Toán 12 – Nguyên hàm

TaiLieuViet xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm, nội dung tài liệu được cập nhật chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập.

Giải SBT Toán 12 bài 1

Bài 3.1 Trang 170 sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Bài 3.1. Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

a) f(x) = ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ) và g(x) = {1 over {sqrt {1 + {x^2}} }}

b) f(x) = {e^{sin x}}cos x và g(x) = {e^{sin x}}

c) f(x) = {sin ^2}{1 over x} và g(x) = - {1 over {{x^2}}}sin {2 over x}

d) f(x) = {{x - 1} over {sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} và g(x) = sqrt {{x^2} - 2x + 2}

e) f(x) = {x^2}{e^{{1 over x}}} và g(x) = (2x - 1){e^{{1 over x}}}

Hướng dẫn làm bài

a) Hàm số f(x) = ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ) là một nguyên hàm của g(x) = {1 over {sqrt {1 + {x^2}} }}

b) Hàm số g(x) = {e^{sin x}} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = {e^{sin x}}cos x

c) Hàm số f(x) = {sin ^2}{1 over x} là một nguyên hàm của hàm số g(x) = - {1 over {{x^2}}}sin {2 over x}

d) Hàm số g(x) = sqrt {{x^2} - 2x + 2} là một ng uyên hàm của hàm số f(x) = {{x - 1} over {sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}

e) Hàm số f(x) = {x^2}{e^{{1 over x}}} là một nguyên hàm của hàm số g(x) = (2x - 1){e^{{1 over x}}}

Bài 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x - 3}} và G(x) = {{{x^2} + 10} over {2x - 3}}

b) F(x) = {1 over {{{sin }^2}x}} và G(x) = 10 + {cot ^2}x

c) F(x) = 5 + 2{sin ^2}x và G(x) = 1 - cos 2x

Hướng dẫn làm bài

a) Vì F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x - 3}} nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} over {{{(2x - 3)}^2}}}

b) Vì G(x) = 10 + {cot ^2}x, nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) = - {{2cos x} over {{{sin }^3}x}}

c) Vì F'(x) = (5 + 2{sin ^2}x)' = 2sin 2x và G'(x) = (1 - cos 2x)' = 2sin 2x, nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x

Bài 3.3 trang 171 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = {(x - 9)^4}

b) f(x) = {1 over {{{(2 - x)}^2}}}

c) f(x) = {x over {sqrt {1 - {x^2}} }}

d) f(x) = {1 over {sqrt {2x + 1} }}

e) f(x) = {{1 - cos 2x} over {{{cos }^2}x}}

a) F(x) = {{{{(x - 9)}^5}} over 5} + C

b) F(x) = {1 over {2 - x}} + C

c) F(x) = - sqrt {1 - {x^2}} + C

d) F(x) = sqrt {2x + 1} + C

e) F(x) = 2(tan x - x) + C

HD: Vì f(x) = 2{{{{sin }^2}x} over {{{cos }^2}x}} = 2({1 over {{{cos }^2}x}} - 1)

g) F(x) = ln ({x^2} + x + 1) + C. HD: Đặt u = x2 + x + 1, ta có u’ = 2x + 1

Bài 3.4 trang 171 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) int {{x^2}root 3 of {1 + {x^3}} } dx với x > – 1 (đặt t = 1 + x3)

b) int {x{e^{ - {x^2}}}} dx (đặt t = x2)

c) int {{x over {{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx (đặt t = 1 + x2)

d) int {{1 over {(1 - x)sqrt x }}} dx (đặt t = sqrt x)

e) int {sin {1 over x}.{1 over {{x^2}}}} dx (Đặt t = {1 over x})

g) int {{{{{(ln x)}^2}} over x}} dx (đặt t = ln x)

h) int {{{sin x} over {root 3 of {{{cos }^2}x} }}} dx (đặt t = cos x)

i) int {cos x} {sin ^3}xdx (đặt t = sin x)

k) int {{1 over {{e^x} - {e^{ - x}}}}} dx (đặt t = {e^x})

l) int {{{cos x + sin x} over {sqrt {sin x - cos x} }}} dx (đặt t = sin x - cos x)

Hướng dẫn làm bài

a) {1 over 4}{(1 + {x^3})^{{4 over 3}}} + C

b) - {1 over 2}{e^{ - {x^2}}} + C

c) - {1 over {2(1 + {x^2})}} + C

d) ln |{{1 + sqrt x } over {1 - sqrt x }}| + C

e) cos {1 over x} + C

g) {1 over 3}{(ln x)^3} + C

h) - 3root 3 of {cos x} + C

i) {1 over 4}{sin ^4}x + C

k) {1 over 2}ln |{{{e^x} - 1} over {{e^x} + 1}}| + C

l) 2sqrt {sin x - cos x} + C

Bài 3.5 trang 171 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) int {(1 - 2x){e^x}} dx

b) int {x{e^{ - x}}dx}

c) int {xln (1 - x)dx}

d) int {x{{sin }^2}xdx}

e) int {ln (x + sqrt {1 + {x^2}} } )dx

g) int {sqrt x {{ln }^2}xdx}

h) int {xln {{1 + x} over {1 - x}}dx}

Hướng dẫn làm bài

a) (3 - 2x){e^x} + C

b) - (1 + x){e^{ - x}} + C

c) {{{x^2}} over 2}ln (1 - x) - {1 over 2}ln (1 - x) - {1 over 4}{(1 + x)^2} + C

d) {{{x^2}} over 4} - {x over 4}sin 2x - {1 over 8}cos 2x + C

HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx

e) xln (x + sqrt {1 + {x^2}} ) - sqrt {1 + {x^2}} + C

HD: Đặt u = ln (x + sqrt {1 + {x^2}} ) và dv = dx

g) {2 over 3}{x^{{3 over 2}}}({(ln x)^2} - {4 over 3}ln x + {8 over 9}) + C

HD: Đặt u = {ln ^2}x;dv = sqrt x dx

h) x - {{1 - {x^2}} over 2}ln {{1 + x} over {1 - x}} + C

HD: u = ln {{1 + x} over {1 - x}},dv = xdx

Bài 3.6 trang 172 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) int {x{{(3 - x)}^5}dx}

b) int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx

c) int {xsqrt {2 - 5x} dx}

d) int {{{ln (cos x)} over {{{cos }^2}x}}} dx

e) int {{x over {{{sin }^2}x}}} dx

g) int {{{x + 1} over {(x - 2)(x + 3)}}dx}

h) int {{1 over {1 - sqrt x }}} dx

i) int {sin 3xcos 2xdx}

k) int {{{{{sin }^3}x} over {{{cos }^2}x}}} dx

l) int {{{sin xcos x} over {sqrt {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} }}} dx,({a^2} ne {b^2})

HD: Đặt u = sqrt {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x}

Hướng dẫn làm bài

a) {(3 - x)^6}({{3 - x} over 7} - {1 over 2}) + C

HD: t = 3 – x

b) {{{4^x}} over {ln 4}} - 2{{{6^x}} over {ln 6}} + {{{9^x}} over {ln 9}} + C

c) - {{8 + 30x} over {375}}{(2 - 5x)^{{3 over 2}}} + C

HD: Dựa vào x = - {1 over 5}(2 - 5x) + {2 over 5}

d) tan x{rm{[}}ln (cos x) + 1] - x + C. HD: Đặt u = ln (cos x),dv = {{dx} over {{{cos }^2}x}}

e) - xcot x + ln |sin x| + C. HD: Đặt u = x,dv = {{dx} over {{{sin }^2}x}}

g) {1 over 5}ln [|x - 2{|^3}{(x + 3)^2}{rm{]}} + C

HD: Ta có {{x + 1} over {(x - 2)(x + 3)}} = {3 over {5(x - 2)}} + {2 over {5(x + 3)}}

h) - 2(sqrt x + ln |1 - sqrt x |) + C

HD: Đặt t = sqrt x

i) - {1 over 2}(cos x + {1 over 5}cos5x) + C

HD: sin 3x.ccos 2x = {1 over 2}(sin x + sin 5x)

k) cos x + {1 over {cos x}} + C

HD: Đặt u = cos x

l) {1 over {{a^2} - {b^2}}}sqrt {{a^2}{{sin }^2}x + {b^2}{{cos }^2}x} + C

Bài 3.7 trang 172 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

a) int {{{sin }^4}x} dx

b) int {{1 over {{{sin }^3}x}}dx}

c) int {{{sin }^3}x{{cos }^4}xdx}

d) int {{{sin }^4}x{{cos }^4}xdx}

e) int {{1 over {cos x{{sin }^2}x}}} dx

g) int {{{1 + sin x} over {1 + cos x}}} dx

Hướng dẫn làm bài

a) {3 over 8}x - {{sin 2x} over 4} + {{sin 4x} over {32}} + C

HD: {sin ^4}x = {{{{(1 - cos 2x)}^2}} over 4} = {1 over 4}({3 over 2} - 2cos 2x + {1 over 2}cos 4x)

b) {1 over 2}ln |tan {x over 2}| - {{cos x} over {2{{sin }^2}x}} + C

Hd: Đặt u = cot x

c) {cos ^5}x({{{{cos }^2}x} over 7} - {1 over 5}) + C. HD: Đặt u = cos x

d) {1 over {128}}(3x - sin 4x + {1 over 8}sin 8x) + C

HD: {sin ^4}x{cos ^4}x = {1 over {{2^4}}}{({sin ^2}2x)^2} = {1 over {{2^6}}}{(1 - cos 4x)^2}

e) ln |tan ({x over 2} + {pi over 4})| - {1 over {sin x}} + C

HD: {1 over {cos x{{sin }^2}x}} = {{{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} over {cos x{{sin }^2}x}}

g) tan {x over 2} - 2ln |cos {x over 2}| + C. HD: {{1 + sin x} over {1 + cos x}} = {1 over {2{{cos }^2}{x over 2}}} + {{sin {x over 2}} over {cos {x over 2}}}

Bài 3.8 trang 172 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) = {1 over {1 + sin x}}?

a) F(x) = 1 - cot ({x over 2} + {pi over 4})

b) G(x) = 2tan {x over 2}

c) H(x) = ln (1 + sin x)

d) K(x) = 2(1 - {1 over {1 + tan {x over 2}}})

Hướng dẫn làm bài

a) F(x) = 1 - cot ({x over 2} + {pi over 4})

d) K(x) = 2(1 - {1 over {1 + tan {x over 2}}})

Bài 3.9 trang 173 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau đây:

a) int {(x + ln x){x^2}dx}

b) int {(x + {{sin }^2}x)sin xdx}

c) int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx}

d) int {(x + sin x){{dx} over {{{cos }^2}x}}}

e) int {{{{e^x}cos x + ({e^x} + 1)sin x} over {{e^x}sin x}}} dx

Hướng dẫn làm bài

a) {{{x^4}} over 4} + {{{x^3}} over 3}(ln x - {1 over 3}) + C. HD: Đặt u = x + ln x;dv = {x^2}dx

b) sin x - (x + 1)cos x + {1 over 3}{cos ^3}x + C HD: Đặt u = x + {sin ^2}x,dv = sin xdx

c) {{{e^{2x}}} over {12}}(4{e^x} + 6x - 3) + C. HD: Đặt u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dx

d) xtan x + ln |cos x| + {1 over {cos x}} + C. HD: Đặt u = x + sin x,dv = d(tan x)

e) ln |{e^x}sin x| - {e^{ - x}} + C. HD: d({e^x}sin x) = ({e^x}sin x + {e^x}cos x)dx

———————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.