Toán 12 – Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

TaiLieuViet xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = {x^{sqrt 3 }}

b) y = {x^{frac{1}{pi }}}

c) y = {x^{ - e}}

Hướng dẫn làm bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = {x^{sqrt 3 }}

Tập xác định: D = (0; + infty )

y' = sqrt 3 {x^{sqrt 3 - 1}}

y' > 0,forall x in D nên hàm số luôn đồng biến.

mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = 0,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = {x^{frac{1}{pi }}}

Tập xác định: D = (0; + infty )

y' = frac{1}{pi }{x^{frac{1}{pi } - 1}}

y' > 0,forall x in D nên hàm số luôn đồng biến.

mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = 0,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = {x^{ - e}}

Tập xác định: D = (0; + infty )

y' = - e{x^{ - e - 1}}

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = frac{2}{{sqrt {{4^x} - 2} }}

b) y = {log _6}frac{{3x + 2}}{{1 - x}}

c) y = sqrt {log x + log (x + 2)} $

d) y = sqrt {log (x - 1) + log (x + 1)}

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số xác định khi:

{4^x} - 2 > 0Leftrightarrow {2^{2x}} > 2Leftrightarrow x > frac{1}{2}

Vậy tập xác định là D = (frac{1}{2}; + infty )

b) D = ( - frac{2}{3};1)

c)

eqalign{& log x + log (x + 2) ge 0 cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{log [x(x + 2){rm{]}} ge log 1} cr {x > 0} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{{x^2} + 2x - 1 ge 0} cr {x > 0} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{left[ {matrix{{x le - 1 - sqrt 2 } cr {x ge - 1 + sqrt 2 } cr} } right.} cr {x > 0} cr} } right. Leftrightarrow x ge - 1 + sqrt 2 cr}

Vậy tập xác định là D = {rm{[}} - 1 + sqrt 2 ; + infty )

d) Tương tự câu c, D = {rm{[}}sqrt 2 ; + infty )

Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hai hàm số:

f(x) = frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g(x) = frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}

a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:

f( - x) = frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( - x) = frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} = - g(x)

Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Ta có: f(x) = frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} ge sqrt {{a^x}{a^{ - x}}} = 1,forall x in R và f(0) = frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1

Vậy min f(x) = f(0) = 1.

Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho a + b = c với a > 0, b > 0.

a) Chứng minh rằng {a^m} + {b^m} < {c^m}, nếu m > 1.

b) Chứng minh rằng {a^m} + {b^m} < {c^m}, nếu 0 < m < 1

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: {a^m} + {b^m} < {c^m}

Theo đề bài a + b = c, a > 0, b > 0 nên 0 < frac{a}{c} < 1,0 < frac{b}{c} < 1

Suy ra với m > 1 thì {(frac{a}{c})^m} < {(frac{a}{c})^1};{(frac{b}{c})^m} < {(frac{b}{c})^1}

Từ đó ta có: {(frac{a}{c})^m} + {(frac{b}{c})^m} < frac{a}{c} + frac{b}{c} = 1

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.

Bài 2.47 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = {(frac{1}{2})^x} + 3

b) y = {2^{x + 1}}

c) y = {3^{x - 2}}

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số y = {(frac{1}{2})^x} + 3 nhận được từ đồ thị của hàm số y = {(frac{1}{2})^x} bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 3 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số y = {2^{x + 1}} nhận được từ đồ thị của hàm số y = {2^x}bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số y = {3^{x - 2}} nhận được từ đồ thị của hàm số y = {3^x} bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 2 đơn vị.

Bài 2.48 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = {log _3}(x - 1)

b) y = {log _{frac{1}{3}}}(x + 1)

c) y = 1 + {log _3}x

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số y = {log _3}(x - 1) nhận được từ đồ thị của hàm số y = {log _3}x bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 1 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số y = {log _{frac{1}{3}}}(x + 1) nhận được từ đồ thị của hàm số y = {log _{frac{1}{3}}}x bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số y = 1 + {log _3}x nhận được từ đồ thị của hàm số y = {log _3}x bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên trên 1 đơn vị.

Bài 2.49 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}

b) y = sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}(x ne frac{2}{3})

c) y = frac{1}{{sqrt[3]{{3x - 7}}}}

d) y = 3{x^{ - 3}} - {log _3}x

e) y = (3{x^2} - 2){log _2}x

g) y = ln (cos x)

h) y = {e^x}sin x

i) y = frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}

Hướng dẫn làm bài:

a) y' = - 6{(2 + 3x)^{ - 3}}

b)

y' = left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{{(3x - 2)}^{ - frac{1}{3}}},forall x > frac{2}{3}}\ { - 2{{(2 - 3x)}^{ - frac{1}{3}}},forall x < frac{2}{3}} end{array}} right. = frac{2}{{sqrt[3]{{3x - 2}}}}(x ne frac{2}{3})

c) y' = - frac{1}{{sqrt[3]{{{{(3x - 7)}^4}}}}}

d) y' = - 9{x^{ - 4}} - frac{1}{{xln 3}}

e) y' = 6x{log _2}x + frac{{3{x^2} - 2}}{{xln 2}}

g) y' = - tan x

h) y' = {e^x}(sin x + cos x)

i) y' = frac{{x({e^x} + {e^{ - x}}) - {e^x} + {e^{ - x}}}}{{{x^2}}}

Bài 2.50 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) {9^x} - {3^x} - 6 = 0

b) {e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0

c) {3.4^x} + frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - frac{1}{2}{.9^{x + 1}}

d) {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}

Hướng dẫn làm bài:

a) x = 1

b) Đặt t = {e^x}(t > 0), ta có phương trình {t^2} - 3t - 4 + frac{{12}}{t} = 0 hay

eqalign{ & {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0 cr & Leftrightarrow (t - 2)(t + 2)(t - 3) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 2} cr {t = - 2(loại)} cr {t = 3} cr} } right. cr}

Do đó

left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{e^x} = 2}\a {{e^x} = 3} end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = ln 2}\ {x = ln 3} end{array}} right.

c)

eqalign{ & {3.4^x} + {27.9^x} = {24.4^x} - {9 over 2}{.9^x} cr & Leftrightarrow {63.9^x} = {42.4^x} Leftrightarrow {left( {{9 over 4}} right)^x} = {2 over 3} cr}

Leftrightarrow {({3 over 2})^{2x}} = {({3 over 2})^{ - 1}} Leftrightarrow 2x = - 1 Leftrightarrow x = - {1 over 2}

d)

{1 over 2}{.2^{{x^2}}} - {3^{{x^2}}} = {1 over 3}{.3^{{x^2}}} - {4.2^{{x^2}}}
Leftrightarrow {9 over 2}{.2^{{x^2}}} = {4 over 3}{.3^{{x^2}}} Leftrightarrow {left( {{2 over 3}} right)^{{x^2}}} = {left( {{2 over 3}} right)^3}
Leftrightarrow {x^2} = 3 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = sqrt 3 } cr {x = - sqrt 3 } cr} } right.

Bài 2.51 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Giải phương trình: {7^{2x + 1}} - {8.7^x} + 1 = 0

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

b) Giải phương trình: {3^{2x + 1}} - {9.3^x} + 6 = 0

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Hướng dẫn làm bài:

a) Đáp số: x = 0; x = -1

b) Đáp số: x = 0;x = {log _3}2

Bài 2.52 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ln (4x + 2) - ln (x - 1) = ln x

b) {log _2}(3x + 1){log _3}x = 2{log _2}(3x + 1)

c) {2^{{{log }_3}{x^2}}}{.5^{{{log }_3}x}} = 400

d) {ln ^3}x - 3{ln ^2}x - 4ln x + 12 = 0

Hướng dẫn làm bài:

a) Với điều kiện x > 1 ta có phương trình:

ln (4x + 2) = ln [x(x - 1){rm{]}}

⇔ 4x + 2 = {x^2} – x ⇔ {x^2} – 5x – 2 = 0

Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = frac{{5 + sqrt {33} }}{2}}\ {x = frac{{5 - sqrt {33} }}{2}(l)} end{array}} right. Leftrightarrow x = frac{{5 + sqrt {33} }}{2}

b) Với điều kiện x > 0, ta có phương trình

eqalign{& {log _2}(3x + 1){rm{[}}{log _3}x - 2] = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{{log }_2}(3x + 1) = 0} cr {{{log }_3}x = 2} cr} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 0(loại)} cr {x = 9} cr} Leftrightarrow x = 9} right.} right. cr}

c) Với điều kiện x > 0, ta có phương trình:

{4^{{{log }_3}x}}{.5^{{{log }_3}x}} = 400

Leftrightarrow {20^{{{log }_3}x}} = {20^2} Leftrightarrow {log _3}x = 2 Leftrightarrow x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

d) Đặt t = lnx (x > 0), ta có phương trình:

{t^3} – 3{t^2} – 4t + 12 = 0 ⇔ (t – 2)(t + 2)(t – 3) = 0

Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 2} cr {t = - 2} cr {t = 3} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{ln x = 2} cr {ln x = - 2} cr {ln x = 3} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {e^2}} cr {x = {e^{ - 2}}} cr {x = {e^3}} cr} } right.

Bài 2.53 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình: 2log _2^2x - 14{log _4}x + 3 = 0

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)

Hướng dẫn làm bài:

Đáp số: x = 8;x = sqrt 2

Bài 2.54 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) {e^{2 + ln x}} = x + 3

b) {e^{4 - ln x}} = x

c) (5 - x)log (x - 3) = 0

Hướng dẫn làm bài:

a) Với điều kiện x >0, ta có phương trình

eqalign{ & {e^2}.{e^{ln x}} = x + 3 Leftrightarrow {e^2}.x = x + 3 cr & Leftrightarrow x({e^2} - 1) = 3 Leftrightarrow x = {3 over {{e^2} - 1}} cr}

(thỏa mãn điều kiện)

b) Tương tự câu a), x = e2

c) Với điều kiện x > 3 ta có:

left[ {matrix{{5 - x = 0} cr {log (x - 3) = 0} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 5} cr {x = 4} cr} } right.

Bài 2.55 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) {(8,4)^{frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1

b) {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}

c) frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}

d) frac{1}{{{3^x} + 5}} le frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}

Hướng dẫn làm bài:

a) 8,{4^{frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} Leftrightarrow frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 Leftrightarrow x < 3

b)

eqalign{ & {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}} Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1| cr & Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) cr & Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 cr & Leftrightarrow - 4 < x < 0 cr}

c)

eqalign{ & {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}} cr & Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0 cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x},t > 0} cr {{t^2} + 2t - 8 > 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x},t > 0} cr {left[ {matrix{{t < - 4} cr {t > 2} cr} } right.} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{t = {2^x}} cr {t > 2} cr} } right. Leftrightarrow x > 1 cr}

d) Đặt t = 3x (t > 0), ta có bất phương trình frac{1}{{t + 5}} le frac{1}{{3t - 1}}

Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là 3t – 1 > 0

Từ đó ta có hệ:

left{ {matrix{{3t - 1 le t + 5} cr {3t - 1 > 0} cr} } right. Leftrightarrow {1 over 3} < t le 3

Do đó frac{1}{3} < {3^x} le 3. Vậy - 1 < x le 1

Bài 2.56 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) frac{{ln x + 2}}{{ln x - 1}} < 0

b) log _{0,2}^2x - {log _{0,2}}x - 6 le 0

c) log ({x^2} - x - 2) < 2log (3 - x)

d) ln |x - 2| + ln |x + 4| le 3ln 2

Hướng dẫn làm bài:

a) frac{1}{{{e^2}}} < x < e

b) {(0,2)^3} le x le 25

c) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

left{ {matrix{{{x^2} - x - 2 > 0} cr {3 - x > 0} cr {{x^2} - x - 2 < {{(3 - x)}^2}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{left[ {matrix{{x < - 1} cr {x > 2} cr} } right.} cr {x < 3} cr {x < {{11} over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x < - 1} cr {2 < x < {{11} over 5}} cr} } right.

Vậy tập nghiệm là ( - infty ; - 1) cup (2;frac{{11}}{5})

d)

eqalign{& ln |(x - 2)(x + 4)| le ln 8 cr & Leftrightarrow |{x^2} + 2x - 8| le 8 cr & Leftrightarrow - 8 le {x^2} + 2x - 8 le 8 cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{{x^2} + 2x ge 0} cr {{x^2} + 2x - 16 le 0} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{left[ {matrix{{x le - 2} cr {x ge 0} cr} } right.} cr { - 1 - sqrt {17} le x le - 1 + sqrt {17} } cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{ - 1 - sqrt {17} le x le - 2} cr {0 le x le - 1 + sqrt {17} } cr} } right. cr}

Vậy tập nghiệm là {rm{[}} - 1 - sqrt {17} ; - 2] cup {rm{[}}0; - 1 + sqrt {17} {rm{]}}

Bài 2.57 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a) (2x - 7)ln (x + 1) > 0

b) (2x - 7)ln (x + 1) > 0

c) 2log _2^3x + 5log _2^2x + {log _2}x - 2 ge 0

d) ln (3{e^x} - 2) le 2x

Trả lời:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

eqalign{& left[ {matrix{{left{ {matrix{{2x - 7 > 0} cr {ln (x + 1) > 0} cr} } right.} cr {left{ {matrix{{2x - 7 < 0} cr {ln (x + 1) < 0} cr} } right.} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{left{ {matrix{{x > {7 over 2}} cr {x + 1 > 1} cr} } right.} cr {left{ {matrix{{x < {7 over 2}} cr {0 < x + 1 < 1} cr} } right.} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x > {7 over 2}} cr {left{ {matrix{{x < {7 over 2}} cr { - 1 < x < 0} cr} } right.} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x > {7 over 2}} cr { - 1 < x < 0} cr} } right. cr}

Vậy tập nghiệm là ( - 1;0) cup (frac{7}{2}; + infty )

b) Tươngg tự câu a), tập nghiệm là (frac{1}{{10}};5)

c) Đặt t = {log _2}x, ta có bất phương trình 2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 ge 0

hay (t + 2)(2{t^2} + t - 1) ge 0 có nghiệm - 2 le t le - 1 hoặc t ge frac{1}{2}

Suy ra frac{1}{4} le x le frac{1}{2} hoặc x ge sqrt 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: {rm{[}}frac{1}{4};frac{1}{2}{rm{]}} cup {rm{[}}sqrt 2 ; + infty )

d) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

eqalign{& left{ {matrix{{3{e^x} - 2 > 0} cr {ln (3{e^x} - 2) le ln {e^{2x}}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{{e^x} > {2 over 3}} cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 ge 0} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{{e^x} > {2 over 3}} cr {left[ {matrix{{{e^x} le 1} cr {{e^x} ge 2} cr} } right.} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{e^x} ge 2} cr {{2 over 3} < {e^x} le 1} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x ge ln 2} cr {ln {2 over 3} < x le 0} cr} } right. cr}

Vậy tập nghiệm là (ln frac{2}{3};0] cup {rm{[}}ln 2; + infty )

Bài 2.58 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho:

a) {(frac{1}{2})^n} le {10^{ - 9}}

b) 3 - {(frac{7}{5})^n} le 0

c) 1 - {(frac{4}{5})^n} ge 0,97

d) {(1 + frac{5}{{100}})^n} ge 2

Hướng dẫn làm bài:

a) n ge {log _{frac{1}{2}}}{10^{ - 9}} Leftrightarrow n ge 9{log _2}10 approx 29,897

Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 30.

b) n = 4

c) n = 16

d) n = 15

———————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.