Toán 12 – Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng, với nội dung tài liệu được tổng hợp chi tiết và chính xác sẽ giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3

Câu 3.27 trang 185 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) (int {(2x - 3)sqrt {x - 3} dx} ), đặt (u = sqrt {x - 3} )

b) (int {{x over {{{(1 + {x^2})}^{{3 over 2}}}}}} dx), đặt (u = sqrt {{x^2} + 1})

c) (int {{{{e^x}} over {{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx) , đặt (u = {e^{2x}} + 1)

d) (int {{1 over {sin x - sin a}}} dx)

e) (int {sqrt x sin sqrt x } dx), đặt (t = sqrt x )

g)(int {xln {x over {1 + x}}} dx)

Hướng dẫn làm bài

a) ({2 over 5}{(x - 3)^{{3 over 2}}}(2x - 1) + C)

b)( - {1 over {sqrt {1 + {x^2}} }} + C)

c) ({1 over 2}ln ({e^{2x}} + 1) + C)

d) ({1 over {cos a}}ln |{{sin {{x - a} over 2}} over {cos {{x - a} over 2}}}| + C)

HD: Ta có:

(cos a = cos ({{x - a} over 2} - {{x + a} over 2}))

e) ( - 2xcos sqrt x + 4sqrt x sin sqrt x + 4cos sqrt x + C)

g) ({{{x^2}} over 2}ln {x over {1 + x}} + {1 over 2}ln |1 + x| - {1 over 2}x + C)

Bài 3.28 trang 186 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) (intlimits_0^1 {{{(y - 1)}^2}sqrt y } dy), đặt (t = sqrt y )

b) (intlimits_1^2 {({z^2} + 1)sqrt[3]{(z-1)^2} } dz), đặt(u = sqrt[3]{{(z - 1)}^2} )

c) (intlimits_1^e {{{sqrt {4 + 5ln x} } over x}} dx)

d) (intlimits_0^{{pi over 2}} {({{cos }^5}varphi } - {sin ^5}varphi )dvarphi )

e) (intlimits_0^pi {{{cos }^3}alpha cos 3alpha } dalpha )

Hướng dẫn làm bài

a) ({{16} over {105}})

b) (2{{49} over {220}})

c) ({{38} over {15}}) .

HD: (intlimits_1^e {{{sqrt {4 + 5ln x} } over x}} dx = {1 over 5}intlimits_1^e {{{(4 + 5ln x)}^{{1 over 2}}}d(4 + 5ln x)} )

Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) (intlimits_0^{{pi over 4}} {cos 2x} .{cos ^2}xdx)

b) (intlimits_{{1 over 2}}^1 {{{{e^x}} over {{e^{2x}} - 1}}} dx)

c) (intlimits_0^1 {{{x + 2} over {{x^2} + 2x + 1}}} ln (x + 1)dx)

d) (intlimits_0^{{pi over 4}} {{{xsin x + (x + 1)cos x} over {xsin x + cos x}}} dx)

Hướng dẫn làm bài

a) ({1 over 4}(1 + {pi over 4})) . HD: ({{1 + cos 2x} over 2} = {cos ^2}x)

b) ({1 over 2}ln {{(e - 1)(sqrt e + 1)} over {(e + 1)(sqrt e - 1)}}) . HD:({{{e^x}} over {{e^{2x}} - 1}} = {1 over 2}({{{e^x}} over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} over {{e^x} + 1}}))

c) ({1 over 2}({ln ^2}2 - ln 2 + 1)) .

HD:({{x + 2} over {{x^2} + 2x + 1}}ln (x + 1) = {{ln (x + 1)} over {x + 1}} + {{ln (x + 1)} over {{{(x + 1)}^2}}})

d) ({pi over 4} + ln (1 + {pi over 4}) - {1 over 2}ln 2) .

HD:({{xsin x + (x + 1)cos x} over {xsin x + cos x}} = 1 + {{xcos x} over {xsin x + cos x}}) và (d(xsin x + cos x) = xcos xdx)

Câu 3.30 trang 186 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = x - 1 + {{ln x} over x},y = x - 1

b)y= x^{3} - x^{2}, y = frac{1}{9} (x-1)

c) y = 1 - sqrt{1-x^2} , y = x^2

Hướng dẫn làm bài

left(aright)frac{1}{2}

left(bright)frac{8}{81}

HD: Đường thẳngy = frac{1}{9} (x-1) đi qua tâm đối xứng Ileft(frac{1}{3};frac{-2}{27}right)của hàm số y = x^3 – x^2.

Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I (hình dưới).

Vậy:

S = 2intlimits_{ - {1 over 3}}^{{1 over 3}} {{rm{[}}({x^3} - {x^2}) - {1 over 9}(x - 1){rm{]}}dx}

= 4intlimits_0^{{1 over 3}} {({1 over 9} - {x^2})dx = {8 over {81}}}

Do theo bài 3.14:

intlimits_{ - {1 over 3}}^{{1 over 3}} {({x^3} - {1 over 9}x)dx = 0}

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

left(cright)frac{pi}{2}-frac{4}{3}

Câu 3.31 trang 186 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) y = {x^{{2 over 3}}},x = 0 và tiếp tuyến với đường y = {x^{{2 over 3}}} tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;

b) y = {1 over x} - 1,y = 0,y = 2x, quanh trục Ox

c) y = |2x – x²|, y = 0 và x = 3 , quanh:

* Trục Ox

* Trục Oy

Hướng dẫn làm bài

a) {pi over {36}}

Phương trình tiếp tuyến là: y = {2 over 3}x + {1 over 3}

V = pi intlimits_0^1 {{y^3}dy} - pi intlimits_{{1 over 3}}^1 {{{({3 over 2}y - {1 over 2})}^2}dy}

= {pi over 4} - {{2pi } over 9}{({3 over 2}y - {1 over 2})^3}left| {matrix{1 cr {{1 over 3}} cr} = {pi over {36}}} right.

b) pi ({5 over 3} - 2ln 2)

c) {V_x} = {{18} over 5}pi ; {V_y} = {{59} over 6}pi

{V_y} = pi {rm{{ }}intlimits_0^1 {{rm{[(}}1 + sqrt {1 - y} {)^2} - {{(1 - sqrt {1 - y} )}^2}{rm{]}}} dy + intlimits_0^3 {{rm{[}}9 - {{(1 + sqrt {1 + y} )}^2}{rm{]}}dy} }

Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) intlimits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx = intlimits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} } dx;m,n in {N^*}

b) intlimits_{ - 1}^1 {{{{t^2}} over {{e^t} + 1}}} dt = intlimits_0^1 {{t^2}dt}

c) intlimits_0^1 {{{sin }^3}xcos xdx = } intlimits_0^1 {{t^3}} dt

Hướng dẫn làm bài

a) Đúng

b) Ta có:

intlimits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}} = intlimits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}} + intlimits_0^{ - 1} {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}} (*)

Dùng phương pháp đổi biến t = – x đối với tích phân intlimits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}}, ta được:

intlimits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}}

Thay vào (*) ta có:

intlimits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}} = intlimits_0^1 {{t^2}dt} }

c) Sai

———————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.