Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp được TaiLieuViet sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

1. Hoán vị

Cho tập hợp A có n phần tử (n ge 1).

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gợi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phân tử).

Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử

Người ta chứng minh được rằng:

Số các hoán vị của m phần tử (n ≥ 1) bằng

{P_n} = nleft( {n - 1} right)left( {n - 2} right)...2.1.

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu: n! = nleft( {n - 1} right)left( {n - 2} right)...2.1. và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó, P= n!.

+ Quy ước: 0! =1.

Ví dụ 

Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trông như Hình bên dưới.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

Có ba chiếc ö tô đkí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để đỗ xe.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Giải

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trồng là P3 = 3.2.1= 6 (cách)

b) Sơ đồ hình cây như Hình bên dưới.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cành lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cành bé. Tử đó, số cành bẻ bằng 3.2. 1 =6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông là 6 cách.

2. Chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 le k le n.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu A_n^k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Người ta chứng minh được rằng

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 1 ≤ k ≤ n bằng

A_n^k

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có: {P_n} = A_n^k,n ge 1.

Ví dụ: 

Phần thi chung kết nội dung chạy cư li 1 500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc?

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

Giải

Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên.

Do đó, số kết quả có thể là A_{10}^3 = 10.9.8 = 720.

3. Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phân tử (n ≥ 1)

Mỗi tập con gồm k phần tử (1 le k le n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phân tử.

Kí hiệu C_n^k là số tổ hợp chập k của n phần tử 1 le k le n

Người ta chứng minh được rằng:

Số các tổ hợp chập k của n phần tử 1 le k le n bằng

C_n^k

Chú ý: Người ta quy ước C_n^0 = 1 

Ví dụ 

Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bê ghế của lớp cho buổi chào cờ

Giải

a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bê ghế là

C_9^4 = frac{{9!}}{{4!5!}} = frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2}} = 126 (cách)

b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bê ghế là

C_9^5 = frac{{9!}}{{5!4!}} = 126 (cách)

Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta thấy C_9^4 = C_9^5. Tổng quát, ta có hệ thức:

C_n^k

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ

a) Đề tính {P_8} = 8!, ta ấn liên tiếp các phím Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST thì nhận được kết quả là 40 320.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

b) Để tính A_{12}^5, ta ấn liên tiếp các phím Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST thì nhận được kết quả là 95040.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

c) Để tính C_{20}^{11}, ta ấn liên tiếp các phím Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST thì nhận được kết quả là 167 960.

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Hướng dẫn giải

Mỗi khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là hoán vị của các đội bóng tham gia. Do đó, số khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là:{P_{14}} = 14! (cách)

Câu 2: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải

a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là

A_7^3 = 7.6.5 = 210 (số)

b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)

Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:

A_6^2 = 6.5 = 30 (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là:

4.30 = 120 (số)

Câu 3: Tính:

a) C_7^2

b)  C_9^0 + C_9^9

c) C_{15}^3 - C_{14}^3

Hướng dẫn giải

a) C_7^2

b) C_9^0 + C_9^9

c) C_{15}^3 - C_{14}^3

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 2

—————————————–

Như vậy TaiLieuViet đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10,Chuyên đề Toán 10,Giải Vở BT Toán 10 ,Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.