-1

gleft( -1 right)=-1,gleft( sqrt{2} right)=sqrt{2}+frac{1}{2}

underset{left[ 0,pi right]}{mathop{Rightarrow max fleft( x right)}},=sqrt{2}+frac{1}{2},underset{left[ 0,pi right]}{mathop{min fleft( x right)}},=-1

Chọn đáp án C

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D bất kì

Bước 1: Tìm tập xác định (Nếu đề bài không cho sẵn tìm trên miền nào)

Bước 2: Tính f'left( x right) và giải phương trình f'left( x right)

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

4. Quy tắc tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số y=fleft( x right) xác định và liên tục trên một đoạn left[ a,b right]

Bước 1: Tính f'left( x right) và giải phương trình f'left( x right)

Bước 2: Tính fleft( {{x}_{1}} right),fleft( {{x}_{2}} right),fleft( {{x}_{3}} right),.... và fleft( a right),fleft( b right)

Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn left[ a,b right]

Bước 4: Thay điều kiện bài cho để tìm m

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số fleft( x right)=frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}

Hướng dẫn giải

Dễ thấy {{x}^{2}}+2x+10>0forall x nên hàm số xác định trên toàn trục số.

Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

begin{align} & frac{2{{x}^{2}}+7x+23}{{{x}^{2}}+2x+10}=m \ & Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+7x+23=mleft( {{x}^{2}}+2x+10 right) \ & Leftrightarrow left( m-2 right){{x}^{2}}+left( 2m-7 right)x+10m-23=0 \ end{align}

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu m=2 phương trình trở thành -3x-3=0Leftrightarrow x=-1Rightarrow vậy phương trình có nghiệm khi m=2

TH2: Nếu mne 2 khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

begin{align} & Delta ={{left( 2m-7 right)}^{2}}-4left( m-2 right)left( 10m-23 right)ge 0 \ & Leftrightarrow -36m+144m-135ge 0 \ & Rightarrow frac{3}{2}le mle frac{5}{2}ne 2 \ & Rightarrow max fleft( x right)=frac{5}{2},min fleft( x right)=frac{3}{2} \ end{align}

B. Giải SGK Toán 12 Bài 3

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, TaiLieuViet đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:

C. Giải SBT Toán 12 Bài 3

Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. TaiLieuViet đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

  • Giải bài tập SBT Toán 12 bài 3

D. Bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số này, TaiLieuViet xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Tìm GTLN, GTNN của hàm số do TaiLieuViet biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

  • Trắc nghiệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án)

————————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.