tailieuviet.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
a) 5×2−6x−1=0
b) −3×2+14x−8=0
c) −7×2+4x=3
d) 9×2+6x+1=0
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
5×2−6x−1=0
Có hệ số a=5;b′=−3;c=−1
Δ′=b′2−ac=(−3)2−5.(−1)=9+5=14>0
Δ′=14
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=−b′+Δ′a=3+145
x2=−b′−Δ′a=3−145
b)
−3×2+14x−8=0
⇔3×2−14x+8=0
Có hệ số a=3;b′=−7;c=8
Δ′=(−7)2−3.8=49−24=25>0
Δ=25=5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=7+53=4
x2=7−53=23
c)
−7×2+4x=3
⇔7×2−4x+3=0
Có hệ số a=7;b′=−2;c=3
Δ′=(−2)2−7.3=4−21=−17<0
Phương trình vô nghiệm.
d)
9×2+6x+1=0
Có hệ số a=9;b′=3;c=1
Δ′=32−9.1=9−9=0
Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b′a=−39=−13
a) x2+2+22 và 2(1+2)x
b) 3×2+2x−1 và 23x+3
c) −22x−1 và 2×2+2x+3
d) x2−23x−3 và 2×2+2x+3
e) 3×2+25x−33 và −x2−23x+25+1?
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
x2+2+22=2(1+2)x
⇔x2−2(1+2)x+2+22=0
Δ′=b′2−ac=[−(1+2)]2−1.(2+22)
=1+22+2−2−22=1>0
Δ′=1=1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=1+2+11=2+2
x2=−b′−△′a=1+2−11=2
Vậy với x=2+2 hoặc x=2 thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.
b)
3×2+2x−1=23x+3
⇔3×2+2x−1−23x−3=0
⇔3×2+(2−23)x−4=0
⇔3×2+2(1−3)x−4=0
Δ′=b′2−ac=(1−3)2−3(−4)
=1−23+3+43
=1+23+3=(1+3)2>0
Δ′=(1+3)2=1+3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=3−1+1+33=233=2
x2=−b′−△′a=3−1−1−33=−23=−233
Vậy x=2 hoặc x=−233 thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c)
−22x−1=2×2+2x+3
⇔2×2+2x+3+22x+1=0
⇔2×2+(2+22)x+4=0
⇔2×2+2(1+2)x+4=0
Δ′=b′2−ac=(1+2)2−2.4
=1+22+2−42
=1−22+2=(2−1)2>0
Δ′=(2−1)2=2−1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=−1−2+2−12=−22=−2
x2=−b′−△′a=−1−2−2+12=−222=−2
Vậy x=−2 hoặc x=−2 thì hai biểu thức bằng nhau.
d)
x2−23x−3=2×2+2x+3
⇔2×2+2x+3−x2+23x+3=0
⇔x2+(2+23)x+23=0
⇔x2+2(1+3)x+23=0
Δ′=b′2−ac=(1+3)2−1.23
=1+23+3−23=4>0
Δ′=4=2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=−1−3+21=1−3
x2=−b′−△′a=−1−3−21=−3−3
Vậy x=1−3 hoặc x=−3−3 thì hai biểu thức bằng nhau.
e)
3×2+25x−33=−x2−23x+25+1
⇔3×2+25x−33+x2+23x−25−1=0
⇔(3+1)x2+(25+23)x−33−25−1=0
⇔(3+1)x2+2(5+3)x−33−25−1=0
Δ′=b′2−ac=(5+3)2−(3+1)(−33−25−1)
=5+215+3+9+215+3+33+25+1
=18+43+25+415
=1+12+5+2.23+25+2.23.5
=1+(23)2+(5)2+2.1.23+2.1.5+2.23.5
=(1+23+5)2>0
Δ′=(1+23+5)2=1+23+5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=−(5+3)+1+23+53+1=1+33+1=1
x2=−b′−△′a=−(5+3)−1−23−53+1=−1−33−253+1
=−4+3+5−15
Vậy x=1 và x=−4+3+5−15 thì hai biểu thức bằng nhau.
h=−(x−1)2+4
Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu:
a) Khi vận động viên ở độ cao 3m?
b) Khi vận động viên chạm mặt nước?
Phương pháp giải:
Thay h=3m vào phương trình h=−(x−1)2+4, từ đó ta tìm x.
Khi chạm mặt nước ta có h=0, thay h=0 vào phương trình h=−(x−1)2+4 từ đó ta tìm x.
* Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
Khi h=3m ta có:
3=−(x−1)2+4⇔(x−1)2−1=0⇔x2−2x+1−1=0⇔x(x−2)=0⇔[x=0x=2
Vậy x=0m hoặc x=2m.
b)
Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h=0.
⇔−(x−1)2+4=0⇔(x−1)2−4=0⇔x2−2x+1−4=0⇔x2−2x−3=0Δ′=b′2−ac=(−1)2−1.(−3)=4>0Δ′=4=2×1=−b′+△′a=1+21=3×2=−b′−△′a=1−21=−1
Vì khoảng cách không âm nên x=3m.
a) 16×2−8x+1=0
b) 6×2−10x−1=0
c) 5×2+24x+9=0
d) 16×2−10x+1=0
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
Lời giải:
a)
16×2−8x+1=0
Δ′=(−4)2−16.1=16−16=0
Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b′a=416=14=0,25
b)
6×2−10x−1=0
Δ′=(−5)2−6.(−1)=25+6=31>0
Δ′=31
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=5+316≈1,76
x2=−b′−△′a=5−316≈−0,09
c)
5×2+24x+9=0
Δ′=122−5.9=144−45=99>0
Δ′=99=311
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=−12+3115≈−0,41
x2=−b′−△′a=−12−3115≈−4,39
d)
16×2−10x+1=0
Δ′=(−5)2−16.1=25−16=9>0
Δ′=9=3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=5+316=816=0,5
x2=−b′−△′a=5−316=216=18≈0,13
a) y=13×2 và y=2x−3
b) y=−12×2 và y=x−8?
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
13×2=2x−3
⇔x2=6x−9
⇔x2−6x+9=0
Δ′=(−3)2−1.9=9−9=0
Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b′a=3
Vậy x=3 thì hàm số y=13×2 và hàm số y=2x−3 có giá trị bằng nhau.
b)
−12×2=x−8
⇔−x2=2x−16
⇔x2+2x−16=0
Δ′=12−1.(−16)=1+16=17>0
Δ′=17
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a=−1+171=−1+17
x2=−b′−△′a=−1−171=−1−17
Vậy x=17−1 hoặc x=−(1+17) thì giá trị của hai hàm số y=−12×2 và y=x−8 bằng nhau.
a) Phương trình 2×2−m2x+18m=0 có một nghiệm x=−3.
b) Phương trình mx2−x−5m2=0 có một nghiệm x=−2?
Phương pháp giải:
Thay x=−3 vào phương trình 2×2−m2x+18m=0 từ đó giải phương trình bậc hai ẩn m.
Lời giải:
a)
Vì x=−3 là nghiệm của phương trình 2×2−m2x+18m=0 (1)
Nên thay x=−3 vào phương trình 2×2−m2x+18m=0, ta được:
2.(−3)2−m2(−3)+18m=0⇔3m2+18m+18=0⇔m2+6m+6=0(a=1,b′=3,c=6)Δ′=32−1.6=9−6=3>0Δ′=3m1=−b′+△′a=−3+31=−3+3m2=−b′−△′a=−3−31=−3−3
Vậy m=−3+3 hoặc m=−3−3 thì phương trình (1) có nghiệm x=−3.
b)
Vì x=−2 là nghiệm của phương trình mx2−x−5m2=0 (2)
Nên thay x=−2 vào phương trình mx2−x−5m2=0, ta được:
m.(−2)2−(−2)−5m2=0⇔5m2−4m−2=0(a=5,b′=−2,c=−2)Δ′=(−2)2−5.(−2)=14>0Δ′=14m1=−b′+△′a=2+145m2=−b′−△′a=2−145
Vậy m=2+145 hoặc m=2−145 thì phương trình (2) có nghiệm x=−2.
a) x2−2(m+3)x+m2+3=0
b) (m+1)x2+4mx+4m−1=0
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a≠0 và Δ′=b′2−ac>0.
Lời giải:
a)
Phương trình x2−2(m+3)x+m2+3=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ′>0
Δ′=[−(m+3)]2−1(m2+3)=m2+6m+9−m2−3=6m+6Δ′>0⇔6m+6>0⇔6m>−6⇔m>−1
Vậy m>−1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b)
Phương trình (m+1)x2+4mx+4m−1=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m+1≠0 và Δ′>0
m+1≠0⇔m≠−1
Δ′=(2m)2−(m+1)(4m−1)
=4m2−4m2+m−4m+1
=1−3m
Δ′>0⇔1−3m>0⇔3m<1⇔m<13
Vậy m<13 và m≠−1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
a) 5×2+2mx−2m+15=0
b) mx2−4(m−1)x−8=0
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm kép khi và chỉ khi a≠0 và Δ′=b′2−ac=0.
Lời giải:
a)
Phương trình 5×2+2mx−2m+15=0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ′=0
Δ′=m2−5(−2m+15)=m2+10m−75
Δ′=0⇔m2+10m−75=0
Giải phương trình: m2+10m−75=0
Ta có: Δm′=52−1.(−75)=25+75=100>0
Δm′=100=10
m1=−5+101=5
m2=−5−101=−15
Vậy m=5 hoặc m=−15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b)
Phương trình mx2−4(m−1)x−8=0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m≠0 và Δ′=0
Δ′=[−2(m−1)]2−m.(−8)=4(m2−2m+1)+8m=4m2−8m+4+8m=4m2+4Δ′=0⇔4m2+4=0
Ta có 4m2≥0⇒4m2+4≥4>0 với mọi m
Nên phương trình 4m2+4=0 vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.
Bài tập bổ sung (trang 56 SBT Toán 9)
A) x1=x2=b2a
B) x1=x2=−b′a
C) x1=x2=−ba
D) x1=x2=−b′2a
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac
+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a
+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.
+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có ∆′=0 thì x1=x2=−b′a
Chọn B.
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:
– TH1: a=0 từ đó tìm nghiệm của (1).
– TH2: a≠0, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ≥0.
Lời giải:
– TH1: b2+c2=0 ⇔b=0 và c=0.
Khi đó phương trình đã cho có dạng: a2=0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi a=0.
Vậy a=b=c=0 thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.
– TH2: b2+c2≠0
Phương trình (b2+c2)x2−2acx+a2−b2=0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0
b2+c2≠0 suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
Δ′=(−ac)2−(b2+c2)(a2−b2)=a2c2−a2b2+b4−a2c2+b2c2=−a2b2+b4+c2b2=b2(−a2+b2+c2)Δ′≥0⇔b2(−a2+b2+c2)≥0
Vì b2≥0 ⇒Δ′≥0 ⇔−a2+b2+c2≥0 ⇔b2+c2≥a2
Vậy a2≤b2+c2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Phương pháp giải:
Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac luôn có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0.
Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có Δ′≥0.
Lời giải:
(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0
⇔x2−bx−ax+ab+x2−cx−bx+bc+x2−ax−cx+ac=0
⇔3×2−2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0
Δ′=(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ab−3ac−3bc
=a2+b2+c2−ab−bc−ac
=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)
=12[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)]
=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]
Ta có: (a−b)2≥0;(b−c)2≥0; (a−c)2≥0
Suy ra: (a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0
⇒Δ′=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]≥0
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
