tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
a) (2−2)(−52)−(32−5)2;
b) 23a−75a+a13,52a−25300a3 với a≥0
Phương pháp giải:
– Thực hiện các phép biến đổi đơn giản của căn bậc hai để làm xuất hiện căn thức đồng dạng.
– Cộng trừ các căn đồng dạng.
pA+qA−rA+m=(p+q−r)A+m
Lời giải:
a)
(2−2)(−52)−(32−5)2
=−102+522−(18−302+25)
=−102+5.2−18+302−25=202−33
b)
23a−75a+a13,52a−25300a3
=23a−75a+a274a−25300a3
=23a−25.3a+a2.9.34a−25100a2.3a
=23a−53a+9.3a4−25.10a3a
=23a−53a+323a−4a3a
=3a(2−5+32−4a)=−(1,5+4a)3a (với a>0)
a) a+ba−b+a−ba+b với a≥0,b≥0 và a≠b
b) a−ba−b−a3−b3a−b với a≥0,b≥0 và a≠b
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
Lời giải:
a)
Ta có:
a+ba−b+a−ba+b =(a+b)2+(a−b)2(a+b)(a−b)
=a+2ab+b+a−2ab+ba−b
=2(a+b)a−b (với a≥0,b≥0 và a≠b)
b)
Ta có: a−ba−b−a3−b3a−b
=(a−b)(a+b)(a−b).(a+b)−a2.a−b2.ba−b
=(a−b)(a+b)(a)2−(b)2−aa−bba−b
=aa+ab−ba−bba−b−aa−bba−b
=aa+ab−ba−bb−aa+bba−b
=ab−baa−b (với a≥0,b≥0 và a≠b)
Chú ý: Ta cũng có thể biến đổi tiếp ab−baa−b như sau:
ab−baa−b=a2b−ab2(a−b).(a+b)
=ab.(a−b)(a−b).(a+b)
=aba+b
Bài 82 trang 18 SBT Toán 9 tập 1:
a) Chứng minh:
x2+x3+1=(x+32)2+14
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2+x3+1. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức (a+b)2=a2+2ab+b2
– Thực hiện tách biểu thức đưa về dạng:
(a+b)2+m
– Biện luận tìm giá trị nhỏ nhất:
(a+b)2≥0
⇒(a+b)2+m≥m. Dấu “=” xảy ra khi a+b=0.
Lời giải:
a)
Ta có:
x2+x3+1=x2+2×32+34+14
=x2+2×32+(32)2+14=(x+32)2+14
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b)
Theo câu a) ta có:
x2+x3+1=(x+32)2+14
Vì (x+32)2≥0 với mọi x nên (x+32)2+14≥14
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x+32)2+14 bằng 14 khi (x+32)2=0
Suy ra x=−32.
a) 27−5−27+5;
b) 7+57−5+7−57+5.
Phương pháp giải:
Áp dụng:
Với B≥0;B≠C2, ta có: AB±C=A(B∓C)B−C2
Lưu ý: Số hữu tỉ là số có dạng ab trong đó a; b là các số nguyên và b≠0.
Lời giải:
a)
Ta có:
27−5−27+5=2(7+5)−2(7−5)(7+5)(7−5)=27+10−27+107−25=20−18=−109
Vậy 27−5−27+5=−109 là số hữu tỉ
b)
7+57−5+7−57+5=(7+5)2+(7−5)2(7+5)(7−5)=7+235+5+7−235+57−5=242=12
Vậy 7+57−5+7−57+5=12 là số hữu tỉ.
a) 4x+20−35+x+439x+45=6;
b) 25x−25−152x−19=6+x−1.
Phương pháp giải:
Sử dụng: A.B=A.B(A,B≥0)
Biến đổi đưa phương trình về dạng A=m(m≥0)⇔A=m2.
Lời giải:
a)
Điều kiện : x≥−5
Ta có:
4x+20−35+x+439x+45=6
⇔4(x+5)−35+x+439(x+5)=6
⇔2x+5−3x+5+43.3x+5=6
⇔2x+5−3x+5+4x+5=6
⇔x+5.(2−3+4)=6
⇔3x+5=6
⇔x+5=2
⇔x+5=4⇔x=−1
Giá trị x=−1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy x=−1.
b)
Điều kiện: x≥1
Ta có:
25x−25−152x−19=6+x−1
⇔25(x−1)−152.13x−1−x−1=6
⇔5x−1−52x−1−x−1=6
⇔x−1.(5−52−1)=6
⇔32x−1=6⇔x−1=6:32
⇔x−1=4
⇔x−1=16⇔x=17(thỏa mãn)
Vậy x=17.
P = x+1x−2+2xx+2+2+5×4−x
a) Rút gọn P với x≥0 và x≠4.
b) Tìm x để P=2.
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận. Cho rồi giải phương trình thu được để tìm
Lời giải:
a)
Điều kiện: x≥0,x≠4
Ta có:
P = x+1x−2+2xx+2+2+5×4−x
=(x+1)(x+2)(x+2)(x−2)+2x(x−2)(x+2)(x−2)−2+5xx−4
=x+2x+x+2x−4+2x−4xx−4−2+5xx−4
=x+3x+2+2x−4x−2−5xx−4
=3x−6xx−4=3x(x−2)(x+2)(x−2)=3xx+2
b)
Ta có: P=2 (ĐK: x≥0,x≠4)
⇔3xx+2=2⇒3x=2(x+2)⇔3x=2x+4
⇔x=4⇔x=16 (thỏa mãn)
Vậy với x=16 thì P=2.
Q=(1a−1−1a):(a+1a−2−a+2a−1)
a) Rút gọn Q với a>0,a≠4 và a≠1.
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Lời giải:
a)
Với a>0,a≠4 và a≠1, ta có:
Q=(1a−1−1a):(a+1a−2−a+2a−1)
=a−(a−1)a(a−1):(a+1)(a−1)−(a+2)(a−2)(a−2)(a−1)
=a−a+1a(a−1):a−1−(a−4)(a−2)(a−1)
=1a(a−1):3(a−2)(a−1)
=1a(a−1).(a−2)(a−1)3
=a−23a
b)
Ta có: a>0 nên a>0⇔3a>0
Khi đó: Q=a−23a dương khi a−2>0
Ta có: a−2>0⇔a>2⇔a>4
Vậy khi a>4 thì Q>0.
a+b+c≥ab+bc+ca
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Phương pháp giải:
Cách 1: Áp dụng:
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a−b)2≥0
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số a,b không âm a+b2≥ab
Lời giải:
Cách 1:
Vì a,b và c không âm nên a;b và c tồn tại.
Ta có: (a−b)2≥0 suy ra:
a+b−2ab≥0⇔a+b≥2ab⇔a+b2≥ab(1)
(b−c)2≥0 suy ra:
b+c−2bc≥0⇔b+c≥2bc⇔b+c2≥bc(2)
(c−a)2≥0 suy ra:
c+a−2ca≥0⇔c+a≥2ca⇔c+a2≥ca(3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:
a+b2+b+c2+c+a2≥ab+bc+ca
⇔2a+2b+2c2≥ab+bc+ca
⇔a+b+c≥ab+bc+ca
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm a,b,c ta có:
a+b2≥ab (1)
b+c2≥bc (2)
a+c2≥ac (3)
Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:
a+b+c≥ab+bc+ac
Suy ra, điều phải chứng minh.
+) Với bốn số a,b,c,d không âm, ta có:
a+b+c+d≥ab+bc+cd+da
+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
a+b+c+d+e≥ab+bc+cd+de+ea
Bài tập bổ sung (trang 20 SBT Toán 9):
