tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
a) 3×2−2x−5=0
b) 5×2+2x−16=0
c) 13×2+2x−163=0
d) 12×2−3x+2=0
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
3×2−2x−5=0
Hệ số a=3,b=−2,b′=−1,c=−5
Δ′=(−1)2−3.(−5)=16>0Δ′=16=4×1=1+43=53×2=1−43=−1×1+x2=53+(−1)=23x1x2=53.(−1)=−53
b)
5×2+2x−16=0
Hệ số a=5,b=2,b′=1,c=−16
Δ′=12−5.(−16)=81>0Δ′=81=9×1=−1+95=85×2=−1−95=−2×1+x2=85+(−2)=−25x1x2=85.(−2)=−165
c)
13×2+2x−163=0
⇔x2+6x−16=0
Hệ số a=1,b=6,b′=3,c=−16
Δ′=32−1.(−16)=25>0Δ′=25=5×1=−3+51=2×2=−3−51=−8×1+x2=2+(−8)=−6x1x2=2.(−8)=−16
d)
12×2−3x+2=0
⇔x2−6x+4=0
Hệ số a=1,b=−6,b′=−3,c=4
Δ′=(−3)2−1.4=9−4=5>0Δ′=5×1=3−51=3−5×2=3+51=3+5×1+x2=3−5+3+5=6
x1x2=(3−5)(3+5)=9−5=4.
a) 2×2−7x+2=0
b) 2×2+9x+7=0
c) (2−3)x2+4x+2+2=0
d) 1,4×2−3x+1,2=0
e) 5×2+x+2=0
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
a)
2×2−7x+2=0
Hệ số a=2;b=−7;c=2
Δ=(−7)2−4.2.2=49−16=33>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba=72
x1x2=ca=22=1
b)
2×2+9x+7=0
Hệ số a=2;b=9;c=7
Δ=92−4.2.7=25>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba=−92;x1x2=ca=72
c)
(2−3)x2+4x+2+2=0
Δ′=22−(2−3)(2+2)
=4−4−22+23+6
=23+6−22>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba=−42−3=−4(2+3)
x1x2=ca=2+22−3=(2+2)(2+3)4−3=4+23+22+6
d)
1,4×2−3x+1,2=0
Δ=(−3)2−4.1,4.1,2=9−6,72=2,28>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba=−−31,4=3014=157x1x2=ca=1,21,4=67
e)
5×2+x+2=0
Δ=1−4.5.2=1−40=−39<0
Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.
a) 7×2−9x+2=0
b) 23×2−9x−32=0
c) 1975×2+4x−1979=0
d) (5+2)x2+(5−2)x−10=0
e) 13×2−32x−116=0
f) 31,1×2−50,9x+19,8=0
Phương pháp giải:
Áp dụng:
– Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x2=ca.
– Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a−b+c=0 thì phương trình có nghiệm là x1=−1, còn nghiệm kia là x2=−ca.
Lời giải:
a)
7×2−9x+2=0
Hệ số a=7,b=−9,c=2
Ta có: a+b+c=7+(−9)+2=0
Phương trình có hai nghiệm là: x1=1;x2=ca=27.
b)
23×2−9x−32=0
Hệ số: a=23,b=−9,c=−32
Ta có a−b+c=23−(−9)+(−32)=0
Phương trình có hai nghiệm là: x1=−1;x2=−ca=−−3223=3223
c)
1975×2+4x−1979=0
Hệ số: a=1975,b=4,c=−1979
Ta có: a+b+c=1975+4+(−1979)=0
Phương trình có hai nghiệm là: x1=1;x2=ca=−19791975
d)
(5+2)x2+(5−2)x−10=0
Hệ số a=5+2,b=5−2,c=−10
Ta có: a+b+c=5+2+5−2+(−10)=0)
Phương trình có hai nghiệm là: x1=1; x2=ca=−105+2=−10.(5−2)23
e)
13×2−32x−116=0
Hệ số: a=13,b=−32,c=−116
Ta có:
a−b+c=13−(−32)+(−116)
=13+32−116=26+96−116=0
Phương trình có hai nghiệm là: x1=−1; x2=−ca=−−116:13=116.31=112
f)
31,1×2−50,9x+19,8=0
Hệ số: a=31,1;b=−50,9;c=19,8
Ta có: a+b+c=31,1+(−50,9)+19,8=0
Phương trình có hai nghiệm là:
x1=1;x2=ca=19,831,1=198311
a) x2−6x+8=0
b) x2−12x+32=0
c) x2+6x+8=0
d) x2−3x−10=0
e) x2+3x−10=0
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
a)
x2−6x+8=0
Δ′=(−3)2−1.8=9−8=1>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=6x1x2=8⇔x1=2;x2=4
b)
x2−12x+32=0
Δ′=(−6)2−1.32=36−32=4>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=12x1x2=32⇔x1=4;x2=8
c)
x2+6x+8=0
Δ′=32−1.8=9−8=1>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=−6x1x2=8 ⇔x1=−2;x2=−4
d)
x2−3x−10=0
Ta có: a=1;c=−10⇒ac<0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=3x1x2=−10⇔x1=−2;x2=5
e)
x2+3x−10=0
Ta có a=1;c=−10⇒ac<0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
{x1+x2=−3x1x2=−10⇔x1=2;x2=−5
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3×2+2x−21=0 có một nghiệm là −3. Hãy tìm nghiệm kia.
b) Chứng tỏ rằng phương trình −4×2−3x+115=0 có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia.
Phương pháp giải:
– Thay x=−3 vào vế trái của phương trình đã cho, nếu cho kết quả bằng 0 thì x=−3 là nghiệm của phương trình đã cho.
– Theo hệ thức Vi -ét ta có x1.x2=ca, biết x1=−3 từ đó ta tính được x2.
Lời giải:
a)
Thay x=−3 vào vế trái của phương trình ta được:
3.(−3)2+2.(−3)−21=27−6−21=0
Vậy x=−3 là nghiệm của phương trình 3×2+2x−21=0.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1x2=−213
⇒−3.x2=−213⇔x2=73
b)
Thay x=5 vào vế trái của phương trình ta được:
−4.52−3.5+115=−100−15+115=0
Vậy x=5 là nghiệm của phương trình −4×2−3x+115=0
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1x2=115−4
⇒5×2=−1154⇔x2=−234.
a) Phương trình x2+mx−35=0, biết nghiệm x1=7.
b) Phương trình x2−13x+m=0, biết nghiệm x1=12,5.
c) Phương trình 4×2+3x−m2+3m=0, biết nghiệm x1=−2.
d) Phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0, biết nghiệm x1=13.
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
a)
Phương trình x2+mx−35=0 có nghiệm x1=7.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=−35
⇒7×2=−35⇔x2=−5
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−m⇒−m=7+(−5)⇔−m=2⇔m=−2
Vậy m=−2 thì phương trình x2+mx−35=0 có nghiệm x1=7 và nghiệm x2=−5.
b)
Phương trình x2−13x+m=0 có nghiệm x1=12,5.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=13
⇒12,5+x2=13⇔x2=0,5
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=m ⇒m=12,5.0,5=6,25
Vậy m=6,25 thì phương trình x2−13x+m=0 có nghiệm x1=12,5 và nghiệm x2=0,5.
c)
Phương trình 4×2+3x−m2+3m=0 có nghiệm x1=−2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−34
⇒−2+x2=−34
⇔x2=−34+2=54
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=−m2+3m4
⇒−2.54=−m2+3m4
⇔m2−3m−10=0
Δm=(−3)2−4.1.(−10)=9+40=49>0
⇒Δm=49=7
m1=3+72.1=5
m2=3−72.1=−2
Vậy m=5 hoặc m=−2 thì phương trình 4×2+3x−m2+3m=0 có nghiệm x1=−2 và nghiệm x2=54.
d)
Phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0 có nghiệm x1=13 .
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=53
⇒13×2=53⇔x2=5
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=2(m−3)3
⇒13+5=2(m−3)3
⇔2(m−3)=16
⇔m−3=8⇔m=11
Vậy m=11 thì phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0 có nghiệm x1=13 và nghiệm x2=5.
a) u+v=14;uv=40
b) u+v=−7;uv=12
c) u+v=−5;uv=−24
d) u+v=4,uv=19
e) u−v=10,uv=24
f) u2+v2=85,uv=18
Phương pháp giải:
Áp dụng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2−4P≥0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2−Sx+P=0.
Lời giải:
a)
Hai số u và v có u+v=14,uv=40 nên u,v là nghiệm của phương trình:
x2−14x+40=0
Δ′=(−7)2−1.40=49−40=9>0
Δ′=9=3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=7+31=10;x2=7−31=4
Vậy u=10;v=4 hoặc u=4;v=10.
b)
Hai số u và v có u+v=−7 và uv=12 nên u,v là nghiệm của phương trình x2+7x+12=0
Δ=72−4.1.12=49−48=1>0
Δ=1=1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=−7+12.1=−3
x2=−7−12.1=−4
Vậy u=−3;v=−4 hoặc u=−4;v=−3.
c)
Hai số u và v có u+u=−5,uv=−24 nên u,v là nghiệm của phương trình x2+5x−24=0
Δ=52−4.1.(−24)=25+96=121>0
Δ=121=11
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=−5+112.1=3
x2=−5−112.1=−8
Vậy u=3;v=−8 hoặc u=−8;v=3.
d)
Hai số u và v có u+v=4,uv=19 nên u,v là nghiệm của phương trình x2−4x+19=0
Δ′=(−2)2−1.19=4−19=−15<0
Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán.
e)
Hai số u và v có u−v=10 và uv=24 suy ra u+(−v)=10 và u(−v)=−24 nên hai số u và −v là nghiệm của phương trình x2−10x−24=0
Δ′=(−5)2−1.(−24)=25+24=49>0
Δ′=49=7
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=5+71=12
x2=5−71=−2
⇒u=12;−v=−2 hoặc u=−2;−v=12
Vậy u=12;v=2 hoặc u=−2;v=−12.
f)
Hai số u và v có u2+v2=85 và uv=18 suy ra u2v2=324 nên hai số u2 và v2 là nghiệm của phương trình x2−85x+324=0
Δ=(−85)2−4.1.324=7225−1296=5929>0
Δ=5929=77
x1=85+772.1=81
x2=85−772.1=4
⇒u2=81;v2=4 hoặc u2=4;v2=81
⇒u=±9;v=±2 hoặc u=±2;v=±9.
Vì uv=18 nên u và v cùng dấu, do đó ta có:
– Nếu u=9 thì v=2
– Nếu u=−9 thì v=−2
– Nếu u=2 thì v=9
– Nếu u=−2 thì v=−9.
a) 3 và 5;
b) −4 và 7;
c) −5 và 13;
d) 1,9 và 5,1;
e) 4 và 1−2;
f) 3−5 và 3+5
Phương pháp giải:
Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.
Lời giải:
a)
Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
(x−3)(x−5)=0⇔x2−5x−3x+15=0⇔x2−8x+15=0
b)
Hai số −4 và 7 là nghiệm của phương trình:
(x+4)(x−7)=0⇔x2−7x+4x−28=0⇔x2−3x−28=0
c)
Hai số −5 và 13 là nghiệm của phương trình:
(x+5)(x−13)=0⇔x2−13x+5x−53=0⇔3×2+14x−5=0
d)
Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:
(x−1,9)(x−5,1)=0⇔x2−5,1x−1,9x+9,69=0⇔x2−7x+9,69=0
e)
Hai số 4 và 1−2 là nghiệm của phương trình:
(x−4)[x−(1−2)]=0
⇔(x−4)(x−1+2)=0
⇔x2−x+2x−4x+4−42=0
⇔x2−(5−2)x+4−42=0
f)
Hai số 3−5 và 3+5 là nghiệm của phương trình:
[x−(3−5)][x−(3+5)]=0
⇔x2−(3+5)x−(3−5)x+(3−5)(3+5)=0
⇔x2−6x+4=0.
a) –x1 và −x2.
b) 1×1 và 1×2
Phương pháp giải:
Áp dụng:
* Hệ thức Vi-ét:
Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
* Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.
Lời giải:
a)
Phương trình x2+px−5=0 có hai nghiệm x1 và x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−p1=−px1x2=−51=−5 (1)
Hai số −x1 và −x2 là nghiệm của phương trình:
[x−(−x1)][x−(−x2)]=0
⇔(x+x1)(x+x2)=0
⇔x2+x2x+x1x+x1x2=0
⇔x2+(x1+x2)x+x1x2=0(2)
Từ (1) và (2) phương trình phải tìm là: x2−px−5=0
b)
Phương trình x2+px−5=0 có hai nghiệm x1 và x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−p1=−px1x2=−51=−5 (1)
Hai số 1×1 và 1×2 là nghiệm của phương trình:
(x−1×1)(x−1×2)=0⇔x2−1x2x−1x1x+1×1.1×2=0⇔x2−(1×1+1×2)x+1x1x2=0⇔x2−x1+x2x1x2x+1x1x2=0(3)
Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm là:
x2−−p−5x+1−5=0⇔x2−p5x−15=0⇔5×2−px−1=0
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
Phương trình x2−6x+m=0 có hai nghiệm x1,x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−−61=6
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
{x1+x2=6×1−x2=4⇔{2×1=10×1−x2=4
⇔{x1=55−x2=4⇔{x1=5×2=1
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=m1=m⇒m=5.1=5
Vậy m=5 thì phương trình x2−6x+m=0 có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện x1−x2=4.
Bài tập bổ sung (trang 58,59 SBT Toán 9)
Điều nào sau đây đúng?
A) x1+x2=ba,x1x2=ca
B) x1+x2=−ba,x1x2=−ca
C) x1+x2=ba,x1x2=−ca
D) x1+x2=−ba,x1x2=ca
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
x1,x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0).
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba,x1x2=ca
Chọn D.
Phương pháp giải:
Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.
Lời giải:
Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình: x2+px+q=0.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−p1=−p;x1x2=q1=q
Phương trình có hai nghiệm là x1+x2 và x1x2 tức là phương trình có hai nghiệm là −p và q.
Hai số −p và q là nghiệm của phương trình.
(x+p)(x−q)=0⇔x2−qx+px−pq=0⇔x2+(p−q)x−pq=0
Phương trình cần tìm là: x2+(p−q)x−pq=0.
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Áp dụng:
Phân tích các tam thức sau thành tích:
a) x2−11x+30
b) 3×2+14x+8
c) 5×2+8x−4
d) x2−(1+23)x−3+3
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
Tam thức bậc hai: ax2+bx+c có hai nghiệm x1,x2 nên phương trình: ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm x1,x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=−ba;x1x2=ca(1)
Lại có: ax2+bx+c=a(x2+bax+ca) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ax2+bx+c=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=a[x2−x1x−x2x+x1x2]=a[x(x−x1)−x2(x−x1)]=a(x−x1)(x−x2)
Áp dụng:
a)
x2−11x+30=0Δ=(−11)2−4.1.30=1>0Δ=1=1×1=11+12.1=6×2=11−12.1=5
Ta có: x2−11x+30=(x−6)(x−5)
b)
3×2+14x+8=0Δ′=72−3.8=49−24=25>0Δ′=25=5×1=−7+53=−23×2=−7−53=−4
Ta có: 3×2+14x+8=3(x+23)(x+4)=(3x+2)(x+4)
c)
5×2+8x−4=0Δ′=42−5.(−4)=36>0Δ′=36=6×1=−4−65=−2×2=−4+65=25
Ta có: 5×2+8x−4=5(x−25)(x+2)=(5x−2)(x+2).
d) x2−(1+23)x−3+3=0
Δ=[−(1+23)]2−4.1.(−3+3)
=1+43+12+12−43=25>0
Δ=25=5
x1=1+23+52.1=3+3
x2=1+23−52.1=3−2
Ta có: x2−(1+23)x−3+3=[x−(3+3)][x−(3−2)] =(x−3−3)(x−3+2)
(2m−1)x2−2(m+4)x+5m+2=0(m≠12).
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x1,x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0.
– Hệ thức Vi-ét:
Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:
{x1+x2=−bax1x2=ca
Lời giải:
Phương trình: (2m−1)x2−2(m+4)x+5m+2=0(m≠12) (1)
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0
Δ′=[−(m+4)]2−(2m−1)(5m+2)
=m2+8m+16−10m2−4m+5m+2
=−9m2+9m+18
=−9(m2−m−2)
=−9(m2−2m+m−2)
=−9[m(m−2)+m−2]
=−9(m−2)(m+1)
Δ′≥0⇔−9(m−2)(m+1)≥0
⇔(m−2)(m+1)≤0
⇔{m−2≥0m+1≤0 hoặc {m−2≤0m+1≥0
TH1:
{m−2≥0m+1≤0⇔{m≥2m≤−1 vô nghiệm
TH2:
{m−2≤0m+1≥0⇔{m≤2m≥−1 ⇔−1≤m≤2
Vậy −1≤m≤2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình có hai nghiệm x1,x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1+x2=2(m+4)2m−1; x1x2=5m+22m−1
c) Theo câu b ta có:
{x1+x2=2(m+4)2m−1x1x2=5m+22m−1⇔{x1+x2=2m+82m−1x1x2=52.2m−52+922m−1⇔{x1+x2=2m−1+92m−1x1x2=52(2m−1)+922m−1⇔{x1+x2=2m−12m−1+92m−1x1x2=52(2m−1)2m−1+922m−1⇔{x1+x2=1+9.12m−1x1x2=52+92.12m−1⇔{x1+x2=1+9.12m−12x1x2=5+9.12m−1⇒2x1x2−(x1+x2)=5+9.12m−1−(1+9.12m−1)⇔2x1x2−(x1+x2)=4
Vậy 2x1x2−(x1+x2)=4 là biểu thức không phụ thuộc vào m cần tìm.
