SBT Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp | Giải SBT Toán lớp 9 

Bài 39 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D. Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp.

Ta sử dụng kiến thức: 

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Lời giải:

S là điểm chính giữa của cung AB⏜.

⇒ SA⏜=SB⏜  (1)

DEB^=12(sđDCB⏜+sđAS⏜)  (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)   (2)

DCS^=12sđDAS⏜ (tính chất góc nội tiếp) hay DCS^=12(sđDA⏜+sđSA⏜)   (3)

Từ (1) và (2) suy ra: DEB^+DCS^=12(sđDCB⏜+sđAS⏜+sđDA⏜+sđSA⏜)   (4)

Từ (1) và (4) suy ra: DEB^+DCS^=12(sđDCB⏜+sđBS⏜+sđSA⏜+sđDA⏜) =360∘2=180∘

Hay DEH^+DCH^=180∘

Vậy: tứ giác EHCD nội tiếp được trong một đường tròn.

Bài 40 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong của B^ và C^ cắt nhau tại S, các đường phân giác ngoài của B^ và C^ cắt nhau tại E. Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.

+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Lời giải:

Ta có: BS⊥BE (tính chất: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

⇒SBE^=90∘

Tương tự: CS⊥CE (tính chất: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

⇒SCE^=90∘ 

Xét tứ giác BSCE ta có: SBE^+SCE^=180∘ mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác BSCE nội tiếp.

Bài 41 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC và A^=200. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA=DB và DAB^=400. Gọi E là giao điểm của AB và CD.

a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp

b) Tính AED^

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

a) ∆ABC cân tại A(gt).

⇒ACB^=ABC^ (tính chất tam giác cân)

⇒ACB^=180∘−A^2=180∘−20∘2=80∘

∆DAB cân tại D (do DA=DB)

⇒DBA^=DAB^ (tính chất tam giác cân) mà DAB^=40∘ (gt) ⇒DBA^=40∘

ADB^=180∘−(DAB^+DBA^)=180∘−(40∘+40∘)=100∘

Trong tứ giác ACBD ta có: ACB^+ADB^=80∘+100∘=180∘

Vậy: Tứ giác ACBD nội tiếp.

b) Vì tứ giác ACBD nội tiếp (câu a) nên xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD ta có:

+) BAC^=12sđBC⏜ (tính chất góc nội tiếp)

⇒ sđ BC⏜=2BAC^=2.20∘=40∘

+) DBA^=12sđAD⏜ (tính chất góc nội tiếp)

⇒ sđ AD⏜ =2DBA^=2.40∘=80∘

+) AED^ là góc có đỉnh ở trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD

AED^=12(sđBC⏜+sđAD⏜) =40∘+80∘2=60∘

Bài 42 trang 107 SBT Toán 9 tập 2: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A,B,C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M,N. Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘.

+) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu ABD^+DBC^=180∘ thì A,B,C thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi ba đường tròn tâm O1,O2,O3.

(O1) cắt (O2) tại A; (O1) cắt (O3) tại B. 

(O2) cắt (O3) tại C. Suy ra D là điểm nằm trên đường tròn (O3).

BD cắt (O1) tại M, DC cắt (O2) tại N.

Nối PA,PB,PC, MA,NA.

Ta có tứ giác APBM  nội  tiếp trong đường tròn (O1).

Nên MAP^+MBP^=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà MBP^+PBD^=180∘ (hai góc kề bù)

Suy ra: MAP^=PBD^  (1)

Ta có: Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (O2)

Nên NAP^+NCP^=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà NCP^+PCD^=180∘ (hai góc kề bù)

Suy ra: NAP^=PCD^  (2)

Tứ giác BPCD nội tiếp trong đường tròn (O3)

⇒PBD^+PCD^=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MAP^+NAP^=180∘

Vậy ba điểm M,A,N thẳng hàng.

Bài 43 trang 107 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC=BE.ED. Chứng minh bốn điểm A,B,C,Dcùng nằm trên một đường tròn.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Các điểm cùng nhìn một cạnh cố định dưới góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc vẽ trên cạnh cố định.

+) Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Lời giải:

Từ AE.EC=BE.ED(gt) 

⇒AEED=BEEC

Xét ∆AEB và ∆DEC:

AEED=BEEC

AEB^=DEC^ (đối đỉnh)

Suy ra: ∆AEB đồng dạng ∆DEC(c.g.c)

⇒BAE^=CDE^ hay BAC^=CDB^

Từ đó: A và D nhìn đoạn BC cố định dưới một góc bằng nhau nên 4 điểm A,B,C,D nằm trên một đường tròn.

Bài 7.1 trang 107 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI,BK,CL của tam giác ấy.Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A,B,C,H,I,K,L

b) Chứng minh LBH^,LIH^,KIH^ và KCH^ là 4 góc bằng nhau.

c) Chứng minh KB là tia phân giác của LKI^.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

+) Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông là tứ giác nội tiếp.

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

Vì ∆ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.

a) Tứ giác AKHL có: AKH^+ALH^=90∘+90∘=180∘

Nên tứ giác AKHL nội tiếp.

+) Tứ giác BIHL có: BIH^+BLH^=90∘+90∘=180∘

Nên tứ giác BIHL nội tiếp.

+) Tứ giác CIHK có: CIH^+CKH^=90∘+90∘=180∘

Nên tứ giác CIHK nội tiếp.

+) Tứ giác ABIK có: AKB^=90∘;AIB^=90∘

K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp.

+) Tứ giác BCKL có BKC^=90∘;BLC^=90∘

Suy raK và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp.

+) Tứ giác ACIL có AIC^=90∘;ALC^=90∘

Suy raI và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp.

b) Tứ giác BIHL nội tiếp.

⇒LBH^=LIH^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LH⏜) (1)

Tứ giác CIHK nội tiếp.

⇒HIK^=HCK^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ HK⏜)         (2)

Tứ giác BCKL nội tiếp.

⇒LBK^=LCK^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LK⏜) hay LBH^=HCK^ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra LBH^=LIH^=KIH^=KCH^

c) Tứ giác CIHK nội tiếp.

⇒ICH^=IKH^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ IH⏜) (∗)

Tứ giác LKCB nội tiếp.

⇒LCB^=LKB^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LB⏜) (∗∗)

Từ (*) và (**) suy ra LKH^=HKI^. Vậy KB là tia phân giác của LKI^.

Bài 7.2 trang 107 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu C là một điểm trên cung AB thì: sđAB⏜=sđAC⏜+sđCB⏜.

+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB⏜.

Suy ra MA⏜ = MB⏜

Lại có: AEC^=12(sđAC⏜+sđMB⏜) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)

CDM^=12sđMAC⏜ (tính chất góc nội tiếp) hay CDF^=12(sđMA⏜+sđAC⏜)=12(sđAC⏜+sđMB⏜)

Suy ra: AEC^=CDF^

Ta có: AEC^+CEF^=180∘ (hai góc kề bù)

Suy ra: CDF^+CEF^=180∘ nên tứ giác CDFE nội tiếp

⇒CDE^=CFE^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CE⏜) hay CDI^=CFE^

Trong đường tròn (O) ta có:

CDI^=CJI^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CAI⏜)

Suy ra: CJI^=CFE^

⇒IJ//AB (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)